Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)

 

Вывод. Анализ интервального ряда распределения  изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по фондовооруженности не является равномерным: 30 % предприятий имеют фондовооруженность от 340,6 тыс. руб./чел. до 365,6 тыс. руб./чел.; 30% предприятий имеют фондовооруженность от 365,6 тыс. руб./чел. до 390,6 тыс. руб./чел.; 33,33 % предприятий имеют фондовооруженность более 390,6 тыс. руб./чел.; а 6,66 % предприятий имеют фондовооруженность менее 340,6 тыс. руб./чел.

 

2. Нахождение  моды и медианы полученного  интервального ряда распределения  графическим путем и путем  расчетов.

Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1). В нашем случае два соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, и она больше частоты любого другого значений, то есть мода равна среднему арифметическому этих значений.

Рис. 1 Определение моды графическим методом

 

Согласно  табл. 3, для двух соседних значений имеющегося вариационного ряда, частота встречаемости которых равна 9, средним арифметическим является значение 365,6 тыс. руб./чел, то есть значение моды Мо = 365,5 тыс. руб./чел.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная фондовооруженность характеризуется средней величиной 365,6 тыс. руб./чел.

 

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

 

Конкретное  значение медианы для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

,

где х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина  медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета  медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частотности) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В нашем случае медианным интервалом является интервал 365,6 – 390,6 тыс. руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет  значения медианы:

(тыс. руб./чел.).

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем фондовооруженность не более 376,74 тыс. руб./чел., а другая половина – не менее 376,74 тыс. руб./чел.

 

3. Расчет  характеристик ряда распределения.

Для расчета  характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

Группы предприятий по фондовооруженности, тыс. руб./чел.	Середина интервала,	Число предприятий, fj
1	2	3	4	5	6	7
290,6 – 315,6	303,1	1	303,1	-75	5625	5625
315,6 – 340,6	328,1	1	328,1	-70	2500	2500
340,6 – 365,6	353,1	9	3177,9	-25	625	5625
365,6 – 390,6	378,1	9	3402,9	0	0	0
390,6 – 415,6	403,1	6	2418,6	25	625	3750
415,6 – 440,6	428,1	4	1712,4	50	2500	10000
Итого		30	11343			27500

 

Расчет  средней арифметической взвешенной:

(тыс. руб./чел.).

Расчет  дисперсии:

Расчет  среднего квадратического отклонения:

(тыс. руб./чел.).

Расчет  коэффициента вариации:

Т.к. , то совокупность наблюдений считается однородной, а среднее можно считать надежной характеристикой этой совокупности.

Вывод. Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что средняя фондовооруженность предприятий составляет 378,1 тыс. руб./чел., отклонение от среднего в ту или иную сторону составляет в среднем 30,28 тыс. руб./чел.. (или 8,01%), наиболее характерные значения фондовооруженности находятся в пределах от 347,82 тыс. руб./чел. до 408,38 тыс. руб./чел. (диапазон ).

Значение  V_σ = 8,01% не превышает 33%, следовательно, вариация фондовооруженности в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( = 378,1 тыс. руб./чел., Мо = 365,5 тыс. руб./чел., Ме = 376,71 тыс. руб./чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение объема кредитных вложений банков (378,1 тыс. руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

 

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным:

.

Средняя арифметическая простая равна простой  сумме отдельных значений усредняемого признака, деленной на общее число  этих значений. Она применяется в  тех случаях, когда имеются несгруппированные  индивидуальные значения признака. В  то время как средняя арифметическая взвешенная – это средняя из вариантов, которые повторяются различное  число раз или имеют различный  вес.

 

Задание 2.

По  исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками фондовооруженность труда работников и среднегодовая стоимость основных производственных фондов, используя метод аналитической группировки.
2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы.

Решение.

По условию  Задания 2 факторным является признак фондовооруженность (X), результативным – признак среднегодовая стоимость производственных фондов (ОПФ) (Y).

1. Установление  наличия и характера связи  между признаками методом аналитической  группировки.

При использовании метода аналитической  группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для  каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую  группировку, характеризующую зависимость  между факторным признаком Х  – фондовооруженность и результативным признаком Y – среднегодовая стоимость ОПФ. Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Аналитическая таблица имеет следующий вид (табл. 7).

Таблица 7

Зависимость фондовооружнности от среднегодовой стоимости ОПФ

Номер группы	Группы предприятий по фондовооруженности, тыс. руб./чел., х	Число пред-приятий, fj	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн  руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5 = 4 : 3
1	290,6 – 315,6	1	40,00	40,00
2	315,6 – 340,6	1	48,81	48,81
3	340,6 – 365,6	9	576,40	64,04
4	365,6 – 390,6	9	744,10	82,68
5	390,6 – 415,6	6	582,33	97,06
6	415,6 – 440,6	4	468,36	117,09
	Итого	30	2460,0	82,00

 

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением фондовооруженности от группы к группе систематически возрастает и среднегодовая стоимость ОПФ по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

 

2. Измерение  тесноты и силы корреляционной  связи с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения.

Для измерения  тесноты и силы связи между  факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает  силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется  вариацией фактора Х (остальная  часть вариации Y объясняется вариацией  прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

,

где – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная)  дисперсия признака Y.

Значения  показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство = 0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного  признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

или как  средняя взвешенная по частоте групп  интервального ряда:

Для вычисления удобно использовать формулу расчета по всем единицам совокупности, т.к. в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет :

(млн руб.).

Для расчета  общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии

Номер предприятия п/п	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн  руб.
1	2	3	4	5
1	100,20	18,2	331,24	10040,04
2	77,14	-4,86	23,62	5950,58
3	92,80	10,8	116,64	8611,84
4	71,84	-10,16	103,23	5160,99
5	83,24	1,24	1,54	6928,90
6	140,00	58	3364,00	19600,00
7	108,54	26,54	704,37	11780,93
8	90,67	8,67	75,17	8221,05
9	76,23	-5,77	33,29	5811,01
10	101,80	19,8	392,04	10363,24
11	73,82	-8,18	66,91	5449,39
12	51,49	-30,51	930,86	2651,22
13	91,61	9,61	92,35	8392,39
14	104,64	22,64	512,57	10949,53
15	56,69	-25,31	640,60	3213,76
16	48,81	-33,19	1101,58	2382,42
17	40,00	-42	1764,00	1600,00
18	70,32	-11,68	136,42	4944,90
19	116,00	34	1156,00	13456,00
20	103,82	21,82	476,11	10778,59
21	89,64	7,64	58,37	8035,33
22	81,93	-0,07	0,00	6712,52
23	67,71	-14,29	204,20	4584,64
24	89,30	7,3	53,29	7974,49
25	52,70	-29,3	858,49	2777,29
26	69,42	-12,58	158,26	4819,14
27	62,41	-19,59	383,77	3895,01
28	91,28	9,28	86,12	8332,04
29	79,20	-2,8	7,84	6272,64
30	76,75	-5,25	27,56	5890,56
Итого	2460,0	3,00	13864,44	215585,44