Расчет технических характеристик параллельного колебательного контура

Во всех других случаях пользуются   линейными системами  с  постоянными   параметрами.

 

 

  6.2. Последовательный колебательный контур

 

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь, содержащую индуктивную катушку и конденсатор, включенные последовательно с источником энергии. Для анализа процессов, протекающих в контуре, необходимо перейти от его принципиальной схемы к эквивалентной путем замены каждого реального элемента его эквивалентной схемой.

Воспользуемся простейшими последовательной и параллельной схемами замещения индуктивной катушки (см. рис. 2.38, в и 2.39, в) и конденсатора (см. рис. 2.38, б н 2.39, б), содержащими наряду с индуктивностью L_пар, L_пар или емкостью C_пар, С_пар только сопротивления R_Lпос и R_Спос или R_Lпар и R_Спар, учитывающие все виды потерь в индуктивной катушке

 

 

рис. 2.38

Рис. 2.39

и конденсаторе соответственно.

Рассмотрим векторные диаграммы, иллюстрирующие фазовые соотношения между токами и напряжениями последовательных RL- и RC-цепей,

Рис 2.18

Рис.2.19

 

моделирующих индуктивную катушку  и конденсатор (см. рис. 2.18, г, д 2.19, г, д). Из диаграмм видно, что вследствие потерь

Рис. 3.17. Схемы  последовательного колебательного контура: а) - принципиальная;  б) - эквивалентная: в) - упрощенная    эквивалентная

сдвиг фаз между током и напряжением  на зажимах индуктивной катушки и конденсатора меньше π/2. Очевидно, что чем ближе к π/2 будет сдвиг фаз |φ| между током и напряжением, тем ближе будут свойства этих реальных элементов к свойствам индуктивности и емкости. Количественно степень приближения свойств реальных элементов к свойствам идеализированных элементов оценивается их добротностью, которая определяется как модуль тангенса сдвига фаз между током и напряжением на зажимах соответствующего элемента:

Из рис. 2.18, г и 2.19, г видно, что добротность индуктивной катушки

, (3.18)

а добротность конденсатора

. (3.19)

Обычно в колебательных контурах радиотехнических устройств стремятся  использовать элементы с высокой  добротностью, причем добротность индуктивных катушек лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, а добротность конденсаторов — от нескольких сетей до нескольких тысяч. Таким образом, между параметрами рассматриваемых элементов последовательных схем замещения выполняются соотношения

 >> 1; << 1. (3.20)

Экспериментально установлено, что и в достаточно широком диапазоне частот можно приближенно считать независящими от частоты.

В соответствии с формулами, приведенными в табл. 2.1, параметры параллельной схемы замещения индуктивной катушки могут быть выражены через параметры элементов последовательной схемы замещения:

; .

С учетом соотношений  (3.20)   эти  выражения   можно упростить:

; . (3.2l)

Таким образом, у индуктивных катушек с высокой добротностью значения индуктивностей параллельной и последовательной схем замещения приблизительно одинаковы и могут считаться не зависящими от частоты; значение сопротивления в параллельной схеме замещения обратно пропорционально значению сопротивления последовательной схемы замещения и сильно зависит от частоты.

Аналогичным образом найдем соотношения  между параметрами элементов  параллельной и последовательной схем замещения* конденсатора:

;

. (3.22)

Экспериментально установлено, что параметры  и можно приближенно считать не зависящими от частоты. Из соотношений (3.22) следует, что у конденсаторов с высокой добротностью значения емкостей в последовательной и параллельной схемах замещения приблизительно одинаковы и могут считаться не зависящими от частоты; сопротивление   обратно пропорционально сопротивлению

.      (3.23)

и зависит от частоты.

Между параметрами сопротивлений  потерь индуктивной катушки R_L  и конденсатора R_С, как правило, выполняются соотношения

>> ; << (3.24)

Для анализа процессов в последовательном колебательном контуре удобно воспользоваться  последовательными схемами замещения  индуктивной катушки, конденсатора и источника энергии. Представляя каждый из этих элементов его последовательной схемой замещения, получим эквивалентную схему последовательного колебательного контура (рис, 3.17.б). Эта схема может быть несколько упрошена, если пренебречь внутренним сопротивлением источника (далее будет рассмотрено влияние внутреннего сопротивления источника на характеристики контура) и заменить сопротивления потерь конденсатора и индуктивной катушки сопротивлением

, (3.25)

которое считается практически  не зависящим от частоты (рис. 3.17,в). Итак, с учетом принятых допущений  исследование процессов в последовательном колебательном контуре сводится к исследованию последовательной RLC-цепи, к зажимам которой подключен идеальный источник напряжения. Ток, отдаваемый этим источником, назовем током контура; напряжение, создаваемое источником на зажимах - напряжением контура. Под входным сопротивлением контура будем понимать входное сопротивление последовательной RLC-цепи относительно зажимов , определяемое выражением .

 

Резонансная частота, характеристическое сопротивление и добротность  контура

 

По определению, мнимая составляющая входного сопротивления

последовательного колебательного контура

(3.26)

должна быть равна нулю, когда  угловая частота внешнего воздействия ω равна резонансной частоте контура ω₀. Полагая в выражении (3.26) ω = ω₀, получаем уравнение для определения резонансной частоты последовательного колебательного контура:

,          (3.27)

откуда

; ; (3.28)

На резонансной частоте полное сопротивление емкости

 (3.29)

равно полному сопротивлению индуктивности

(3. 30)

Величина ρ, равная полному сопротивлению  емкости или индуктивности контура на резонансной частоте, получила название характеристического сопротивления контура. Подставляя в (3.29) и (3.30) выражение для резонансной частоты контура, убеждаемся, что значение ρ не зависит от частоты и определяется только параметрами реактивных элементов контура:

. (3.31)

На резонансной частоте входное  сопротивление контура имеет  чисто резистивный характер и равно сопротивлению потерь контура .

Действующее значение тока контура  на резонансной частоте

,  (3. 32)

где U — действующее значение напряжения на контуре. Действующие значения напряжений на реактивных элементах контура на резонансной частоте определяются произведением характеристического сопротивления на действующее значение тока:

. (3.33)

Отношение действующего значения напряжения на реактивном элементе контура к  действующему значению напряжения на контуре на резонансной частоте называется добротностью контура

. (3.34)                   

Используя выражение (3.31), добротность  колебательного контура Q можно выразить через параметры его элементов

    (3.35)

Как правило, добротность колебательных  контуров современной радиотехнической аппаратуры лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, поэтому в режиме резонанса напряжение на реактивных элементах контура может во много раз превышать приложенное к контуру напряжение. Как следует из выражения (3.34), при неизменной резонансной частоте ш₀ добротность контура растет с увеличением характеристического сопротивления контура и с уменьшением сопротивления потерь.

Добротность колебательного контура  может быть выражена через добротности  его элементом   Действительно, рассматривая  величину

 (3.36)

и учитывая, что сопротивление потерь контура равно сумме сопротивлений потерь индуктивной катушки и конденсатора в последовательных схемах замещения, находим

. (3.37)

Сравнивая полученное выражение с  соотношениями (3.18), (3.19). устанавливаем, что величины и равны добротностям индуктивной катушки и конденсатора на резонансной частоте:

; .                  (3.38)

Подставляя (3.36) в (3.35), получаем простое  выражение, связывающее добротность контура с добротностями элементов контура на резонансной частоте:

.                               (3.39)

Анализ выражения (3.37) показывает, что добротность контура не может превышать добротности его элементов на резонансной частоте. Как правило, >> поэтому добротность контура в основном определяется добротностью индуктивной катушки на резонансной частоте. Величина d, обратная добротности контура, называется его затуханием.

 

6.3. Параллельный  колебательный контур

Параллельным колебательным контуром называется электрическая цепь, в которой индуктивные катушки и конденсаторы размещены в двух ветвях, подключенных параллельно источнику энергии. Принципиальные электрические схемы параллельных колебательных контуров различных видов приведены на рис. 3.18.

В простейшем случае параллельный колебательный  контур содержит индуктивную катушку в одной из параллельных ветвей, а конденсатор — в другой (рис. 3.18, а). Такой контур называется параллельным колебательным контуром 1-го (основного) вида. Параллельный колебательный контур 2-го (с неполным включением

а)             б)                     в)

Рис. 3.18. Принципиальные электрические  схемы параллельных

колебательных контуров:

а – основного вида б – второго вида; в – третьего вида

индуктивности) вида содержит в одной ветви индуктивную катушку L₁, а в другой ветви конденсатор С и индуктивную катушку L₂ (рис. 3.18, б); параллельный колебательный контур 3-го (с неполным включением емкости) вида содержит в одной ветви индуктивную катушку L и конденсатор С_2, а в другой — только конденсатор С₁ (рис. 3.18, в).

Рис. 3. 19. Эквивалентные схемы параллельного колебательного контура основного вида, полученные при использовании параллельных схем замещения элементов

Рассмотрим контур 1-го вида. В соответствии с основным методом теории цепей  реальные элементы заменим упрощенными  моделирующими цепями, а принципиальную электрическую схему контура его эквивалентной схемой.  Используя  параллельные схемы  замещения источника энергии, индуктивной катушки и конденсатора, получим один из вариантов эквивалентной схемы контура (рис. 3.19, а).

 

Пропускная способность параллельного колебательного контура

Важнейшая особенность последовательного  колебательного контура заключается в том, что амплитуда реакции контура на гармоническое воздействие существенно зависит от частоты. На резонансной частоте и в узком диапазоне частот около нее амплитуда отклика достигает наибольшего значения; на частотах, значительно отличающихся от резонансной, амплитуда отклика во много раз меньше максимального значения. Если на вход такого контура подать сумму гармонических колебаний различных частот, имеющих одинаковую амплитуду, то на выходе можно обнаружить, что амплитуда колебаний, частота которых близка к резонансной, значительно превышает амплитуду колебаний, частота которых отличается от резонансной. Контур как бы «пропускаете колебания одних частот и «не пропускает» колебания других частот. Способность электрической цепи выделять колебания отдельных частот из суммы колебаний различных частот называется избирательностью.

В идеальном случае отклик избирательной  цепи должен иметь постоянное значение в пределах определенного диапазона частот, называемого полосой пропускания цепи, и быть равным нулю за пределами этого диапазона. Нормированная ЛЧХ идеальной избирательной цепи должна иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.20. Нормированные АЧХ избирательной цепи. I-идеальной; II-реальной.

 

прямоугольную ферму (рис. 3.26, кривая I). АЧХ реальных избирательных цепей, в том числе и АЧХ последовательного колебательного контура, отличаются от характеристик идеальной избирательной цепи (рис. 3.26, кривая II) отсутствием резкой границы между диапазонами пропускаемых и задерживаемых (подавляемых) частот. Очевидно, избирательные свойства реальных цепей будут тем выше, чем ближе   к   прямоугольной   будет форма их нормированной АЧХ.

Полоса пропускания реальных избирательных устройств условно определяется как диапазон частот, в пределах которого амплитуда отклика цепи не падает ниже уровня от максимального значения. На частотах, соответствующих границам полосы пропускания, амплитуда отклика составляет от максимального значения, а потребляемая цепью активная мощности в 2 раза меньше максимальной.

Избирательные свойства последовательного  колебательного контура определяются формой нормированной ЛЧХ входной проводимости

контура . На резонансной частоте нормированная входная проводимость контура равна единице.

 

Ширина полосы пропускания пропорциональна  резонансной частоте   контура

       (3.40)

а относительная  ширина полосы пропускания

  (3.41)

равна  его  затуханию.

Избирательные свойства последовательного  колебательного контура зависят  от его добротности: чем выше добротность  контура, тем меньше ширина полосы пропускания.

Простейшей электрической цепью, в которой наблюдается явление  резонанса, является одиночный колебательный контур, представляющий собой замкнутую цепь, состоящую из конденсатора и индуктивной катушки. В зависимости от способа подключения источника энергии, различают «последовательный» колебательный контур (источник энергии включен последовательно с конденсатором и индуктивной катушкой) и «параллельный» колебательный контур (источник энергии подключен параллельно реактивным элементам). Ранее, при изучении последовательной R,L,С-цепи, было установлено, что ее входное сопротивление может иметь чисто резистивный характер, когда мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению равна мнимой составляющей входного сопротивления индуктивности ( ). В этом случае напряжение на емкости равно по амплитуде и противоположно по фазе напряжению на индуктивности ( ), а напряжение на входе цепи равно напряжению на сопротивлении и совпадает по фазе с входным током . Такая разновидность резонанса получила название резонанса   напряжений.