Расчет технических характеристик параллельного колебательного контура

      Наряду с векторным представлением  гармонические колебания можно  представлять комплексными числами. Как известно, комплексное число

a + jb = A_m e^jα = A_mcos(α) + jA_msin(α)

полностью характеризуется  модулем A_m и аргументом α, аналогичными амплитуде и фазе гармонического колебания. Комплексное число Á_m = A_me^­jφ называют комплексной амплитудой гармонического колебания.

      Метод расчета  цепей, базирующихся на понятии комплексной амплитуды, называют методом комплексных амплитуд. Метод комплексных амплитуд в электротехнике впервые в 1883 году применил немецкий ученый Ч.Штейнмец. В России этот метод широко использовал академик В.Ф. Миткевич.

      Переход от временной функции к комплексной амплитуде обратим:  S(t) = A_mcos(ωt – φ) Û . Очевидно, что при всех математических преобразованиях, где вещественная и мнимая части комплексного числа преобразуются независимо одна от другой, этот метод может быть использован без каких-либо ограничений. Примерами таких математических операций, называемых линейными, являются сложение, вычитание, умножение на постоянную величину, дифференцирование и интегрирование.

      Операции умножения  и деления являются нелинейными. Для получения правильного результата приходится  использовать искусственный прием: один из переменных множителей брать комплексно сопряженным. Примером может служить нахождение мощности переменного тока по формуле P = IUcos(φ) = Re . Практически важным случаем нелинейной операции является введение комплексных изображений для сопротивлений. Учитывая закон Ома , найдем символические изображения для простых случаев чисто активного, чисто емкостного и чисто индуктивного сопротивлений.

           = R .

           = 1/C = (1/jωC) · i_me^jωt = (1/jωС)

           = L di/dt = L d(i_me^jωt)/dt = jωLi_me^jωt = jωL .

Из этих соотношений непосредственно  следуют выражения для 

                                 

                                  1/jωС = (1/j) X_C

                                  jωL = jX_L .

      Следует особо  подчеркнуть, определение комплексных  изображений для сопротивлений включает в себя нелинейную операцию . Поэтому соотношение между сопротивлением и его комплексным изображением имеет другой характер, чем в случае тока и напряжений. Сопротивление равно не вещественной или мнимой части, а модулю своего символического изображения.

          Радиоэлектронное  устройство независимо от конструкции и технологии его изготовления представляет собой некоторое соединение элементов – резисторов, конденсаторов, диодов, источников электрической энергии и др. Совокупность соединенных определенным образом элементов устройства называется радиоэлектронной цепью.

Элементы цепи подразделяются на активные  и пассивные. Основной признак активного элемента - это его способность отдавать электрическую энергию. К пассивным элементам относятся потребители и накопители электрической энергии.

В теории цепей рассматриваются  идеализированные элементы, обладающие каким-нибудь одним свойством, - это, например, сопротивление, емкость, индуктивность, источники тока и напряжения.

 

 

5. Основные сведения  из теории электрических цепей

Электрическая цепь обеспечивает протекание электрического тока. Ток течёт от источника электрической энергии (электрической батарейки, аккумулятора, генератора и т.д.) к приёмнику электрической энергии (электрическим лампам, электронагревательным приборам, электрическим двигателям и т.п.).

Источники электрической  энергии характеризуются электродвижущей  силой (э.д.с.). Источники э.д.с. в схемах обычно обозначаются буквой Е. В электрических  и электронных цепях используют различные источники электрической  энергии с различными зависимостями э.д.с. от времени.

На рис.1.1 приведены  зависимости от времени чаще всего  используемых источников электрической  энергии.

Примерами источников постоянного напряжения (рис.1.1а) являются электрические батарейки, аккумуляторы. Источником переменного (синусоидального) напряжения (рис.1.1б) является электрическая сеть. Источники прямоугольных импульсных сигналов (рис.1.1.в) используются в компьютерах и электронных калькуляторах.

 

Рис.1.1.Э.д.с. различных источников электрической энергии:

а) источник постоянного напряжения,

б) источник переменного  напряжения,

в) источник прямоугольных  импульсных сигналов.

 

В простейшем случае электрическая  цепь состоит из одних проводов - проводников, обладающих малым сопротивлением электрическому току. Так, например, передаётся электрическая энергия от батарейки карманного фонаря к лампочке. В другие более сложные электрические цепи включаются пассивные компоненты: резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности.

Непременным компонентом многих электрических  цепей является резистор – компонент, обладающий вполне определённым заданным при его изготовлении сопротивлением электрическому току R. Таким образом, резистор в электрической цепи заменяется в электрической схеме на элемент R, отражающий главное свойство резистора - оказывать вполне определённое сопротивление протеканию электрического тока.

Величина, обратно пропорциональная R, называется проводимостью G=1/R. С использованием этой величины закон Ома будет иметь вид: I=UG. Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, протекающих через узел цепи, равна нулю. По-другому, этот закон можно сформулировать так: сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из этого узла. Этот закон иллюстрирует рис.1.5.

 

Рис.1.5. Пример, иллюстрирующий первый закон Кирхгофа.

 

Для схемы, приведённой на рис.1.5 I₃=I₁+I₂. Очевидна аналогия: сколько воды в единицу времени пройдёт через сечение русел каждой из двух сливающихся рек, столько же воды будет протекать в единицу времени через сечение русла реки после слияния двух рек. Фактически первый закон Кирхгофа был использован нами при рассмотрении параллельно включённых сопротивлений.

Второй закон Кирхгофа гласит, что  алгебраическая сумма э.д.с. в замкнутом  контуре равна алгебраической сумме  напряжений на сопротивлениях в этой же цепи. Для цепи, состоящей из батарейки, проводов и лампочки и изображённой на рис.1.2, проиллюстрируем выполнение этого закона. По сравнению с идеальным случаем учтём внутреннее сопротивление батарейки и сопротивление проводов (рис.1.6) Для приведённой на рис.1.6 схемы это означает, что E_Б=U_Б+U_ПР+U_Л, где E_Б – э.д.с. батарейки, U_Б – падение напряжения на внутреннем сопротивлении батарейки R_Б, U_ПР – падение напряжения на сопротивлении проводов R_ПР, U_Л – падение напряжения на сопротивлении нити накала R_Л. С учётом закона Ома получаем: Е_Б=I(R_Б+R_ПР+R_Л).

Рис.1.6. Полная схема цепи, состоящей из батарейки,      проводов и лампочки.

 

Второй закон Кирхгофа нами уже  практически использовался при  рассмотрении случая двух последовательно  включённых сопротивлений.

Внутреннее сопротивление источника электрической энергии характеризует его свойства. Различают два случая: источник постоянного напряжения и источник постоянного тока. Источник постоянного напряжения имеет внутреннее сопротивление обычно гораздо меньше, чем сопротивление подключаемых к нему цепей. В идеальном источнике напряжения внутреннее сопротивление равно нулю, как и было нами предположено для схемы на рис.1.3. В идеальном источнике тока внутреннее сопротивление равно бесконечности. Для удобства расчётов в схемах возможна замена источников напряжения на источники тока и наоборот. Например, источник постоянного напряжения с э.д.с., равной E, и внутренним сопротивлением R_ВН можно заменить источником тока с тем же внутренним сопротивлением и силой тока, равной E/R_ВН (рис.1.7)

 

 

Рис.1.7. Эквивалентные  преобразования источников напряжения и тока.

 

Рассмотренные нами цепи и компоненты и их схемы называются линейными, т.к. для них зависимость тока от напряжения (вольтамперная характеристика) имеет линейный характер. Например, зависимость тока от приложенного напряжения к резистору линейна, как это показано на рис.1.8.

Рис.1.8. Вольтамперная характеристика сопротивления.

 

Тангенс угла наклона прямой на рис.1.8 по закону Ома обратно пропорционален величине сопротивления: tgα=I/U=1/R.

Для линейных цепей  удобно использовать принцип наложений  или, как иногда его называют, принцип суперпозиций. Суть его заключается в том, что для нахождения каких-либо напряжений и токов в линейных цепях можно сделать это, находя нужные напряжение (или ток) последовательно сначала от одного источника э.д.с., затем от другого и т.д., а потом суммируя результаты этих расчётов. Также, последовательно находятся напряжения и токи от источников тока, результаты суммируются, а потом суммируются с результатами расчётов напряжения, обусловленных действием э.д.с. При этих расчётах должно выполняться правило: если мы находим напряжение или ток от одного источника э.д.с. или источника тока, то все другие источники э.д.с. закорачиваются, а источники тока исключаются и участок цепи при этом разрывается. Например, в рассмотренной нами схеме на рис.1.5 падение напряжения U₃ на сопротивлении R₃ можно вычислить следующим образом. Закорачиваем источник E_Б2 получаем следующую схему для расчёта (рис.1.9а).

 

Рис.1.9. Эквивалентные  схемы, для расчёта схемы приведённой на рис.1.5, методом наложений.

Параллельное соединение сопротивлений  R₂ и R₃ равно

 

Отсюда из второго   закона   Кирхгофа   и   закона   Ома   следует,   что  , а .

Следовательно .

В  схеме   приведённой   на   рис.1.9б,  закорочен  источник   E_Б1.  Параллельное соединение сопротивлений R₁ и R₃ равно .

Отсюда из второго закона Кирхгофа и закона Ома следует, что

, а  . Следовательно

.

 

Суммируя  и получаем искомое напряжение .

6. Линейные двухполюсники

 

6.1. Признаки классификации  радиотехнических цепей

 

 Большинство радиотехнических схем имеет два входных и два выходных зажима (полюса). Это позволяет представить их в виде эквивагентных четырехполюсников, каждый из которых состоит из более простых элементов, преимущественно двухполюсников. Цепи, не содержащие источников энергии и усилительных элементов, называются пассивными, а содержащие - активными.

По характеру зависимости тока от напряжения различают линейные и нелинейные цепи. Линейные цепи подразделяются на цепи с постоянными и на цепи с переменными параметрами, меняющимися во времени. Последние называются параметрическими цепями. Параметры линейных цепей не зависят от напряжений и токов; а параметры нелинейных цепей зависят от напряжений и токов.

К линейным двухполюсникам относятся  активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С, вольтамперная характеристика которых прямолинейна (рис. 1.10, а). В качестве примера нелинейного двухполюсника сошлемся на диод, идеализированная характеристика которого имеет вид ломаной линии (рис. 1.10 б).

Для любой точки характеристики резистора отношение напряжения к току u/i, равное сопротивлению R, есть постоянная величина. Этого нельзя сказать о диоде: его сопротивление R_A =u/i в области положительных анодных напряжений конечно ( ), а в области отрицательных, где ток t = 0, бесконечно велико

( ).

Сравним свойства линейных и нелинейных цепей.

1. Линейные цепи подчиняются,  а нелинейные — не подчиняются принципу нложения (суперпозиции). Принцип наложения заключается в том, что при воздействии на цепь нескольких э. д. с. любой формы и частоты отклик на каждую из них независим от других, а потому эти отклики можно суммировать. Объясняется это так: поскольку сопротивление линейной цепи не зависит от приложенного к ней напряжения, любая э. д. с, вводимая в такую цепь, вызывает прямо пропорциональное приращение тока. Отсюда мгновенное значение результирующего "тока равно сумме мгновенных значений составляющих токов.

Пусть анодное напряжение диода, имеющего сопротивления  =200 ом и = ∞, складывается из =10 в и = - 6 в. В таком диоде ток, очевидно,   равен мА. Если же исходить из  принципа  наложения, то получим  ма, что не соответствует действительности. Это подтверждает,   что   к   нелинейным  цепям   неприменим   принцип наложения.

2. Частоты спектров выходного  и входного напряжений линейных цепей одинаковы, а нелинейных различны. Например, синусоидальное напряжение 1, 2, 3,..., приложенное к цепи из резисторов,

 

Рис. 1.10. Двухполюсники линейный (л)   и нелинейный  (6) и их вольтамперные характеристики.

 

вызывает в ней ток и выходное напряжение синусоидальной формы  , , ,… {рис. 1,10 а). Но если такое же напряжение будет приложено к диоду, то в нем возникнет пульсирующий ток , , , (рис. 1.10, б). Спектр этого тока имеет много гармонических составляющих, в частности постоянную составляющую I₀. Такой составляющей нет во входном напряжении, доказательством чего может служить одинаковая форма положительной и отрицательной полуволн напряжения (среднее значение напряжения равно нулю).

То же самое можно сказать  и о линейных системах с переменными параметрами. Допустим, что синусоидальное напряжение приложено к резистору с сопротивлением R, изменяющимся во времени по закону

.

Тогда ток i в резисторе равен

,

т. е. этот ток содержит постоянную составляющую и вторую гармонику с амплитудой , каких нет во входном напряжении.

Из сказанного следует вывод: если выходное напряжение системы содержит гармонические составляющие, отсутствующие в спектре входного напряжения, то в систему входит один или несколько, нелинейных или параметрических элементов.