Уровни развития ребенка

Камнем преткновения для детей является различение двух систем наименований при решении задач с делением на части и с делением по содержанию. В обоих случаях нужно писать именованное делимое, но в первом без наименования пишется делитель, а во втором — частное. Очень часто дети не замечают этого различия и, записывая ответ при решении задачи, ошибочно уподобляют одну запись другой.

Наряду с этим в школьной практике часто наблюдаются и обратные явления: ученики успешно решали задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению, но в определенной словесной формулировке (в условии говорилось «во столько-то раз больше»). Когда дается задача того же типа, но в измененной формулировке («Если одно число разделим на другое, то в результате будет столько-то»), некоторые ученики воспринимают это изменение как существенное и не используют в этом случае хорошо известный им способ нахождения суммы частей.

Каковы же пути предупреждения подобного рода ошибок и как бороться с ними, если они уже появились? Как, в частности, противодействовать возникновению ошибок смешения сходных, но не идентичных фактов и явлений?

Широко известна одна общая закономерность психической деятельности: легче всего различаются контрастные, противоположные явления. Этот закон с одинаковой силой проявляется как при восприятии, так и в процессах мышления, он основан на физиологической закономерности, широко изученной И. П. Павловым и его последователями: из числа раздражителей, воздействующих на нервную систему, раньше всего дифференцируются контрастные раздражители.

При формировании понятий в школьном возрасте постоянно сталкиваешься с одним и тем же фактором: прежде всего формируются противоположные понятия, при этом одно способствует осознанию другого: «большой—маленький», «много—мало», «длинный—короткий» и т. п. Такие пары понятий легко усваиваются потому, что они осознаются в противопоставлении друг другу.

В начальном курсе математики содержится большое число таких пар противоположных понятий.

Однако в очень многих случаях противоположные понятия изучаются раздельно, и их изучение иногда отделено довольно длительным промежутком времени.

Не задерживает ли это усвоение?

Психологические исследования показывают, что противопоставление различных по содержанию понятий и правил предохраняет в дальнейшем от их смешения. Существуют два пути противопоставления: одновременное и так называемое отсроченное.

В первом случае противоположные понятия (или правила) вводятся в одно и то же время, в другом — сначала изучается первое, а затем, когда оно уже достаточно усвоено, вводится второе на основе противопоставления первому.

Возникает вопрос о том, какие пары противоположных понятий при изучении арифметики целесообразно вводить одновременно и по отношению к каким применять отсроченное противопоставление. В настоящее время проводится экспериментальная проверка эффективности различных путей изучения применительно к разным разделам программы.

Однако уже и теперь можно определенно утверждать, что противопоставление создает несомненные преимущества для усвоения, поскольку оба понятия (или свойства) включаются в единую систему знаний, и усвоение признаков одного понятия подкрепляется усвоением признаков другого. Таким образом, целесообразно вводить в пределах 10, 20, 100 одновременно сложение и вычитание, раздробление и превращение, решение задач на прямое и обратное приведение к единице и т. п.

Но в тех случаях, когда изучаемые понятия или свойства представляют собой довольно сложную систему признаков и не все признаки одной системы диаметрально противоположны другой, целесообразнее прибегать к отсроченному противопоставлению.

Этот путь применим, например, к изучению умножения и деления многозначных чисел.

Таким образом, в тех случаях, когда новое задание напоминает в некоторых отношениях старое и тем самым побуждает учащихся к применению известных им ранее способов выполнения задания, совершенно необходимо в самом начале объяснения нового задания подчеркнуть его отличие от старого, выявить его специфику.

Итак, противопоставление, применяемое на разных этапах, должно способствовать предупреждению ошибок смешения сходных понятий и свойств. Необходимо, чтобы противопоставление применялось в учебной практике систематически.

Конкретное и абстрактное мышление в процессе усвоения и применения знаний

Овладение понятиями невозможно без выделения одних свойств и отвлечения от других. Причем обобщение и отвлечение совершаются вместе, в неразрывной связи друг с другом.

Но в учебной практике очень важное значение имеет и другой вид отвлечения, который осуществляется в процессе применения полученных знаний к решению задач, когда от школьника требуется найти уже известное ему понятие в новых для него условиях, когда ему нужно, узнать в данной арифметической задаче изученный ранее тип, выделить существенные особенности ее математической структуры, отбросив те несущественные признаки, которые затемняют или маскируют особенности изученного типа. Здесь мы имеем дело со вторым видом отвлечения, который приобретает значение самостоятельного процесса, поскольку он происходит отдельно от обобщения. Обобщение уже сформировалось, нужно только найти этот общий принцип,, вычленив его в новых конкретных условиях.

Различие этих двух видов отвлечения вызывает очень важные последствия и диктует разный подход к ним. То, что является наиболее трудным для ученика при выполнении первого вида отвлечения (назовем его «первичным»), оказывается, наоборот, более легким при осуществлении второго вида отвлечения (соответственно обозначим его как «вторичный»).

В самом деле, когда формируется понятие о типе задачи, мы вынуждены начинать с более конкретной задачи, а затем вести учеников к задаче, носящей отвлеченный характер.

Но, когда мы имеем дело со вторичным отвлечением, внесение в условие отдельных частных деталей только затруднит для ученика процесс решения, поскольку ему придется узнавать знакомую математическую структуру в более сложном конкретном явлении, отбрасывая несущественные детали.

Необходимость отвлечения от большого количества несущественных с математической точки зрения деталей затрудняет решение задачи.

Следовательно, трудность задачи имеет разный психологический смысл в зависимости от того, формируется ли понятие вновь или предложено упражнение на применение изученного понятия в новых конкретных условиях. Отсюда вытекает и разная последовательность в предъявлении задач в одном и другом случае.

В двух различных видах отвлечения есть еще одна существенная сторона.

Когда выполняется первичное отвлечение, должен быть обеспечен достаточно широкий конкретный опыт, то есть нужно познакомить учеников с разными фактами, раскрывающими изучаемое понятие. Во вторичном отвлечении решающую роль играет схема, которая помогает выделить общий принцип в новых конкретных условиях.

Психологические исследования раскрыли, в чем именно сказывается положительная роль схем. Как известно, для учеников основная трудность решения арифметических задач состоит в том, что для них существует разрыв между конкретно-сюжетной стороной условия и выраженной в нем абстрактной математической зависимостью. Схема, выражающая в отвлеченно-пространственной форме (например, в виде прямоугольников разной высоты) зависимость между данными и искомым, помогает в преодолении этого разрыва, поскольку она объединяет в себе черты как наглядного, так и отвлеченного материала. Схема, с одной стороны, помогает отрешиться от конкретного сюжета задачи, поскольку она более абстрактна (внесюжетна), а с другой — она способствует осознанию абстрактной математической зависимости, так как она ее сама выражает, но в более наглядной — графической форме.

Важным условием успешного использования схемы является сопоставление ее с более конкретным видом графики — картинкой, иллюстрирующей соотношение предметов, описанных в условии задачи.

Теперь мы подошли к формулировке важнейшего принципа обучения (вообще и математике в частности): принципа взаимодействия конкретного и отвлеченного (абстрактного) мышления в процессе усвоения знаний.

Необходимым условием формирования абстрактных понятий является накопление конкретного опыта, включающего знакомство с различными явлениями. Узнать общий абстрактный принцип удается только тогда, когда преодолевается разрыв между конкретным и абстрактным, который первоначально существует в сознании того, кто решает задачу.

При овладении новыми понятиями и принципами конкретный материал служит опорой усвоения, но при узнавании в новых условиях изученного ранее понятия или принципа конкретный материал становится причиной, которая не облегчает, но даже может затруднить выполнение задания.

И в том и в другом случае конкретный материал используется в учебных целях, но во втором он будет играть совершенно иную роль по сравнению с тем, как это обычно подразумевается, когда говорится о принципе наглядности.

Таким образом, понятие наглядное, или точнее сказать, конкретное, обучение значительно шире того привычного содержания, какое в него обычно вкладывается.

Мышление в процессе обучения. Принцип наглядности. Ошибки.

Необходимо обратить внимание еще на одну сторону принципа наглядности, на которую до сих пор мало обращалось внимания при обучении арифметике: далеко не всегда применение наглядности может быть полезным в процессе обучения. Нередко мы сталкиваемся в школьной практике с неправильным использованием наглядности, когда она применяется там, где этого совсем не требуется, а иногда наглядность может играть даже отрицательную роль, уводя мысль ученика в сторону от поставленной задачи. Подобных фактов можно привести немало.

Например, первоклассник обучается выбору арифметического действия (сложения или вычитания) при решении арифметических задач; учитель привлекает для этой цели картинку, на которой нарисованы птички на ветке, к ним прилетают новые или, наоборот, некоторые из них улетают. Ученик, глядя на эту картинку, видит не только тех птиц, которые подлежат счету, но он непосредственно видит и самый результат счета. Спрашивается, для чего ему задумываться над тем, какое арифметическое действие надо применить, если он может сразу сказать, сколько птичек стало после того, как к сидящим на ветке добавились другие или, наоборот, несколько из них улетели.

Наглядность, примененная в этом случае, не способствует формированию умения выбора арифметических действий при решении задач, а задерживает его развитие.

Подобную же роль играет картинка, когда она используется на первоначальных этапах обучения детей составлению задач. Следует иметь в виду, что основной трудностью для детей на первых порах является постановка вопроса в задаче. Довольно часто ученики I класса в ответ на требование придумать задачу составляют задачу без вопроса или вместо вопроса дают готовый ответ. Поэтому особенно важно использовать самостоятельное составление учеником задачи именно для того, чтобы научить их формулировать вопрос. Но что получается, если в этом случае используется картинка, по которой дети должны составить задачу? Получается как раз обратное тому, чего хочет достичь учитель: ребенок видит, например, на картинке, что девочка сорвала 3 гриба, а мальчик 5 грибов и естественно, что у него не возникает никакой потребности сформулировать вопрос в составленной им задаче: «Сколько всего грибов у девочки и мальчика?»

Вместо вопроса он говорит числовой ответ: «Всего собрано 8 грибов». В данном случае действительно в вопросе нет необходимости, так как результат сразу виден.

В начальных классах обычно наблюдается злоупотребление одним из видов наглядности — иллюстративным (картинки), в то же время явно недооцениваются другие виды графической наглядности — диаграммы, схемы. Необходимо этим видам отводить значительно более широкое место при обучении математике. Данное требование диктуется целями политехнического образования. С этой точки зрения большое значение приобретает развитие пространственных представлений у детей, формирование у них умений читать и строить чертежи, при этом строить не только на бумаге, но и в воображении, мысленно преобразовывать чертежи и отдельные их элементы и т. п. Только при условии, если школьники будут выполнять достаточно много упражнений такого рода, можно достичь в начальных классах необходимого развития конкретного мышления детей, что является необходимым для их дальнейших • успехов не только в учебной, но и в трудовой деятельности.

Следует иметь в виду, что конкретное мышление ребенка, являясь опорой для развития абстрактного мышления, само развивается.

Необходимо всемерно развивать техническое мышление учеников, которое поможет им овладеть техникой, понимать основы производства, сформировать умение соединять теоретические знания с трудовой деятельностью. Техническое мышление объединяет в себе черты и конкретного, и абстрактного мышления.

Мы подчеркиваем эти положения, потому что до сих пор широко распространено упрощенное, представление о развитии мышления у школьников, что отражается и на методике обучения математике, особенно в той ее части, которая касается принципа наглядности.

Представление это сводится к следующему: маленький ребенок мыслит конкретно, поэтому, обучая его математике, нужно широко использовать наглядность, а по мере того как он будет овладевать абстрактными понятиями и правилами, нужно наглядность постепенно снимать, переходя от. полной наглядности к частичной, а затем наглядность устранить полностью.

Что верного и что неверного в этом положении?

Правильно то, что ребенок на ранних стадиях развития способен усваивать абстрактный материал только через конкретное, наглядное, верно также и то, что наглядность, необходимая на первых этапах усвоения абстрактных знаний, сыграв роль временной опоры, далее перестает быть нужной.

Но в приведенном выше утверждении упущена очень существенная мысль: с возрастом развивается не только абстрактное, но и конкретное мышление. У ребенка и конкретное мышление развито в ограниченной степени. Наглядность поэтому нужна не только для того, чтобы способствовать развитию абстрактного мышления, но и для формирования различных сторон конкретного мышления. В связи с этим одни виды наглядности надо устранять, а другие широко вводить.