Уровни развития ребенка

Оживить работу над нумерацией можно, во-первых, проведением простой, но интересной и полезной для школьников игры под названием «Живая нумерация».

Во-вторых, изучение многозначных чисел следует связать с именованными числами, с краеведческим материалом, с конкретными примерами из жизни, с личным опытом учащихся, с практикой коммунистического строительства.

В целях создания наилучших условий для усвоения нумерации многозначных чисел полезно рассредоточить работу над этим учебным материалом во времени, не посвящая вопросам нумерации подряд все запланированные на данную тему уроки.

Нумерация многозначных чисел изучается в III классе.

Следуя порядку, указанному в учебнике для третьегокласса, ученики овладевают нумерацией многозначных чисел постепенно: сначала изучают четырехзначные числа, затем пятизначные, наконец, шестизначные числа; после этого им дается понятие о разряде и классе.

При таком порядке работа над классом тысяч не опирается на знакомый детям класс единиц; понятия разряда и класса не связываются с двойной группировкой единиц и даются слишком поздно. Эти недостатки могут быть устранены, если в III классе сначала изучить нумерацию чисел второго класса и только после этого заняться любыми шестизначными числами1, а в дальнейшем сначала остановиться на классе миллионов и после этого переходить к любым девятизначным числам и т. д.

В этом случае понятия разряд и класс вводятся при повторении нумерации чисел в пределах 1000. Затем рассматриваются счетные единицы второго класса; проводятся упражнения в счете единиц, десятков и сотен тысяч и в образовании разрядных и алгоритмических чисел, содержащих только единицы второго класса (50 тыс., 800 тыс., 340 тыс., 875 тыс.), наконец, изучаются четырех-, пяти-, шестизначные числа как результат счета разрядных единиц первого и второго классов.

Идея самой системы счисления — счет единиц второго класса (тысяч) ведется точно так же, как и счет единиц первого класса — находит здесь свое отражение. Изучение нумерации многозначных чисел по этой системе опирается на знания учеников о нумерации чисел в пределах 1000.

Опыт показал, что полезно дать следующую схему разбора многозначного числа:

Прочитать число.

Назвать число единиц каждого разряда и класса в отдельности.

Назвать высший разряд числа.

Назвать общее количество единиц каждого разряда.

Назвать предшествующее и последующее числа по отношению к данному.

Назвать наименьшее и наибольшее числа, составленные из такого же количества разрядов.

Назвать наименьшее и наибольшее числа, записанные всеми цифрами данного числа.

Записать данные числа, как сумму разрядных слагаемых.

Работа по такой схеме способствует формированию понятий о десятичной нумерации.

Далее следует сформулировать правила чтения и записи многозначного числа при любом количестве цифр; «доказать» бесконечность натурального ряда; показать возможность обозначения с помощью десяти знаков любых натуральных чисел. Полезно сравнить десятичную систему счисления и метрическую систему мер длины и веса, обратить внимание на аналогичное их построение. Нужно сравнить также индусскую и римскую нумерации и показать преимущества записи чисел с использованием принципа поместного значения цифр.

Все перечисленные обобщения способствуют формированию понятий числа и величины.

Связь между анализом и синтезом в процессе усвоения арифметики

Усваивая арифметические понятия и законы, решая примеры и задачи, школьники постоянно выполняют основные умственные операции — анализ и синтез. Ни одно понятие не может быть сформировано у школьников без осуществления анализа и синтеза.

Большое значение при этом имеет полнота анализа. Неполный анализ неизбежно обусловливает и ошибочный синтез, что особенно ярко проявляется при решении арифметических задач.

У школьников I и II классов часто наблюдается такая ошибка: выбирая арифметическое действие, они не принимают во внимание вопроса и выполняют то действие, какое им «подсказывают» числовые данные. Так, например, решая задачу: «У Вани было 2 яблока, а у Пети — 3. На сколько больше яблок было у Пети?»— некоторые из них ошибочно складывают 2 и 3, делая эту ошибку только потому, что не проанализировали текст задачи и не выделили вопроса, хотя это было необходимо для правильного выбора действия.

Нередко у младших школьников наблюдается тенденция опираться при выборе арифметического действия на определенное конкретное слово, как бы «вырванное» из текста, изолированное от всего остального содержания. Так, например, встретив в условии задачи слово «улетели», некоторые школьники производят вычитание, хотя далеко не всегда в задаче, текст которой содержит это слово, требуется вычитание.

Подобная ошибка опять-таки является результатом неполноты анализа. Однако, говоря о полноте анализа фактов и явлений, необходимо подчеркнуть, что анализ должен быть подчинен определенной задаче. Любое сложное явление имеет большое количество различных свойств и в зависимости от поставленной задачи нужно выделить либо одни, либо другие стороны. Когда рассматривается понятие, то оно отражает не все, а наиболее существенные свойства предметов и явлений, и для разных аспектов понятия различные свойства могут выступать в качестве существенных.

Так, например, при формировании понятия целого числа ребенок имеет дело с количественными отношениями, и с этой точки зрения величина и форма предметов, подлежащих счету, не имеет существенного значения, при формировании же геометрических понятий на первый план выступает форма, а все прочие свойства перестают быть существенными.

Таким образом, задача обучения состоит в том, чтобы научить школьников производить целенаправленный анализ, то есть анализ, который учитывает поставленную заданием цель.

Условия формирования правильных обобщений

В математике дети сталкиваются с необходимостью выделять существенные свойства, присущие целому ряду фактов и явлений, и обобщать их, формулируя соответствующие понятия и законы.

Рассмотрим, как обеспечить формирование правильных обобщений.

Для детей на первых порах оказывается очень трудным выделять и осознавать именно те свойства, которые являются существенными, тем самым отделяя их от многочисленных несущественных сторон определенных фактов и явлений.

Дело в том, что очень часто именно эти несущественные свойства выступают особенно наглядно и прежде всего бросаются в глаза ребенку.

С этой точки зрения большой интерес представляют факты из истории развития понятия о числе. Попробуйте предложить ребенку, у которого еще не сформировались числовые представления, одно и то же количество предметов (например, пять пуговиц), но расположите их по-разному: в одном случае расположите их в виде тесного круга, в другом — образуйте из них вытянутую в длину фигуру. Если вы спросите ребенка, где, в какой кучке предметов больше, то он вам укажет ту, которая занимает большее место в пространстве.

Таким образом, суждения ребенка определяются формой, расположением предметов в пространстве, и за этими наглядно выраженными свойствами он еще не замечает количественных соотношений.

Очень важное значение для математического развития младших школьников имеет понимание того, что результат выполняемых ими числовых операций (сложения, вычитания и др.) не зависит от наименований предметов счета, то есть, если дети складывают, например, 5 спичек и 3 спички, они получат тот же числовой результат, что и при сложении любых других предметов, (палочек, кубиков и т. п.).

Чтобы проверить, сформировалось ли у детей это необходимое обобщение, можно предложить ученику прибавить к 5 спичкам 3 спички. Когда он назовет результат 8, задайте ему вопрос, сколько будет, если прибавить к 5 карандашам 3 карандаша. Школьник, у которого сформировалось обобщение, ответит «будет тоже 8» или «все равно 8». Тот же, который такого обобщения не сделал, будет стремиться получить карандаши для того, чтобы заново произвести числовую операцию.

Для формирования подобного обобщения необходимо наглядно показывать детям, что результат счета не изменяется, хотя наименования могут быть самыми различными. В этом ученик должен, многократно убеждаться на собственном опыте.

Аналогичны требования к формированию обобщений и в других разделах курса арифметики (изучение геометрического материала, решение задач), но только в этих случаях школьникам приходится иметь дело с другими существенными сторонами, и в качестве несущественных также выступают другие признаки. Ошибки обобщений, подобные описанным выше, могут встречаться не только в I и II, но и в III и IV классах.

Так, например, некоторые ученики как младших, так и старших классов могут не узнать вытянутый в длину прямоугольник (рис. 2), так как у них сложилось ошибочное представление о том, что соотношение длины смежных сторон является существенным признаком, характеризующим данное понятие.

рис.2

Такое ошибочное обобщение не сложилось, если бы дети видели и сами строили прямоугольники с различным соотношением сторон.

При решении арифметических задач ошибки обобщения встречаются 6 самых различных формат: или дети при выборе арифметического действия считают, что одно определенное слово (чаще всего глагол) неизменно связано с определенным арифметическим Действием; или при определении типа задачи они считают самым существенным какое-либо словесное выражение, но не тот смысл, какой выражен условием задачи в целом. Так, после знакомства с задачами на нахождение неизвестного по сумме и отношению для некоторых детей бывает достаточно выделить в условии задачи «во столько-то раз больше», как они уже считают, что задача должна быть отнесена к данному типу.

Во всех этих случаях необходимым условием правильных обобщений является разбор на конкретных примерах того, что признаки, которые могут широко изменяться, являются несущественными для определенного понятия. Так, например, могут встречаться прямоугольники с разным соотношением длин смежных сторон или кратное отношение может встречаться в разных задачах, как типовых, так и нетиповых, оно может иметь различный смысл в зависимости от того, с какими другими данными сочетается в условии.

Итак, мы теперь можем сформулировать общее правило: необходимым условием формирования правильных обобщений у школьников является варьирование (изменение) несущественных признаков понятий, свойств и фактов при постоянстве существенных признаков.

При этом очень важно, чтобы школьники сами активно изменяли несущественные стороны явлений и фактов, иллюстрируя то или иное понятие или закон.

Формирование правильных обобщений. Практическое применение.

Учитель располагает в отношении формирования правильных обобщений богатым источником для очень ценных упражнений. Он может предлагать школьникам заменять наименования предметов счета при выполнении одной и той же числовой операции, чертить фигуры разной величины и с различным соотношением сторон, составлять задачи на какое-либо арифметическое действие, используя в условии различные глаголы и т. п. Большое значение имеет также употребление учениками в речи не только существенных признаков понятия (или принципа), но и несущественных.

Существенные признаки включаются в формулировку определений, а несущественные признаки обычно в формулировке определений не содержатся. В то же время очень важно, чтобы школьники знали и те признаки., которые для данного понятия (или принципа) являются несущественными. При этом, конечно, не имеются в виду какие-либо сложные формулировки. Совершенно достаточно, если ученик I класса скажет, например: «получим то же самое, что бы мы ни считали», и тем самым выразит то положение, что изменение предметов счета не может влиять на результат. Или если при черчении прямоугольников они скажут: «прямоугольники бывают разные — и большие и маленькие, и стороны у них могут быть разные» и т.п.

Но при этом всегда должно соблюдаться важное требование: и определения понятий (и свойств), какие дают школьники, и указания на несущественные признаки (в виде словесно выраженных суждений) всегда должны происходить на основе собственного опыта, в результате их работы, что дает возможность полностью осознать изучаемый материал.

Нужно всегда помнить высказывание К. Д. Ушинского, который в очень яркой форме выразил данное требование: «Слово хорошо тогда, когда оно верно выражает мысль, а верно выражает оно мысль тогда, когда вырастает из нее, как кожа из организма, а не надевается, как перчатка, сшитая из чужой кожи»

До сих пор иногда ведется спор среди методистов и учителей, нужно ли сообщать школьникам названия типов задач. Этот спор легко разрешим, если мы будем исходить из изложенного выше требования: название типа полезно тогда, когда оно является результатом понимания школьником своеобразия типовой задачи, когда в нем формулируется обобщение, сделанное самим школьником. И, наоборот, название типа может принести только вред, если оно сообщается учителем преждевременно и превращается в некий ярлык, связанный с чисто внешними чертами условия той или иной типовой задачи.

Рассмотрим подробнее, что представляет собой процесс обобщения при усвоении арифметических (так же как и любых других) понятий и свойств.

Школьник усваивает то или иное общее положение благодаря тому, что он сравнивает наблюдаемые факты и явления, выясняя в них сходное, отделяя их от других, непохожих фактов и явлений, содержащих в себе черты различия.

Сравнение — это та мыслительная деятельность, которая постоянно совершается школьником в процессе учения. Еще К. Д. Ушинский указывал, что сравнение является основой всякого мышления. Успех учения в значительной мере определяется тем, сформировались ли у школьников умения сравнивать, то есть замечать сходное и различное.

При обучении математике уже в начальных классах от детей требуются довольно сложные формы сравнения, а именно приходится замечать сходное в явлениях, которые с внешней стороны сильно отличаются друг от друга, и наряду с этим улавливать различие там, где ярко выражено сходство.

Формирование правильных обобщений. Ошибки и как от них избавиться.

Значительная часть ошибок, какие делают школьники при обучении арифметике, проистекает именно от того, что они не умеют сравнивать и действуют по аналогии (при решении примеров и задач) в тех случаях, где требуется изменение способа действия и, наоборот, не используют известных им способов там, где это необходимо, поскольку они не уловили сходного.

Маленькие частицы «на» и «в» (в выражениях «на сколько» и «во сколько раз»), требующие различных действий, нередко не замечаются учениками, что неизбежно вызывает ошибку.