Уровни развития ребенка

Учитель связывает их в пучок и перекладывает в левый верхний карман таблицы. Ученики должны при этом вспомнить примеры вида: 2 — 2 = 0; 5 — 5 = 0,и т. д., которые они уже решали. Теперь надо от 10 отнять 10, получится 0. Под пустым карманом учитель ставит цифру 0, а под пучком — десятком — единицу. Цифра 1 показывает, что число состоит из одного десятка, а цифра О — что в этом числе нет отдельных (свободных) единиц. Так разъясняется детям запись числа 10.

Добавляя затем отдельные палочки в правый верхний карман, учитель поясняет запись чисел второго десятка. Под конец в левый верхний карман он ставит два пучка-десятка и под ними цифру 2, а справа под пустым верхним карманом снова появляется нуль.

Попутно вводят термины: однозначное число, или число, которое обозначено одной цифрой (одним знаком), и двузначное число, или число, которое обозначено двумя цифрами (двумя знаками).

Изучение письменной нумерации сопровождается чтением чисел второго десятка по учебнику и записью таких чисел под диктовку. В это время дети знакомятся с монетами в 10, 15 и 20 копеек, приводят случаи из жизни, когда приходится разменять 15 коп. на гривенник и пятачок, или 20 коп. на 2 гривенника и т. д.

Весьма желательно пояснить нумерацию до двадцати на сантиметровой линейке, которую дети могут изготовить самостоятельно на уроке ручного труда. В некоторых школах сантиметр вводится уже при изучении первого десятка. При переходе ко второму десятку желательно познакомить детей и с дециметром.

рис. 38

На рисунке 38 изображена сантиметровая линейка в уменьшенном виде. Числа 0, 10 и 20 надо ставить под делениями, как это показано на рисунке.

Пользуясь такой сантиметровой линейкой, детям приходится иметь дело с образованием числа из десятка и нескольких единиц и с разложением данного числа на десяток и единицы. Так, чтобы начертить отрезок длиною, например, 15 см, ученик должен найти на линейке 10 .см и добавить к ним еще 5 см, то есть предварительно разложить 15 на слагаемые. Измеряя, например, длину карандаша, ученик видит на линейке 10 см и еще 8 см, что составляет 18 см. Чтобы навести ученика на эти приемы, цифрами на линейке обозначены только числа нуль, десять и двадцать.

Для измерения сантиметровой линейкой ученикам можно предложить образцы некоторых изделий, изготовляемых на уроках труда: закладку для книг длиной 18 см, флажок длиной 12см, карточку для игры в лото длиной 15 см, шириной 11 см и др.

Первая сотня. Нумерация в пределах первой сотни

Чтобы овладеть нумерацией в пределах ста, надо, во-первых, научиться считать десятки, во-вторых, считать десятками и, в-третьих, считать до ста по одному. Возникает вопрос, следует ли начинать изучение нумерации в пределах ста со счета десятками или лучше начать со счета по одному?

Ученик, который считает десятками, не научившись считать по одному, может оказаться в затруднительном положении: называя круглые десятки вне их связи с натуральным рядом, он может думать, что между круглыми числами нет промежуточных, что эти числа непосредственно следуют одно за другим. Чтобы избежать подобных недоразумений, лучше начинать работу над нумерацией с называния последовательных чисел натурального ряда от единицы до ста, попутно осуществляя группировку единиц в десятки, что учитель поясняет на классном пособии (длинные палочки), а ученики воспроизводят на своих палочках.

Наряду с палочками полезно применить второе пособие — «ленту ста». Дело в том, что, связав палочки в десятки, ученик в конечном счете видит только 10 пучков, но не видит натурального ряда, ее видит, какое место занимает в этом ряду каждое круглое число. На «ленте ста», представляющей собой метр, разделенный на дециметры и сантиметры, дети считают сантиметры и по одному, и десятками.

Некоторую трудность представляет собой переход через новые для детей круглые числа (40, 60, 90 и др.). Это обязывает учителя обратить особое внимание на называние чисел в прямом и обратном порядке с переходом через данное круглое число: 1) 37, 38, 39, 40, 41 ... и 2) 73, 72, 71, 70, 69 ... и т. д.

Большинство названий круглых десятков представляет собой сочетание известных детям названий однозначных чисел и сокращенного слова «дцать» или «десят» вместо «десяток» (двадцать, тридцать, пятьдесят и т. д.). Полезно сопоставить эти названия с уже известными детям названиями чисел второго десятка: тринадцать и тридцать, пятнадцать и пятьдесят и т. д.

Усвоение десятичного состава чисел обеспечивается упражнениями в образовании числа из разрядных чисел (5 дес. и 7 ед. составят число 57) и в разложении данного числа (число 68 состоит из 6 дес. и 8 ед.). Заметим, что было бы с математической точки зрения неправильно складывать 5 десятков и 7 единиц: складывать можно числа, состоящие из однородных элементов, например, 50 ед. и 7 ед. Не следует соединять знаком сложения числа 5 дес. и 7 ед., но нет никаких оснований возражать против равенства 5 дес. 7 ед. =57 ед., как и против равенства 7 м 5 дм = 75 дм,

Письменная нумерация связана, как и устная, с десятичной группировкой единиц при счете в условиях применения принципа поместного значения цифр, с которым дети встретились впервые при изучении второго десятка.

Пользуясь «счетной таблицей», мы начинаем с записи полных двузначных чисел, напоминая детям, что единицы пишут на первом месте справа, а десятки — на втором. После этого вводится запись круглых чисел, причем еще раз подчеркивается, что нуль пишут на месте единиц (или на месте десятков в числе 100), если их нет в данном числе. Тем самым предотвращается ошибка, которую иногда допускают дети, записывая, например, число 56 как 506.

Наряду с «лентой ста» полезно применить деревянный метр, разделенный на дециметры и сантиметры. Таким метром можно измерить высоту стола и стула, длину и ширину стола, размеры которого не превышают метра, высоту подоконника. Более раннее знакомство с дециметром позволяет ввести запись результатов измерений в виде составного именованного числа. Фактически дети выполняют таким образом преобразование именованных чисел, а вместе с тем работают над десятичным составом числа.

На уроке труда дети изготовляют по данному образцу метровые ленты, разделенные на дециметры и сантиметры. С помощью лент они измеряют длину и ширину листа бумаги, листа картона, оконного стекла; длину каемки на носовом платке, длину своего пояса и т. д. Каждый должен уметь показать на себе длину, равную одному метру, одному дециметру, одному сантиметру (ширина ладони — дециметр, длина ногтя — сантиметр), знать, сколько раз может он отложить свою «пядь» по длине метра. Длину того или иного отрезка дети сначала оценивают на глаз, а затем проверяют измерением.

Измерения делают отвлеченные числа близкими, понятными, помогают связать изучение нумерации с жизнью.

Усвоение нумерации органически связывается с выполнением четырех действий над круглыми десятками. Все эти действия сводятся к превращению единиц в десятки и к последующему раздроблению полученного результата в единицы, то есть в конечном счете к выполнению действий над числами первого десятка. В следующей таблице даны образцы сложения, вычитания, умножения и деления круглых десятков:

30 + 20 = 3 дес. + 2 дес. = 5 дес. = 50

90 — 50 = 9 дес. — 5 дес. = 4 дес. = 40

20 х 3.= 2 дес. х 3 = 6 дес. = 60

80 : 4 = 8 дес. : 4 = 2 дес. = 20

Первая тысяча

После первой сотни возможен переход к изучению нумерации и действий над числами любой величины. Однако непосредственный переход от сотни к многозначным числам связан для детей с значительными трудностями: изучение сотни не дает детям необходимой подготовки для изучения нумерации многозначных чисел и для успешного усвоения алгоритмов письменных вычислений. Чтобы сделать этот переход более плавным, а весь процесс обучения арифметике более доступным для детей, в конце прошлого века был введен концентр тысяча.

Опыт российской школы подтвердил целесообразность этой промежуточной ступени. Основная задача ее состоит в том, чтобы постепенно подготовить детей к изучению нумерации чисел любой величины и создать условия для плавного перехода от устных вычислений к письменным. Главное содержание этой ступени составляет:

основательное изучение нумерации трехзначных чисел, составляющих класс единиц, по образцу- которого строятся все другие классы многозначных чисел;

твердое усвоение приемов устных вычислений с круглыми числами в пределах тысячи;

первоначальное знакомство со способами письменных вычислений.

Таким образом, концентр «Тысяча» как промежуточная и вспомогательная ступень должен быть небольшим по объему с тем, чтобы не задерживать поступательное движение учеников в усвоении курса математики и иметь своим основным назначением подготовку их к успешному изучению концентра многозначных чисел.

По вопросу о том, когда вводить письменные приемы вычислений, существуют различные точки зрения. В некоторых исследованиях письменные вычисления вводятся рано — при выполнении действий уже в пределах 100: при сложении и вычитании двузначных чисел, а также при умножении двузначных чисел на однозначное данные числа подписываются столбиком, и действия производятся, начиная с единиц.

В других исследованиях проводится противоположная линия: первоначальное знакомство с письменными приемами вычислений относится к концентру многозначных чисел.

Какую точку зрения следует считать более рациональной? При раннем введении письменных приемов есть опасность нанести ущерб формированию навыков устного счета. Если же первоначальное знакомство с письменными вычислениями откладывать до изучения концентра многозначных чисел, завершающего собой начальное обучение, то создаются условия, при которых может не хватить времени для формирования прочных, устойчивых и достаточно автоматизированных навыков письменных вычислений.

Очевидно, при решении данного вопроса следует избегать крайностей: с введением письменных вычислений не нужно торопиться, но не следует и откладывать знакомство с такими вычислениями надолго.

Концентр «Тысяча», по-видимому, и есть та ступень, на которой целесообразно положить начало формированию умения производить вычисления с трехзначными числами письменно, сосредоточив эту работу во II классе.

Для вполне обоснованного ответа на вопрос о начале введения в школьную практику письменных вычислений требуется дальнейшее научное его исследование и проверка.

Первая тысяча. Устная нумерация.

Изучение устной нумерации чисел в пределах 1000 начинается со счета сотнями. Вводя счет сотнями, учитель предлагает детям сосчитать данные им палочки, связанные пучками в десятки. Сначала счет ведется десятками, а потом выясняется, что легче сосчитать палочки, если каждые 10 десятков объединить в сотни. Счет сотнями ведется так: одна сотня, две сотни, три сотни и т. д., а затем присчитывание по сотне: сто, двести, триста, четыреста и т. д.

При счете сотнями внимание детей обращается на то, что сотня — составная счетная единица; сотни считают так же, как простые единицы. Дети записывают и усваивают соотношение между счетными единицами:

10 единиц составляют 1 десяток.

10 десятков составляют 1 сотню.

10 сотен составляют 1 тысячу.

Далее следуют упражнения в непрерывном счете в пределах тысячи. Сначала счет ведется по одному: сто, сто один, сто два, сто три и т. д. Затем переходят к счету группами: по десяти, по двадцати, по пятидесяти.

Такие упражнения дополняются счетом по единице в местах перехода через сотню. Например:

считать по одному от 396 до 402, от 798 до 804;

назвать 5 чисел, следующих одно за другим за числом 698;

назвать числа в обратном порядке от 703 до 696.

Большую роль в усвоении нумерации играют упражнения:

а) в образовании чисел из сотен, десятков и единиц, например, назвать число, состоящее из 4 сотен 2 десятков и 6 единиц; из 8 сотен, 6 десятков; из 5 сотен и четырех единиц;

б) в разложении трехзначных чисел на сотни, десятки и единицы; например: из скольких сотен, десятков и единиц состоят числа: 736, 915, 608, 490 и др.

Эти упражнения полезно выполнять с помощью палочек, причем единицы кладутся на первом месте справа, десятки на втором и сотни на третьем месте.

Многозначные числа. Нумерация многозначных чисел

Изучение нумерации многозначных чисел связано с необходимостью усвоить разряды и классы, а также ряд понятий, связанных с ними. Различение таких понятий, как число и цифра, единица разряда и единица класса, наименьшее и наибольшее число данного разряда или класса, входит в содержание данной темы. Умение записать данное число в виде суммы слагаемых, в каждом из которых только один разряд имеет единицы, и по данным слагаемым образовать число, умение назвать общее количество единиц данного разряда, класса и пр. вырабатываются после длительных и повторных упражнений. Чтобы безошибочно читать и записывать многозначное число, ученик должен практически овладеть структурой таких чисел и принципом, поместного значения цифр.

Конкретизацию больших чисел приходится заменить условной наглядностью, когда, например, две косточки на счетах или два кружка на счетной таблице могут обозначать и 2, и 20, и 200 и т. д. в зависимости от расположения предметов на пособии. Иначе говоря, конкретизировать приходится не числа, а десятичную систему счисления.

На практике учителя массовой школы в течение многих лет успешно применяют при изучении нумерации следующие наглядные пособия: классные счеты, горизонтальные и вертикальные, счетную таблицу, нумерационную таблицу, ленту тысячи.

Все перечисленные пособия являются классными: они применяются в условиях фронтальной работы. Кроме того, каждый ученик должен иметь у себя следующий дидактический материал: маленькие счеты, небольшую «счетную таблицу» того же типа, что и классная; нумерационную таблицу, которая чертится в тетради.