Различные подходы к формированию понятия «число» в начальном курсе математики

Департамент образования  города Москвы

Государственное образовательное учреждение

Педагогический  колледж № 14

 

ПЦК физико-математических дисциплин

и методики преподавания

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

«Различные подходы к формированию понятия «число» в начальном курсе математики»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Вайткуте Екатерина

Витальевна,

Студентка 301группы

 

Научный руководитель:

Е. С. Борисова,

преподаватель

теоретических

 основ начального 

курса математики

 

 

 

 

 

 

Оценка______

Дата защиты "____"______________2010г.

 

Москва, 2010

Оглавление.

Стр.

Введение……………………………………………………………………………..3

 

Глава I. Теоретические аспекты изучения понятия «число» в начальном

курсе математики……………………………………………………………….......4

1.1. История вопроса……………………….……………………………………..4

1.2.Количественные натуральные числа.………………………………………..5

1.3. Теоретико-множественный смысл  натурального числа, нуля………….…6

1.4. Смысл натурального числа, полученного в результате

измерения величины………………………………...…………………………..6

 

Глава II. Анализ изучения понятия « число» в различных программах

по математике начальных классов………………………………………………...8

2.1. Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа…….…….8

2.2. Число как мера величины……………………………………………….....16

 

Заключение………………………………………………………………………...21

 

Список литературы………………………………………………………………..22

 

 

 

 

 

Введение.

Актуальность данного исследования объясняется значимостью понимания детьми понятия и термина «число», а также умения отличить число от цифры, поскольку зачастую ученики начальной школы путают эти понятия, и эта проблема переходит в среднюю школу, что безусловно является ошибкой преподавания учителя. Число – это то понятие, с которого, как правило, начинается обучение в школе. Уже в начальных классах дети изучают различные функции натурального числа, которых немало, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в котрых обосновываются различные подходы к определению натурального числа и действий над ними.¹

 

Цель исследования: изучить различные подходы к формированию понятия числа у младших школьников.

 

Задачи исследования:

• выявить различные подходы к формированию понятия числа у младших школьников на уроках математики;
• разработать систему приемов формирования понятия числа у учеников начальных классов, используя различные подходы и методы;
• раскрыть содержание понятия числа, цифры;
• проанализировать состояние проблемы;
• изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.

 

Предмет исследования: особенности методической деятельности учителя начальных классов в процессе формирования понятия «число» у младших школьников.

Объект исследования: процесс формирования понятия «число» у младших школьников.

 

1. Теоретические аспекты изучения понятия «число» в начальном курсе математики.

 

1. История вопроса.

Число является одним  из основных понятий математики. Понятие  числа развивалось в тесной связи  с изучением величин; эта связь  сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

Существует большое  количество определений понятию  «число».

Первое научное определение  числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал  от своего соотечественника Эвдокса  Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский  – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах  из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании  последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления  о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось  учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что  эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так  дошли до нового предела. Им стало  число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число  «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка  – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» – 10¹², «леодр» – 10²⁴, «ворон» – 10⁴⁸, «колода» – 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в  «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.²

 

2. Количественные натуральные числа.

Натуральные числа имеют  две основные функции:

- характеристика количества предметов;

- характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими  функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения  чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Аксиоматическая теория описывает натуральное число  как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Иными словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа , рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет и другие.

Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Отрезок натурального ряда имеет два важных свойства:

1) любой отрезок N_a содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_a.

2) если число х содержится  в отрезке N_a и х ≠ а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в N_a .

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_a натурального ряда.

Теорема: всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_a, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(A)=a.

Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.³

 

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля.

Так как любому непустому  конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных  позиций рассматривается как  число элементов пустого множества: 0=n(Ø).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1. как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а=n(А), причем А~ N_a.
2. Как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теорема: Любое непустое подмножество конечного множества конечно. ⁴

 

4. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения  будем вести на примере одной  величины – длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок x состоит из отрезков x₁,  x₂, …, x_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение: Если отрезок х состоит  из отрезков, каждый из которых равен  единичному отрезку е, то число а  называют численным значением длины  Х данного отрезка при единице  длины Е.

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к  натуральному числу отметим два замечания:

1) при переходе к другой единице  длины численное значение длины  заданного отрезка изменяется, хотя  сам отрезок остается неизменным.

2) если отрезок х  состоит из а отрезков, равных  е, а отрезок у – из b отрезков, тогда а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны. ⁵ 
2. Анализ изучения понятия « число» в различных программах по математике начальных классах

 

2.1 Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа.

 

Программа (традиционная) предусматривает постепенное расширение области рассматриваемых чисел. Концентризм в построении программы неразрывно связан с особенностями десятичной системы счисления и нумерации чисел.