Элементы комбинаторики в школьном курсе математики

Учащийся должен уметь:

• Решать задачи на правило произведения и суммы;
• Преобразовывать выражения, содержащие факториал;
• Решать задачи с перестановками; размещениями, сочетаниями.
• Решать задачи с использованием формулы включений и исключений для двух и трех множеств.

2.3. Формирование критического мышления при использовании элементов комбинаторики в обучении

Одна из основных задач современного обучения состоит в развитии личности учащихся и подготовке к получению образования на основе профильного изучения математики. Эта задача требует развития математической культуры учащихся, основным компонентом которого является математическое мышление.

На основе изучения логического и комбинаторного мышления как видов мышления, анализа психолого-педагогической литературы сформулировано определение комбинаторно-критического мышления и его развития как синтеза двух видов мышления.

Комбинаторно-критическое мышление - мышление, реализуемое посредством мыслительных операций, направленного на выделение конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий, дальнейшего процесса преобразования числа выделенных выборов в зависимости от субъектного опыта ученика.

Чтобы развивать комбинаторно-критический стиль мышления у старшеклассников необходимо чтобы:

- учащиеся умели находить и  видели, как можно больше вариантов  подхода к одной и той же  проблеме, а также могли выбрать  наиболее оптимальный, исходя из поставленных целей и задач;

- учащиеся умели рассматривать  собственные действия и действия  других с различных точек зрения, развивая тем самым критическую  и рефлексивную компоненты;

- учащиеся умели, применяя ряд  мыслительных операций, переформулировать  задачу, подходить к ее решению  и оформлению решения с различных  позиций;

- учащиеся смогли осуществить  выбор способа саморазвития, выстраивания  своей профессиональной карьеры.

Умение решать задачи, разрабатывать стратегию их решения, выдвигать и доказывать гипотезы, прогнозировать результаты своей деятельности, анализировать и находить рациональные способы решения задачи путем оптимизации, различных вариантов перебора с использованием логических операций позволяют судить об уровне развития комбинаторно-критического мышления школьников.

Необходимость поиска новых эффективных средств развития комбинаторно-критического мышления школьников обусловлена его значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном обществе. Умение логически рассуждать, вариативно мыслить является показателем общей культуры мышления человека.

Чтобы развивать комбинаторно-критический стиль мышления у старшеклассников необходимо чтобы:

- учащиеся умели находить как  можно больше вариантов подхода  к одной и той же проблеме, а также могли выбрать наиболее  оптимальный вариант, исходя из  поставленных целей и задач;

- учащиеся умели рассматривать  собственные действия и действия  других с различных точек зрения, развивая тем самым критическую  и рефлексивную компоненты;

- учащиеся умели, применяя ряд  мыслительных операций, переформулировать  задачу, подходить к ее решению  и оформлению решения с различных  позиций;

- учащиеся смогли осуществить  выбор способа саморазвития, выстраивания  своей профессиональной карьеры.

Предлагается следующая система педагогических условий, помогающих организовать деятельность по формированию и развитию комбинаторно-критического мышления старшеклассников.

Первое условие.

Специально разработанное содержание (например, элективных курсов по математике), направленных на развитие комбинаторно-критического мышления старшеклассников.

Выделим принципиальные условия к разработке метода развития комбинаторно-критического мышления:

1.  Содержание должно носит циклический характер, так как к наиболее важным типологиям задач (логическим, комбинаторным) следует периодически возвращаться на новом витке познания и понимания;

2. Обучение на высоком уровне позволяет каждому ученику осуществить очередной этап собственного развития;

3. Обучение, которое включает в себя все четыре уровня действия: физическое, физиологическое, уровень действия субъекта, уровень действия личности.

Второе условие.

Специально предложенная типология задач, направленных на развитие комбинаторно-критического мышления старшеклассников, реализацию ближней и дальней целей ученика.

В ходе исследования были определены основные требования к заданиям, направленным на развитие комбинаторно-критического мышления:

1. Задания должны способствовать развитию комбинаторно-критического мышления учащихся. Так как задания многие старшеклассники преломляют через призму дальнейшей профессиональной карьеры, через важность и необходимость реализации ближней (итоговая аттестация) и дальней (продолжение образования) цели, то компенсировать данную особенность можно за счет повышенной мотивации, интересных подходов к организации учебного процесса, а также за счет учета возрастных особенностей;

2. Задания должны быть предложены на каждом из основных этапов формирования приемов умственной деятельности учащихся:

- система заданий должна быть  личностно-ориентированной, построенной  исходя из субъектного опыта  ученика;

- задания должны быть симбиозом  всех представленных нами требований  к заданиям, направленным на развитие  комбинаторно-критического мышления  учащихся.

Третье условие.

Развитие комбинаторно-критического мышления старшеклассников органично соединяется с развитием предметных умений, тем самым отражается на успеваемости по предмету.

Четвертое условие.

Реализация прямого (изучение операций мышления, их классификации и способов применения, основных разделов «комбинаторики») и косвенного путей (умение применять мыслительные операции, комбинаторные, логические, общенаучные методы через предмет) развития комбинаторно-критического мышления старшеклассников.

В рамках реализации системы факультативных курсов и уроков предусмотрено рассмотрение основных разделов комбинаторики: перемещение, сочетание, размещение, а также приема определения различий между понятиями «сочетание» - «размещение». Кроме изучения операций мышления, основных разделов комбинаторики, изучаются общенаучные, логические и комбинаторные методы.

Методика изучения основных методов представлена поэтапно:

1. Пропедевтический этап. Весь процесс обучения, так или иначе, ведет к тому, что к старшей школе учащиеся отчасти в явном виде (метода замены переменной, графический метод и т.д.) или неявном виде имеют представление о методе;

2. Формирующий этап. Через разработку моделей известных учащимся специальных методов и их применение осуществляем переход к проблемной ситуации - к выходу на общенаучные, логические, комбинаторные методы. На основе работы в проектном режиме и результатов работы в проекте вырабатывается новая модель (на основе известных) основных методов, разбираются основные характеристики метода, демонстрируются образцы применения каждого метода;

3. Абстрагирующий вариант. Узнавание метода, применение его в задачах - первый этап абстрагирования. Второй этап абстрагирования будет считаться реализованным, если ученик осуществляет применение изученного метода в житейских ситуациях.

Пятое условие.

Индивидуальная педагогическая поддержка. Педагогическая поддержка всей группы учащихся осуществляется за счет: эмоционального настроя; субъект-субъектных отношений; использования инновационных технологий, при реализации которых создаются ситуации: взаимообучения, диалогичности общения, позитивной оценки достижений.

Индивидуально-личностная поддержка учащихся осуществляется за счет: диагностики индивидуального развития, обученности, воспитанности, выявления личных проблем ученика; отслеживания процесса развития (вводные, промежуточные и итоговые диагностические данные), так как диагностические данные дают возможность дозировать педагогическую помощь, основанную на индивидуальных особенностях ученика; создания ситуации успеха.

Шестое условие.

Специально разработанные модели системы уроков реализуемых посредством технологизации (педагогическая мастерская, метод проектов, моделирование при информационно-компьютерной поддержке) образовательного процесса.

Седьмое условие.

Обеспечение единства содержательного, мотивационного, критического, корректирующего, контролирующего, рефлексивного, творческого компонентов.

Мотивационный компонент ориентирует на создание благоприятной среды выявления личностных качеств учащихся. В основе компонента лежит управление педагогическим влиянием на положительную мотивацию посредством создания условий, востребующих ее деятельность как личностной структуры, опосредованно влияющей на математическую культуру.

Содержательный компонент определяет новые или практически новые знания, а также процесс познания как процесс отражения и воспроизведения в человеческом сознании действительности, начинающейся с ощущений и восприятий, с помощью которых познаются единичные предметы и их свойства, которые доступны чувственному восприятию.

Корректирующий компонент ориентирует на создание ситуаций, где возможно осуществление осмысления достигнутого уровня развития самим учеником и его учителем. Главная цель корректирующего компонента: корректировка содержания изучаемого материала в зависимости от «зоны ближайшего развития» каждого ученика и корректировку самой «зоны развития».

Контролирующий компонент содержит оценочный материал и условия для возможности корректировки содержательной линии, для осуществления качественного перехода на новый виток развития.

Рефлексивный компонент даёт возможность каждому старшекласснику перейти на новый виток «собственного» развития. Рефлексивный компонент направлен на формирование установки осознания сущностей и смыслов явлений, составляющих предмет изучения, соотнесение изучаемого материала с собственными размышлениями, сомнениями по данному вопросу.

Критический компонент определяет содержание как основу для осмысления любого факта на предмет его соответствия или несоответствия поставленным целям и задачам, современным ценностям и т.д., ориентирует на развитие сильной позиции критичности.

Творческий компонент составляет основу для конструирования собственных отношений к изучаемому событию, содержит материал, требующий экспертной оценки и условия для перевода обучаемых в позицию экспертов, а также осуществляется переход на исследовательский этап обучения.

Восьмое условие.

Специальные материалы для оценки и коррекции умений (уровневые тесты).

Девятое условие.

Педагогическая деятельность учителя, направленная на развитие комбинаторно-критического мышления старшеклассников.

При обучении школьников решению задач учитель сталкивается с некоторыми проблемами. Многие учащиеся, даже старших классов не умеют анализировать условие трудных задач, осуществлять поиск решения, тем более поиск и оформление нескольких способов решения.

 

Заключение

Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. В тоже время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

В преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников. Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношении лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников – не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Она может проявляться в двух основных видах: уровневая и профильная дифференциация. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Второй вид дифференциации – это дифференциация по содержанию. Она предлагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Основная школа является обязательной, старшая школа – профильной.

В последнее время привлекает внимание методистов и учителей идея становления отечественной профильной школы. Профильная школа не является профессиональной, ее задача – дать общее среднее образование с ориентацией на некоторую сферу деятельности, к которой данные группы учащихся имеют большую склонность.

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра. 7-9 класс, 18-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 224 с. 
2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие для общеобразовательных учреждений – М.: Дрофа, 2004.
3. Виленкин Н.Я. «Комбинаторика» М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.— 323 с.
4. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Части 1-2: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.
5. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Части 1-3: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.
6. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 6-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.
7. Дорофеев Г.В.Математика. 6-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.
8. Дорофеев Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра. 7-9 класс 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2010. - 288 с.
9. Журнал «Математика в школе» №5, 2003
10. Журнал «Математика в школе» №5, 2004
11. Журнал «Математика в школе» №6, 2003
12. Журнал «Математика в школе» №6, 2004
13. Журнал «Математика в школе» №7, 2004.
14. Журнал «Математика в школе» №9, 2001
15. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.
16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7-9 класс, 18-е изд., стер. - М.: Просвещение, 2009. - 240 с. 
17. Мельников О. И. Современные аспекты обучения дискретной математике — Мн.: Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003.
18. Мордквич А.Г. Алгебра. 7-9 класс, 13-е изд., испр. - М.: Просвещение, 2009. - 160с.  
19. Мордкович А., Семенов П., События, вероятности, статистическая обработка данных. Дополнительные материалы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательной школы - М., Просвещение, 2007.
20. Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Алгебра. 7-9 класс - М.: Просвещение, 2006. - 287 с
21. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997
22. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 6-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997
23. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе/ Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат.фак.пед. институтов – М.: Просвещение, 1980.
24. Письмо Министерства образования Российской Федерации № 03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятности в содержание математического образования основной школы»
25. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск, Наука, 1975.
26. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика-Пресс, 1997.
27. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.