Элементы комбинаторики в школьном курсе математики

Содержание

Введение

На основании письма Министерства образования Российской Федерации № 03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятности в содержание математического образования основной школы», в российских школах, начиная с 7-х классов (в дальнейшем с 5-х классов) в школьном курсе математики рассматриваются простейшие комбинаторные и вероятностно-статистические понятия

Для внедрения указанного содержания в практику основной школы разработаны учебно-методические материалы. Ряд учебников, таких как линия учебников Алимова, Дорофеева, Потапова, содержат указанный материал как органическую часть курса. Также к основным школьным учебникам математики (Теляковский, Мордкович и другие) подготовлены специальные вкладыши с подробным теоретическим материалом и подбором задач.

Однако неразработанной остается методика введения основных комбинаторных понятий. При этом в курс основной школы включает лишь небольшую часть обширного материала, который является очень полезным как для формирования необходимых комбинаторных навыков, так и для развития мышления школьников в общем.

Таким образом, рассмотрение методики введения раздела комбинаторики в школьный курс математики основной школы является востребованным и актуальным.

Глава 1. Особенности изучения комбинаторики в школьном курсе математики средней школы

1. Целесообразность изучения элементов комбинаторики в начальной школе

Комбинаторика - это раздел математики, в котором в основном занимаются подсчетом числа комбинаций,составленных из определенных элементов.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы.

Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования. Основным недостатком математической подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с реальными объектами.

В условиях современной цивилизации практически каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические данные и т.п. 
Актуальность обновления содержания школьного математического образования стала очевидна, так как курс математики недостаточно хорошо готовил выпускников к коллизиям жизни.  Практика показывает, что человеку, не понявшему вероятностно-статистических идей в детстве, в более зрелом возрасте они даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом опыт набирается и приобретает статус безусловности.

Значит, назрела необходимость введения элементов комбинаторики теории вероятностей, статистики в школьный курс математики ещё в начальной школе.

К особенностям обучения  младших школьников можно отнести то, что в нем много эмпирики и рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой деятельности учащихся. Это  требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности. Изучение основ комбинаторики, теории вероятностей, статистики должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

Глубокое и прочное усвоение школьниками основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики важно для формирования их математической культуры. Формирование математической культуры учеников предполагает организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируется умение изучать данные разделы самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению полученных знаний в своей дальнейшей, профессиональной деятельности.

В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе математики.

Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение простейших задач пересчета, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо, выполнение классификации, сортировки, систематизации. Можно выделить следующие типы заданий: подсчёты (задачи, в которых нужно что-либо сосчитать), комбинаторный анализ (все задачи по комбинаторике), анализ дискретных данных (эти задания призваны научить учащихся рациональным способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности данных).

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

2. Актуальность изучения комбинаторики в курсе математики средней школы

Вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе был поставлен еще в начале 60-х годов выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным. Обращаясь к широкому кругу читателей – математиков, педагогов и методистов, - Б.В. Гнеденко писал: «Сейчас крайне назрела потребность введение в школьное обучение элементов теории вероятностей… В этом нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая практическая деятельность их, и межпредметные связи».

В связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятности как отдельной темы школьного курса школьной математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по комбинаторике и теории вероятности в силу неподготовленности школы к их восприятию. Реформами 80-х годов элементы комбинаторики, теории вероятности и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывается уже почти 40 лет и встречает практически полную поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику школы раздел комбинаторики и теории вероятностей введен лишь номинально. Основными причинами такого положения дел является нетрадиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания ее школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики.

Но самое главное – социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно-обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - осталось невостребованным.

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые комбинаторно-вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью, неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

На основании письма Министерства образования Российской Федерации № 03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятности в содержание математического образования основной школы», в российских школах, начиная с 7-х классов (в дальнейшем с 5-х классов) в школьном курсе математики рассматриваются простейшие комбинаторные и вероятностно-статистические понятия

В журнале «Математика в школе» есть статья, выпущенная Министерства Образования РФ, в которой говорится о том, что одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в программы элементов статистики и теории вероятностей. Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и накопления методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе уже в 2003-2004 учебном году перечислен примерный круг вопросов, на которые следует ориентироваться учителям при введении комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе. Причем рекомендуется начинать изучение этих вопросов уже в 5 классе, т.к., по мнению психологов, дети этого возраста способны усвоить комбинаторный и статистический материал наиболее продуктивно. Кроме этого, в статье приведён достаточно большой список литературы по данной теме (включая учебники, вкладыши к ним, дополнительную литературу по данной теме и материалы для организации подготовки учителей).

Для внедрения указанного содержания в практику основной школы разработаны учебно-методические материалы. Ряд учебников, таких как линия учебников Алимова, Дорофеева, Потапова, содержат указанный материал как органическую часть курса. Также к основным школьным учебникам математики (Теляковский, Мордкович и другие) подготовлены специальные вкладыши с подробным теоретическим материалом и подбором задач. Однако неразработанной остается методика введения основных комбинаторных понятий. При этом в курс основной школы включает лишь небольшую часть обширного материала, который является очень полезным как для формирования необходимых навыков, так и для развития мышления школьников в общем.

Таким образом, рассмотение методики введения раздела комбинаторики в школьный курс математики основной школы является востребованным и актуальным.

Глава 2. Методика изучения раздела «Комбинаторика» в курсе математики средней школы

2.1. Сравнительный анализ изучения раздела комбинаторики в учебной литературе

В связи с модернизацией образования, в большинство перспективных государственных образовательных документов последних лет содержат в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры», была введена вероятностно-статистическая линия. Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных комбинаторных и вероятностно-статистических понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых комбинаторных и вероятностно-статистических моделей в 7-9 классах.

Первая линия учебников, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично и системно связанная с другими темами курса - это новый учебный комплект «Математика 5-6» по ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева.

В указанных учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы.

В работе (реф) проведен сравнительный анализ обучения школьников основной школы решению комбинаторных задач, обучающихся с помощью учебника С.М. Никольского и с помощью учебника Г.В. Дорофеева. Дети, наученные составлять дерево возможных вариантов, более осмысленно решали предложенные задачи, отсекая, если нужно, повторяющиеся комбинации. Так, решение задачи, с применением специальных методов, привело к правильному ответу на 37% учащихся больше, чем решение простым перебором.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.

Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи.