Теория звука. Музыка

Министерство  образования и науки, молодежи и  спорта Украины

Донецкий  национальный университет

факультет математики и информационных технологий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доклад

на тему: «Теория звука. Музыка»

 

 

 

 

 

выполнила:

студентка группы 5 – Ж

Волохова В. Ю.

преподаватель:

Кононов Ю.Н.

 

 

 

 

Донецк 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Уравнение малых  поперечных колебаний струны 3

Уравнение малых  продольных колебаний мембраны 6

Музыка 9

Звукоряд. 11

Ступень звукоряда. 12

Октава. 12

Полутон. 12

Целый тон. 13

Длительность  звука. 13

Размер произведения. 14

Интервалы. 15

Простые интервалы. 15

 

Уравнение малых поперечных колебаний струны

 

Среди колеблющихся тел ни одно не занимает такого выдающегося  положения, как натянутые струны. С давних пор они применяются  для музыкальных целей, да и в  настоящее время они все еще  являются существенной частью таких  важных инструментов, как фортепиано и скрипка. Для математика они  всегда должны представлять особый интерес, ибо именно вокруг них разыгрывались  споры Даламбера, Эйлера, Бернулли и  Лагранжа относительно природы решений  дифференциальных уравнений в частных  производных. Для изучающих акустику струны вдвойне важны. Благодаря  сравнительной простоте их теории они  являются основой, которая облегчает  рассмотрение трудных или неясных  вопросов, таких, как вопросы, связанные  с природой простых тонов; с другой стороны, в форме монохорда или  сонометра струны дают исключительно удобное средство для сравнения высот.

Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Колебания струн можно  разделить на два различных класса, которые, если амплитуды колебаний  не превосходят известных пределов, практически независимы друг от друга. В колебаниях первого класса смещения и движения частиц являются продольными, так что здесь струна всегда остается прямой. Потенциальная энергия смещения зависит не от полного натяжения  струны, а только от изменений натяжения, происходящих в различных частях струны в результате увеличения или  уменьшения ее растяжения.

Колебания, принадлежащие  ко второму классу, — это поперечные колебания, то есть при них частицы  струны движутся заметно только в  плоскостях, перпендикулярных к струне. В этом случае потенциальная энергия  смещения зависит от общего натяжения  струны, и поэтому малые колебания  натяжения, сопровождающие добавочное растяжение, можно не учитывать.

Продемонстрируем  вывод уравнения малых поперечных колебаний струны. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (x,u) струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ox. Величину отклонения струны от положения равновесия в точке x в момент  времени t обозначим через u(x,t), так что u=u(x,t) есть уравнение струны в момент времени t. Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с .

Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение  в точке x в момент времени t направлено по касательной к струне в точке x.

Любой участок  струны (a,b) после отклонения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины:

 

И, следовательно, в соответствии с законом Гука, который говорит, что сила натяжения, возникающая в струне, пропорциональна  ее относительному удлинению, величина натяжения  будет оставаться постоянной, не зависящей от x и t: .

Обозначим через F(x,t) плотность внешних сил, действующих на струну в точке x в момент времени t и направленных перпендикулярно оси x в плоскости (x,u). Наконец, пусть обозначает линейную плотность струны в точке x, так что приближенно – масса элемента струны .

Составим уравнение  движения струны. На ее элемент  действуют силы натяжения и и внешняя сила, сумма которых, согласно второму закону Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проецируя это векторное равенство на ось u, на основании всего сказанного получим равенство:

 

Но в рамках нашего приближения 

 

и поэтому мы имеем:

 

откуда при  следует равенство

 

Это и есть уравнение малых  поперечных колебаний струны. При  колебания струны называются вынужденными, а при – свободными. Если плотность постоянна, , то уравнение колебаний струны принимает вид

 

где

Начальные условия:

Граничные условия:

Уравнение малых продольных колебаний мембраны

 

Основной задачей, связанной с мембранами, является исследование поперечных колебаний  мембран различной формы с  закрепленными краями.

Мембраной называется тонкая натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу, но оказывающая сопротивление растяжению.

Будем рассматривать  малые поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно  плоскости мембраны, за которую мы примем плоскость Oxy. Пусть u=u(x,y,t) – величина смещения точки с координатами (x,y) в момент времени t. Критерием малости колебаний служат условия:

 

Пусть ds – элемент дуги некоторого контура, лежащего на поверхности мембраны, М – точка этого элемента. На этот элемент действуют силы натяжения . Отсутствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу математически выражается в том, что вектор натяжения лежит в плоскости, касательной к поверхности мембраны в точке М, и перпендикулярен элементу ds, а натяжение Т в этой точке не зависит от направления элемента ds, содержащего точку М. Из предположения о малости колебаний следует:

• Проекция вектора натяжения на плоскость (x,y) равна Т;
• Натяжение Т не зависит от времени t.

Действительно, , где α – угол между вектором и плоскостью (x,y). Но α не больше угла γ между касательной плоскостью к поверхности мембраны, в которой лежит вектор , и плоскостью (x,y): α≤ γ. Поэтому

 

Следовательно, , и значит, .

Далее рассмотрим участок S невозмущенной мембраны. Его площадь:

 

Площадь этого участка  в момент времени t равна:

 
 Таким образом, площадь фиксированного участка мембраны не меняется со временем, то есть участок не растягивается. Поэтому  в силу закона Гука и Т не меняется со временем. Из того, что вектор направлен по перпендикуляру к элементу дуги ds, следует, что Т не зависит также от х и у.

Рассмотрим элемент мембраны, для которого точка N(x,y,t) – средняя точка. На этот элемент, кроме сил натяжения , действует внешняя распределенная по поверхности нагрузка q(x,y,t), рассчитанная на единицу площади и перпендикулярная к поверхности мембраны.

Равнодействующая внешних  сил будет равна q(x,y,t). Равнодействующая сил натяжения

 

Обозначим через   поверхностную плотность мембраны, то есть плотность, рассчитанную на единицу площади. Тогда масса рассматриваемого элемента мембраны будет . Таким образом, в силу закона Ньютона мы можем написать уравнение:

 

Величина v имеет размерность скорости. Она характеризует скорость распространения колебаний. В частном случае может быть q(x,y,t)=0, тогда мы имеем уравнение свободных колебаний мембраны:

 

  Для завершения постановки задачи зададим начальные и граничные условия.

Начальные условия:

 

Граничные условия  на контуре Г:

 

 

 

 

 

 

 

 

Музыка

 

Часто достаточно самого беглого  наблюдения для того, чтобы показать, что звучащие тела находятся в  состоянии колебания и что  звуковые явления и явления колебаний  тесно связаны друг с другом. Если прикоснуться пальцем к звучащему  колокольчику или к струне, то звук прекращается в тот же самый момент, когда заглушено колебание. Но чтобы  воздействовать на орган слуха, недостаточно одного колеблющегося инструмента: между инструментом и ухом должно существовать также свободное от всяких помех сообщение. Колокольчик, звучащий в вакууме, если приняты  необходимые меры предосторожности, предупреждающие передачу движения, остается неслышным. Напротив, в атмосферном  воздухе звуки находят универсальный  проводник, способный беспрепятственно передавать их слуховому каналу от самых разнообразных источников.

Распространение звука не происходит мгновенно. Если где-нибудь вдалеке произведен выстрел из орудия, то оказывается, что звук выстрела отделен  от вспышки очень заметным промежутком  времени. Этот промежуток представляет собой время, потребное звуку  для того, чтобы пройти расстояние от орудия до наблюдателя; запаздыванием  вспышки, обязанным конечной величине скорости света, можно полностью  пренебречь. В направлении ветра, например, звук распространяется относительно земли быстрее, чем со свойственной ему скоростью, так как скорость ветра при этом складывается с  собственной скоростью звука  в спокойном воздухе. Французские  наблюдатели нашли, что в спокойном  сухом воздухе при температуре 0° С скорость звука равна 337 метрам в секунду.

Из наблюдений непосредственно  следует, что скорость звука в  широких пределах не зависит или  по крайней мере почти не зависит  от его интенсивности, а также  от высоты. Если бы дело обстояло иначе, то быстрый музыкальный отрывок  уже на небольшом расстоянии, был  бы слышен безнадежно сбивчиво и нестройно.

Хотя на практике передатчиком звука является обычно воздух, —  звук способны проводить и другие газы, жидкости и твердые тела. В  большинстве случаев средств  для прямого измерения скорости звука не имеется, рассматривать  же косвенные методы мы здесь не в состоянии. В этом отношении  дело обстоит лучше только для  воды. В 1826 г. Колладон и Штурм исследовали  распространение звука в Женевском  озере. При этом на одной станции  одновременно с ударом колокола происходила  вспышка пороха. Наблюдатель, находящийся  на второй станции, измерял промежуток времени между вспышкой и приходом звука, прикладывая ухо к трубе, другой конец которой был опущен под поверхность воды. Этим путем  было найдено, что скорость звука  в воде при температуре 8° С  равна 1435 метрам в секунду.

В открытом пространстве интенсивность  звука, по мере того как расстояние от источника звука возрастает, очень  быстро падает. Одно и то же движение должно распределяться по все возрастающей поверхности, пропорциональной квадрату расстояния. Все, что ограничивает звук в пространстве, ведет к замедлению спадания его интенсивности. Так, например, над гладкой поверхностью спокойной  воды звук распространяется дальше, чем  над неровной почвой.

Звуки можно классифицировать на музыкальные и немузыкальные; для удобства первые могут быть названы  нотами, вторые — шумами. более простым. Музыкальные ноты отличаются тем, что  имеют ровный и непрерывный характер; кроме того, заставив звучать несколько  нот сразу, — например при одновременном  ударе по нескольким соседним клавишам фортепиано, — мы получим некоторое  подобие шума, между тем как  никакая комбинация шумов никогда  не смогла бы слиться в музыкальную  ноту.

Музыкальные звуки звуки  располагаются в определенном порядке  соответственно высоте — качество, которое до известной степени  может оценивать.каждый. Опытное  ухо может различить в пределах человеческого голоса громадное  число градаций, вероятно, больше тысячи. Эти градации связаны друг с другом особыми соотношениями. Музыканты, взяв за отправной пункт какую-либо данную ноту, могут выделить некоторые другие, находящиеся в определенных отношениях к первой и известные под названиями ее октавы, квинты и т. д.

Музыкальные звуки характеризуются  следующими свойствами: высота, тембр  и громкость.

Высота звука зависит от частоты колебания вибрирующего тела (струна, голосовые связки и т.д.). Чем чаще колебания, тем выше звук.

Тембр — колористическая (обертоновая) окраска звука; одна из специфических характеристик музыкального звука (наряду с его высотой, громкостью и длительностью). По тембрам отличают друг от друга звуки одинаковой высоты и громкости, но исполненные на различных инструментах, разными голосами, или же на одном инструменте, но разными способами, штрихами. Тембр того или иного музыкального инструмента определяется материалом, формой, конструкцией и условиями колебания его вибратора, различными свойствами его резонатора, а также акустикой того помещения, в котором данный инструмент звучит. В формировании тембра каждого конкретного звука ключевое значение имеют его обертоны и их соотношение по высоте и громкости, шумовые призвуки и другие факторы.

Громкость звука — субъективное восприятие силы звука (абсолютная величина слухового ощущения). Громкость главным образом зависит от звукового давления, амплитуды и частоты звуковых колебаний. Также на громкость звука влияют его спектральный состав, локализация в пространстве, тембр, длительность воздействия звуковых колебаний, индивидуальная чувствительность слухового анализатора человека и другие факторы.

Звукоряд.

В основу музыкальной системы положен  ряд звуков. Этих звуков ровно 88, расположены  они в порядке возрастания высоты звука (свойство звука: высота): от самых низких до самых высоких. Расположение звуков по высоте назвали звукорядом.

Ступень звукоряда.

Каждый  звук называется ступенью звукоряда. Все знают названия 7-ми нот: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Это и есть названия основных ступеней звукоряда. Названия ступеней повторяются друг за другом, составляя все 88 ступеней.

Октава.

Расстояние  между соседними звуками ступеней с одинаковыми названиями назвали октавой. Например: между соседними двумя соль - ровно октава. Также октавой назвали часть звукоряда, в которую входят все 7 нот. Не обязательно начиная с ноты до, главное - чтобы вошли все 7 нот. Т.е. ряд звуков до, ре, ми, фа, соль, ля, си тоже называется октавой. Кстати, как и звуки (ноты), октавы имеют свои собственные названия. Запоминать их не обязательно, для полноты информации приведу названия октав от самых низких до самых высоких: субконтроктава, контроктава, большая октава, малая октава, первая октава, вторая, третья, четвёртая и пятая октава.