Анализ и расчет процесса формирования стальной цилиндрической отливки в песчаной форме

    Допущение второе. Для исследования затвердевания и охлаждения отливки в песчаной форме допустимо рассматривать этот процесс как составленный из протекающих один за другим процессов – охлаждение перегретого расплава, затвердевание и охлаждение твердой корки в форме. Охлаждение перегретого расплава начинается при Т_н одновременно во всем объеме и заканчивается при Т_L также одновременно во всем объеме отливки. Затем одновременно во всем объеме отливки начинается кристаллизация расплава при T_L и при T_s завершается. Наконец, одновременно во всем объеме начинается охлаждение твердой отливки в форме, которое прекращается при температуре выбивки Т_выб из формы.

    Кристаллизация  сплава эвтектического состава будет происходить последовательно, начинаясь от поверхности формы (см. рис. 7).

 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 7. Схема температурных полей в затвердевающей отливке из эвтектического сплава.

    На  поверхности температура достигает  прежде всего T_E, и завершится в центре отливки, где T_E будет достигнута в последнюю очередь. Первое допущение в этом случае означает, что в математической модели затвердевания эвтектики возможно не учитывать изменение энтальпии как в незатвердевшем расплаве, так и в твердой корке. Второе допущение будет означать, что одновременно во всем объеме отливки температура расплава достигает T_E, т.е. последовательное затвердевание отливки начинается после полного охлаждения расплава.

    Третье  допущение. За время охлаждения перегретого расплава и его затвердевания форма не прогревается насквозь, т.е. форму в течение этого времени допустимо рассматривать, как массивную неохлаждаемую.

 
 
 
 
 
 
 

Рис. 8. Схема температурных полей в массивной неохлаждаемой песчаной форме.

    Это допущение существенно упрощает математическую модель затвердевания  отливки в песчаной форме. 

1.3.2. Математическая модель затвердевания расплава эвтектического состава.

    Уравнение затвердевания (уравнение Стефана):

–λ 

+ ψ_Е L^*ρ₂ = – λ₂   (27),

Т₁(k₁, t) = T(k₁, t) = T_L.

    Однако, согласно второму допущению, последовательное затвердевание расплава эвтектического состава начинается в момент t₂^’, т.е. после завершения охлаждения перегретого расплава от ν_зал и объемного затвердевания твердого раствора до ν_Е. Поэтому уравнение (27) следует представить в виде

Ψ_Е L_E ρ₂

= –λ₂ (28).

Для нахождения выражения правой части этого  уравнения рассмотрим уравнение

с₂ ρ₂

dx = = λ₂ – λ₂ .

С учетом (28) и граничного условия (23) получим

с₂ ρ₂

dx = ψ_E L_E ρ₂ + λ₃ .

    Согласно  первому допущению δν_i ≈ 0, следовательно

с₂ ρ₂ V

– ψ_Е L_E ρ₂ = λ₃ F₀  (29),

где V = (l₀ – k₂)F₀ – объем твердой корки в плоской отливке. Т.к., согласно второму допущению, затвердевание расплава эвтектического состава должно происходить при ν₂ = ν_Е = const, то уменьшаемое левой части уравнения (29) можно принять равным нулю, тогда

ψ_Е L_E ρ₂

= –λ₃ F₀  (30),

где в  соответствии с третьим допущением составим граничное условие

ν₃ (l₀, t) = ν_E = const,

отсюда

= –  .

Подставив это выражение при x = l₀ в уравнение (30) получим

Ψ_Е L_E ρ₂ dV =

b₃ F₀ d( ), 0 < θ < t, V(t₂’) = 0  (31).

    В системе уравнений (31) выражена математическая модель затвердевания расплава эвтектического состава в песчаной форме. Решая это уравнение очевидно:

V =

( – )  (32).

Заметим, что в случае затвердевания сплава эвтектического состава, т.е. при ψ_Е = 1,0, величина t₂’ = t₁ – продолжительность охлаждения перегретого расплава, и

V =

( – )  (33). 

1.3.3. Охлаждение затвердевшей твердой отливки в форме.

     Условия, отвечающие прогреву формы во время охлаждения твердой отливки:

ν₃(l₀, t) = ν₃(t₂);              (34)

ν₂(t₂) = ν_E = const;

где t₂ – продолжительность затвердевания отливки.

По аналогии для перегретого расплава получим:

–с₂ρ₂V₀ dν₂ =

b3F₀ d( ), 0 < θ < t, ν₂(t₂) = ν_E  (35).

    Уравнение (35) вместе с начальным условием является упрощенной математической моделью  охлаждения затвердевшей отливки в  песчаной форме. 

Глава 2. Расчет процесса формирования отливки.

2.1. Модель Г.Ф. Баландина.

    Расплавы, содержащие эвтектику, кристаллизуются  в 2 стадии: сначала твердый раствор  в интервале температур T_L – T_E, затем эвтектика при постоянной температуре Т_Е. Расплавы различаются по относительному содержанию ψ_Е эвтектики. Согласно правилу «равновесного рычага»

ψ_Е =

,

где с_Е и с_П – концентрации эвтектики и предельного насыщения раствора растворимым компонентом сплава.

    Величина  ψ_Е – эвтектичность или степень эвтектичности сплава, содержащего эвтектику.

    Б.Б. Гуляев предложил определить коэффициент равновесного распределения у таких сплавов по формуле k₀ = . Тогда эвтектичность

ψ_Е =

.

    Относительное количество ψ твердой фазы, появляющейся в расплаве во время кристаллизации твердого раствора и темп μ его кристаллизации следует определять при с_Е ≥ с₀ ≥ с_П при 1 ≥ ψ ≥ (1 – ψ_Е). У сплавов, содержащих эвтектику, темп μ_Е кристаллизации при температуре эвтектики имеет два значения при ψ = 1 – ψ_Е

μ_Е =

в момент окончания кристаллизации твердого раствора и в μ_Е = ∞ во время последующей кристаллизации расплава эвтектического состава, т.е. при ψ = 1 – ψ_Е. 

2.2. Расчетная схема.

    Процесс затвердевания твердого раствора и  эвтектики развивается последовательно. В течение времени t > t₁ происходит затвердевание твердого раствора. Тогда ко времени t от отливки отводится количество теплоты, равное

L_эф ρ₁V₀ψ₂,

где ψ₂ – относительный объем твердого раствора, затвердевающего за промежуток времени t – t₁ в расплаве сплава с эвтектичностью ψ_Е.

    За  тот же промежуток времени форма  прогревается на некоторую глубину η и аккумулирует количество теплоты

,

при условии, что температурное поле в форме  описывается параболой порядка n > 1, поэтому плотность теплового потока от поверхности отливки в форму равна

q₀ (t) =

.

    Пусть к моменту t₂ затвердевание твердого раствора завершилось. Тогда к моменту от отливки отведено дополнительное количество теплоты кристаллизации эвтектики, равное

L_E ρ_E V₀ ψ₃,

где ψ₃ – относительный объем эвтектики, затвердевшей за промежуток времени t > t₂, в расплаве сплава с эвтектичностью ψ_Е.

За тот  же промежуток времени форма дополнительно  аккумулировала количество теплоты

с₄ ρ₄ F₀ (T_E – T_Ф)

,

если  глубина прогрева формы к моменту  времени t₂ равна

η₂ =

.

Плотность теплового потока от поверхности  отливки в форму при t > t₂ равна

q₀(t) = λ₄

(T_E – T_Ф),

где η^* – глубина прогрева формы к моменту времени t > t₂. 

2.3. Кинетика затвердевания отливки.

    Кинетика  затвердевания отливки с эвтектичностью ψ_Е описывается совокупностью уравнений, т.е. затвердевание твердого раствора

ψ₂ =

(Т_Е – Т_Ф)( – ),

затвердевание эвтектики

ψ₃ =

(Т_Е – Т_Ф)( – ),

где t₂ – конец затвердевания объема (1 – ψ_Е)V₀ расплава твердого раствора в сплаве с эвтектичностью ψ_Е, при ψ₂ = 1 – ψ_Е время t = t₂, поэтому

t₂ = [

+ ]²,

где t₁ – начало затвердевания

t₁ = [

]². 

2.4. Объемная скорость затвердевания.

    Формулы, приведенные выше, позволяют вычислить  объемную скорость затвердевания твердого раствора и эвтектики отдельно

u_0Т =

, t ≥ t₁,

т.к. u_0Т = , то

u_0Е =

, t ≥ t₂,

т.к. u_0Е = .

    Знать скорость затвердевания эвтектики  в отливках из эвтектикосодержащих сплавов важно, т.к. задав эту скорость, получают требуемую структуру на поверхности литого изделия.

    Более того, т.к. затвердевание расплава эвтектического состава происходит последовательно, то объемная скорость затвердевания  эвтектики , приведенная к линейной, тождественна линейной скорости. Это означает, что скорость u₀ в момент времени t₂ является скоростью затвердевания эвтектики на поверхности отливки. Зная время начала затвердевания t₁ можно рассчитать скорость затвердевания отливки в песчаной форме:

u_э =

, t ≥ t₁. 

2.5. Расчет процесса формирования отливки.

    Для расчета процесса возьмем теорию Баландина Г.Ф., т.к. данная математическая модель формирования кристаллического строения отливки учитывает определяющий фактор, обуславливающий протекание процесса затвердевания отливки, которым является теплообмен между расплавом и песчаной формой. Также эта модель учитывает размеры отливки.