Анализ и расчет процесса формирования стальной цилиндрической отливки в песчаной форме

Т₂ = Т_кр – (Т_кр – Т₀)(1-

)ⁿ  (14).

Из (10) с учетом (11) – (14) получим

m =

,

где  B = Lρ₂ + [ с₂ρ₂ + (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)](Т_кр – Т₀).

    Решим методом Вейника задачу на затвердевание  цилиндрической отливки:

Т; t > 0, r₀ – ξ < r < r₀, 

T₂(r, 0) = T_кр = const; ξ(0) = 0,

T₂(r₀, t) = T₀ = const,

T₂(r₀ – ξ, t) = T_кр = const,

λ₂

= L_крρ₂ , 

где r₀ – радиус цилиндра, r₀ – ξ – радиус незатвердевшей части цилиндрической отливки.

    Запишем выражения (11) – (13) в виде, необходимом для цилиндрической отливки. Выражение (11) примет вид: 

dQ_кр = [L_крρ₂ + (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)Т_кр]dV, 

где V – объем твердой корки

V = ξF₀ (1 -

).

тогда dV = F₀ (1 - )dξ.

F₀ – площадь боковой поверхности цилиндрической отливки,

F₀ = 2πr₀h,

h – высота отливки.

Выражение (4) для корки в виде полого цилиндра приобретает вид: 

dH = [Т_кр -

T₂(r, t)2πrh dr]c₂ρ₂ dV, 

где 2πrh dr – объем элемента твердой корки радиусом r,

T₂(r, t) – по формуле (14).

Выражение (13) преобразуется в 

dQ = –λ₂

F₀ dt 

Подставляя  эти выражения в формулу (10) получаем: 

t = [

(1 – ) + (1 – )] , 

r₀ – внутренний радиус. 
 
 
 
 

1.2. Математические модели затвердевания отливок в песчаных формах.

1.2.1. Тепловое взаимодействие отливки и формы.

    Процесс теплообмена расплава с литейной формой начинается с момента попадания  первых его порций в литниковую систему. Будем рассматривать процесс затвердевания расплава с момента t_зал – c момента окончания заполнения формы, т.е. расплав за время операции заливки не успевает потерять весь перегрев Т_н > T_E.

    При заполнении формы через литниковую систему происходит интенсивная  циркуляция расплава в полости формы, что приводит к выравниванию температуры расплава по всему его объему. В дальнейшем вынужденная циркуляция расплава затухает, останется менее интенсивная естественная конвекция, вызванная охлаждением расплава у поверхности формы. Температурное поле в объеме расплава становится неоднородным: у поверхности температура приобретает значение, равное температуре кристаллизации эвтектического сплава Т_Е, начинается рост твердой корки, который заканчивается в момент времени t₂.

     Специфической особенностью процесса затвердевания эвтектики является выделение скрытой теплоты кристаллизации при температуре Т_Е. На рисунке 4 представлена схема температурных полей в затвердевшей отливке из эвтектического сплава для момента времени t при t₁ < t < t₂. 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                  Рис. 4. Схема температурных полей в затвердевшей                               

                                                               отливке из эвтектического сплава.

T₁(x, t) – температурное поле в незатвердевшем расплаве;

Т₂(x, t) – температурное поле в затвердевшей части отливки;

ξ(t) – толщина корки;

k₂(t) – координата фронта ее роста, т.е. граница корки и расплава, на которой должны выполняться равенства

Т₁(k₂, t) = T₂(k₂, t) = T_E,

– q₁ (k₂, t) + Lρ₂

= λ₂   (15),

q₁ (k₂, t) = – λ₁

  (16),

т.к. влиянием естественной конвекции расплава около  поверхности растущей корки на теплоперенос от расплава к этой корке можно  пренебречь.

    Выявление граничных условий теплового взаимодействия отливки с конкретной  литейной формой является важнейшей задачей тепловой теории формирования отливки. Решается она на основе тщательного анализа результатов экспериментального исследования температурных полей в отливках и формах.

      
 
 
 
 
 

Рис. 5. Схема температурных полей в плоской отливке при литье в массивную неохлаждаемую сухую песчаную форму.

    На  рисунке 5 приведены схемы температурных  полей, зафиксированных экспериментально в плоской отливке Т₂(х, t) и в форме Т₃(х, t). Схема иллюстрирует температурные поля для литья в сухую песчаную форму (полученную, например, уплотнением формовочной смеси в опоках и затем высушенную в сушилке). В данном случае форма не прогрелась насквозь (т.е. до стенки опоки) к моменту окончания процесса затвердевания отливки. Следовательно, можно рассматривать данную форму в процессе затвердевания как полуограниченное тело.

    Условимся называть такую форму массивной  неохлаждаемой. Данная форма во время  затвердевания отливки не отдает теплоту окружающей среде. Также для формы характерно то, что температура поверхности отливки и внутренней поверхности формы будет одинакова и равна T₀. Во время затвердевания отливки она естественно изменится. Еще одним доводом, подтверждающим образование плотного контакта между отливкой и песчаной формой, могут служить широко известные факты возникновения пригара формовочных смесей к поверхности отливки. 

1.2.2. Математическая модель затвердевания отливки.

    Рассмотрим  математическую модель затвердевания  отливок при литье в песчаные формы.

     Система дифференцированных уравнений теплопроводности отливки:

= a₁ , 0 < x < k₁(t);

cρ  = λ + Lρ₂ , k₁(t) < x < k₂(t);       (17)

= a₂ , k₂(t) < x < x₀;

= a₃ , x₀ < x < x_ф  (18).

     Начальные условия  для отливки:

Т₁(х, t_зал) = Т_н = const;

Ψ(x, t_зал) = 0;                       (19)

k₁(t_зал) = k₂(t_зал) = х₀.

    Начальные условия для формы:

Т₃(х, t_зал) = Т_нφ(х)  (20).

    Условия теплового взаимодействия зон затвердевающей отливки:

–λ₁

= –λ , Т₁(k₁, t) = T(k₁, t) = T_L  (21),

–λ

+ ψ_E L^*ρ₂ = – , T(k₂, t) = T₂(k₂, t) = T^* (22).

    Граничные условия для расплава и формы:

= 0, i = 1,2;

–λ_i

= –λ₃ ;     (23)

T_i(x₀, t) = T₃(x₀,t);

–λ₃

= a [T₃(x_ф,t) – T_c], если х_ф ≠ ∞,

                          0 и T₃(х_ф, t) = Т_ф, если х_ф → ∞   (24). 

1.3. Затвердевание и охлаждение отливки в песчаной форме.

1.3.1. Упрощенные математические допущения.

    Обратим внимание на то, что неоднородность температурного поля в затвердевающей отливке очень мала по сравнению  с неоднородностью температурного поля в песчаной форме. Если неоднородность температурных полей характеризовать  перепадами температуры (см. рис. 5):

по сечению  отливки

δν_i = T_ц – Т₀, i = 1,2  (25)

и формы

ν₀ = Т₀ – Т_ф

в один и тот же момент времени t (Т_ц – температура в центре отливки), то очевидно, что

<< 1, i = 1,2  (1.23).

    Итак, можно сделать важный вывод: температурный  перепад по сечению отливки, затвердевающей в песчаной форме, весьма мал по сравнению с температурным перепадом по сечению тела этой формы. Причем

θ_i =

= , x = , τ = .

Из (17) и (18), например, для затвердевания эвтектики (при ψ_Е = 1), получим

= K_a1 , 0 < X < χ(τ);

= , χ(τ) < X < 1;

= K_a3 , 1 < X < 1 + ,

где χ(τ) = , K_a1 = , K_a1 = .

    Коэффициент а = , названный температуропроводностью, характеризует способность тела выравнивать температуру, т.е. ослаблять температурную неоднородность:

Сплав, отливаемый в песчаные формы	λ 3/ λ 2	a3/a2	b3/b2
Стали конструкционные нелегированные	0,0328	0,0594	0,117

Таблица 1.

    Эти отношения должны отвечать условию  <<1 (26)

    Результаты  натурных измерений, выполненных Г.А. Анисовичем и Н.П. Жмакиным, показывают, что данное условие выполняется  для сталей.

 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 6. Температурные поля (а), температурные перепады (б) в стальной отливке, затвердевающей в песчаной форме.

    Допущение первое. При соблюдении условия (26) температурную неоднородность по сечению тела отливки в приближенных расчетах ее затвердевания и охлаждения можно не учитывать, т.е. допустимо принимать, что δν ≈ 0, но это лишь допущение, т.к. в действительности между центром и поверхностью отливки всегда есть перепад, т.е. δν_i > 0. Однако, для упрощения схемы и, следовательно, математической модели затвердевания и охлаждения отливки в песчаной форме им допустимо пренебречь.