Модели сетевого планирования и управления

                                              

                                              (10)

   Он показывает, на сколько в  сумме могут быть увеличены  продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем R(L), то критический путь переместится на путь L.

   Отсюда можно сделать вывод,  что любая из работ пути  L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

  Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

   Полный резерв времени R (i, j) работы (i, j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв R (i, j) определяется по формуле

                                       

                                    (11)

   Полный резерв  времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок (рис. 8 а).

   Важным свойством полного резерва  времени работы является то, что  он принадлежит не только этой  работе, но и всем полным путям,  проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих

через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва. Остальные резервы времени работы являются частями ее пол-

ного  резерва.

   Частный резерв времени первого вида работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 8 б).

Рис.8

• находится по формуле

                            

                             (12)

                                 

                               (13)

   Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени RC работы (i, j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 8 в). находится по формуле

                                     

                           (14)

                                      

                                  (15)

   Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

   Независимый резерв времени работы (i, j)  — часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки (см. рис. 8 г)

                                      

                                 (16)

                                         

                                    (17)

   Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (16) или 17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина   отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение Л„(/, J) не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

   Следует отметить, что резервы времени работы (i, j), показанные на рис. 8, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы t(i, j) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

   Таким образом, если частный  резерв времени первого вида  может быть использован на  увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени — на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

   Работы, лежащие на  критическом пути, так же как и  критические события,  резервов времени  не имеют .

   Если на критическом пути лежит начальное событие i, то

                                              

                                 (18)

   Если на критическом пути лежит  конечное событие j, то

                                            

                                  (19)

   Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j, но сама работа не принадлежит этому пути, то

                              

                    (20)

   Соотношения (18)—(20) можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

1.5 Сетевое планирование в условиях неопределенности

   При определении временных параметров  сетевого графика до сих пор  предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: напомним, система СПУ обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов. Чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из ряда возможных значений. Другими словами, продолжительность

работы  t(i,j) является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками — средним значением, или математическим ожиданием, (i, j) и дисперсией (i, j).

   Практически во всех системах  СПУ априори принимается, что  распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максимума у кривой распределения; в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью Ох, имеющими неотрицательные абсциссы.

   Кроме того, установлено, что распределение  продолжительности работ обладает  положительной асимметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению / (рис.9).

   Простейшим распределением с  подобными свойствами является  известное в математической статистике -распределение. Анализ большого количества статистических данных (хронометражи времени реализации отдельных работ, нормативные данные и т.д.) показывает, что -распределение можно использовать в качестве априорного для всех работ.

Рис. 9

   Для определения числовых характеристик  (i, у), и (i, j) этого распределения для работы (i, j) на основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов определяют три временные оценки (рис. 9):

а) оптимистическую  оценку (i, у), т.е. продолжительность работы (i, j) при самых благоприятных условиях;

б) пессимистическую оценку (i, j), т.е. продолжительность работы (i, j) при самых неблагоприятных условиях;

в) наиболее вероятную оценку (I,j), т.е. продолжительность работы (i, j) при нормальных условиях.

   Предположение о -распределении продолжительности работы (i, j) позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик:

                                

                     (21)

                               

                                        (22)

   Следует отметить, что обычно  специалистам сложно оценить  наиболее вероятное время выполнения  работы  (i, j). Поэтому в реальных проектах используется упрощенная (и менее точная) оценка средней продолжительности работы (i, j) на основании лишь двух задаваемых временных оценок (i,j) и (i,j):

                               

                                      (23)

   Зная  (i, j) и (i, j), можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность.

   Так,  при достаточно большом  количестве работ, принадлежащих  пути L, и выполнении некоторых весьма общих условий можно применить центральную предельную теорему Ляпунова, на основании которой можно утверждать, что общая продолжительность пути L имеет нормальный закон распределения со средним значением (L), равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ (i, j) и дисперсией  (L), равной сумме соответствующих дисперсий (i,j):

                                              

                                         (24)

                                               

                                            (25)

   Предположим, что сетевой график на рис. 6 представляет сеть не с детерминированными (фиксированными), а со случайными продолжительностями работ и цифры над работами стрелками указывают средние значения (i, j) продолжительности соответствующих операций, найденные по формуле (21) или (23), и известны все дисперсии (i, j), вычисленные по формуле (22).

   Следует отметить, что и в этом  случае временные параметры сетевого  графика — длина критического пути, ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий и работ и т.д. — будут такие же, как и найденные в разд. 5. Но при этом необходимо учесть, что эти параметры, представленные в табл. 2 и 3, теперь будут являться средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события средним значением полного резерва времени работы (i, j) и т.п.

    Так, =61 будет означать, что длина критического пути Кр лишь в среднем составляет 61 сутки, а в каждом конкретном проекте возможны заметные отклонения длины критического пути от ее среднего значения (причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения).

   Поэтому предварительный анализ  сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временньк параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока Т.