Модели сетевого планирования и управления

   В этом случае рекомендуется ввести фиктивное событие (событие 2' на рис. 14.3 е) и фиктивную работу (работа 2', 2), при 1 этом одна из параллельных работ (1, 2 ) замыкается на это фиктивное событие. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями.

   5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие. Если в составленной сети это не так (см. рис. 3 ж), то добиться желаемого можно путем введения фиктивных событий и работ, как это показано на рис. 3 з.

   Фиктивные работы и события необходимо вводить и в ряде других случаев. Один из них — отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (рис. 3 и) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фиктивной работы С.

   Другой случай — неполная зависимость работ. Например, работа С требует для своего начала завершения работ А и Б, но работа Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного события 3', как показано на рис. 3 к.

   Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяженностью во времени.

1.3 Упорядочение сетевого графика. Понятие о пути

   Предположим, что при составлении некоторого проекта выделено 12 событий: О, I 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 24 связывающие их работы: (О, I), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 6), (3, 7), (3, 10), (4, 8), (5, 8), (5, 7), (6, 10), (7, 6), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, II), (10, 9), (10, II). Необходимо составить и упорядочить сетевой график. Как следует из перечня работ, исходным событием сетевого графика является событие 0 (ему не предшествуют никакие работы), а завершающим — событие 11 (за ним не следует ни одна работа). Полагая на сетевых графиках изменение времени слева направо, поместим событие 0 в левую часть графика, а событие 11 — в правую часть, разместив между ними промежуточные события в некотором порядке, соответствующем их номерам (рис. 4). События свяжем работами-стрелками в соответствии с перечнем работ.

Рис. 4

   Построенный сетевой график удовлетворяет сформулированным в разд. 3 правилам, предъявляемым к его построению. Однако этот график не полностью упорядочен. Упорядочение сетевого графика заключается в таком расположении событий и работ, при котором для любой работы предшествующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием. Другими словами, в упорядоченном сетевом графике все работы-стрелки направлены слева направо: от событий с меньшими номерами к событиям с большими номерами.

   Разобьем условно сетевой график на несколько вертикальных слоев (обводим их пунктирными линиями и обозначаем римскими цифрами).

   Поместив в I слое начальное событие 0 (рис. 5), мысленно вычеркнем из графика (см. рис. 4) это событие и все выходящие из него работы-стрелки. Тогда без входящих стрелок останется событие 7, образующее II слой. Вычеркнув мысленно событие 1 и все выходящие из него работы, увидим, что без входящих стрелок остаются события 4 и 2, которые образуют III слой. Продолжая указанную процедуру вычеркивания, получим IV слой с событиями 5 и 3, V слой — с событием 7, VI слой—с событиями 8 и 6, VII слой — с событием 10, VIII слой—с событием 9 и, наконец, IX слой — с событием 11.

   Теперь видим, что первоначальная нумерация событий не совсем правильная: так, событие 6 лежит в VI слое и имеет номер, меньший, чем событие 7 из предыдущего слоя. То же можно сказать о событиях 9 и 10.

   Изменим нумерацию событий в соответствии с их расположением на графике (см. рис. 5) и получим упорядоченный сетевой график  (рис. 6), в котором над стрелками указана продолжительность соответствующих работ (в сутках).

Рис. 5

Рис. 6

   Одно из важнейших понятий сетевого графика — понятие пути. Путь — любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L — любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец — с завершающим.

   Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

   Например, для рассматриваемого нами сетевого графика (см. рис. 6) полными путями будут: путь 0->1->2->7->10->11 продолжительностью 8+9+3+5+13=38 суток, путь 0->1->3->4->6->10->11 продолжительностью 8+4+10+3+5+13=43 суток, путь 0->5->8->9->11 продолжительностью 9+10+4+17=40 суток, путь 0->3->5->6->9->10->11 продолжительностью 13+7+9+13+6+13=61

сутки и т.д.

   Можно убедиться в том, что последний путь имеет наибольшую продолжительность (не только среди приведенных четырех полных путей, но и среди всех полных путей, которых в данном случае насчитывается 64), поэтому он и является критическим. Продолжительность критического пути составляет 61 сутки, т.е. для проведения комплекса работ понадобятся 61 сутки. Быстрее комплекс выполнить нельзя, так как для достижения завершающего события критический путь надо пройти обязательно.

   Действительно, для достижения события 77 надо выполнить работу (10, 77), т.е. достичь события 10; для достижения события 10 надо провести работу (9, 10), т.е. достичь события 9; для достижения события 9 надо провести работу (6, 9), т.е. достичь события 6, и т.д.

   Определив критический путь, мы тем самым установили критические события сети О, 3, 5, 6, 9, 10 и 11 и критические работы (О, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, 11).

   Критический путь имеет особое значение в системе СПУ, так как работы этого пути определяют общий цикл завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. И для сокращения продолжительности проекта необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

   Следует отметить, что классический вид сетевого графика — это сеть, вычерченная без масштаба времени. Поэтому сетевой график, хотя и дает четкое представление о порядке следования работ, но недостаточно нагляден для определения тех работ, которые должны выполняться в каждый данный момент времени. В связи с этим небольшой проект после упорядочения сетевого графика рекомендуется дополнить линейной диаграммой проекта. Такая линейная диаграмма для рассматриваемой сети показана на рис. 7.

Рис. 7

   При построении линейной диаграммы каждая работа изображается параллельным оси времени отрезком, длина которого равна продолжительности этой работы. При наличии фиктивной работы нулевой продолжительности (в рассматриваемой сети ее нет) она изображается точкой. События i и j, начало и конец работы (i, j) помещают соответственно в начале и конце отрезка. Отрезки располагают один над другим, снизу вверх в порядке возрастания индекса i, а при одном и том же i — в порядке возрастания индекса j (на рис. 7 вследствие ограниченности места не показаны работы отрезки, выходящие из 2-, 3-, 4- и 5-го событий). По линейной диаграмме проекта можно определить критическое время, критический путь, а также резервы времени всех работ.

   Так, критическое время комплекса работ равно координате на оси времени самого правого конца всех отрезков диаграммы:

Для определения  критического пути рассматриваем работы-отрезки, конечные события которых совпадают с завершающим событием сети (в нашем примере (9, 11) и (10, 11). Затем находим отрезок (9, 10), правый конец которого лежит на одной вертикали t (10) с левым концом одного из рассматриваемых ранее отрезков (10, 11). Аналогично определяем и другие работы-отрезки критического пути: (6, 9), ..., (О, 3) (на рис. 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.4 Временные параметры сетевых графиков

   В таблице 1 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

Таблица 1

 

   Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

   Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок свершения 1-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

                                         

                                          (1)

где , — любой путь, предшествующий i-му событию, т.е. путь от  исходного до i-го события сети.

   Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле

                                         

                                   (2)

   Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок  свершения i-го события равен

                                     

                                   (3)

где , — любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

   Если событие i имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

                                 

                                   (4)

   Резерв времени i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

                                      

                                          (5)

   Резерв времени события показывает, на какой допустимый период  времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

   Критические события резервов  времени не имеют, так как  любая задержка в свершении  события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

   Из этого следует, что для  того чтобы определить длину  и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

   Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние  или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

   Очевидно, что ранний срок (i, у) начала работы (i, j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, т.е.

                                            

                                               (6)

   Тогда ранний срок  (i, j) окончания работы (i, у) определяется по формуле

                                       

                                       (7)

   Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события i. Поэтому поздний срок (i,j) окончания работы (i, j) определяется соотношением

                                              

                                                (8)

а поздний  срок (i, j) начала этой работы – соотношением

                                       

                                          (9)

   Таким образом, в рамках сетевой  модели моменты начала и окончания  работы тесно связаны с соседними  событиями ограничениями (6)—(9).

   Прежде чем рассматривать резервы  времени работ, обратимся к  резерву времени пути. Такие резервы  имеют все некритические пути. Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути