Історія розвитку теорії ймовірностей

Теорема.

Якщо математичне очікування величин x, y, z,... суть a, b, c,...,

а математичне очікування квадратів , , ,…суть , , ,…,те ймовірність, що сума x+y+z+... полягає в межах

,

,

при всякому значенні залишається більше .

Далі Чебишев переходить до наступної теореми.

Якщо ми зобразимо через N число величин x, y, z,…,u,думаючи в доведеній зараз теоремі , розділимо на N як суму x+y+z+…,так і межі її

,

,

те із цієї теореми одержимо наступну щодо середніх величин.

Теорема.

Якщо математичне очікування величин

x, y, z,…, , , ,…суть a, b, c,…, , , ,…,те ймовірність, що середнє арифметичне N величин x, y, z,…,від середнього арифметичного математичних очікувань цих величин відрізняється не більше як на при всякому значенні, буде перевершувати .

Це і є знаменита нерівність Чебишева, що у сучасній формі записується в такий спосіб:

,

де випадкова величина x має кінцеву дисперсію , а - будь-яка відмінна від нуля позитивна величина.

Дійсно, першу теорему Чебишева можна записати так:

Застосуємо цю теорему до випадкової величини x:

.

Але ,

,

, .

Нехай , тоді й одержуємо звичну формулу для нерівності Чебишева

.

Сформулюємо відповідну теорему й доведемо в ній ця нерівність.

Теорема.

Нехай є випадкова величина з математичним очікуванням і дисперсією .

Нерівність Чебишева затверджує, що, яке б не було позитивне число , імовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на , обмежена зверху величиною :

.

Доведення.

1. Нехай величина дискретна, з поруч розподілу

 

Зобразимо можливі значення величини і її математичне очікування у вигляді крапок на числовій осі Ox.

Задамося деяким значенням і обчислимо ймовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на : .

Для цього відкладемо від крапки вправо й уліво по відрізку довжиною ; одержимо відрізок . Імовірність є не що інше, як імовірність того, що випадкова крапка потрапить не усередину відрізка , а зовні його (кінці відрізка ми в нього не включаємо): .

Для того щоб знайти цю ймовірність, потрібно підсумувати імовірності всіх тих значень , які лежать поза відрізком . Це ми запишемо в такий спосіб:

, де запис під знаком суми означає, що підсумовування поширюється на всі ті значення , для яких крапки лежать поза відрізком .

З іншого боку, напишемо вираження дисперсії величини по визначенню:

.

Тому що всі члени суми ненегативні, вона може тільки зменшитися, якщо ми поширимо її не на всі значення , а тільки на деякі, зокрема на ті, які лежать поза відрізком :

.

Замінимо під знаком суми вираження через . Тому що для всіх членів суми , то від такої заміни сума теж може тільки зменшитися, значить:

.

Але відповідно до формули сума, що коштує в правій частині цієї нерівності є не що інше, як імовірність влучення випадкової крапки зовні відрізка , отже , звідки безпосередньо випливає доказувана нерівність.

2. У випадку коли величина безперервна, доказ проводиться аналогічним образом із заміною ймовірностей елементом імовірності, а кінцевих сум – інтегралами. Дійсно,

,

де – щільність розподілу величини . Далі, маємо:

,

звідки й випливає нерівність Чебишева для безперервних величин.

Що й було потрібно довести.

Як наслідок зі своєї нерівності Чебишев одержує наступну теорему.

Теорема.

Якщо математичні очікування величин не перевершують якої-небудь кінцевої межі, то ймовірність, що середнє арифметичне N таких величин від середніх арифметичних їхніх математичних очікувань відрізняється менш чим на яку-небудь дану величину, зі зростанням числа N до , приводиться до одиниці.

Доведення.

Дійсно, розглянемо випадкову величину , що представляє собою середню арифметичну з даних випадкових величин.

; ;

.

Якщо обмежені математичні очікування випадкових величин і їхніх квадратів, то обмежені також і дисперсії, тобто Всі , де c-деяке число. Тоді

.

Застосуємо тепер нерівність Чебишева до :

, або

.

Переходячи до межі, одержуємо:

.

Що й було потрібно довести.

Це і є теорема Чебишева – закон великих чисел Чебишева. Ця теорема встановлює, що при досить великих n з імовірністю, близької до одиниці, можна думати, що середнє арифметичне випадкових величин як завгодно мало коливається біля деякого постійного числа-середніх їхніх математичних очікувань.

 

Висновки

Ми простежили динаміку розвитку поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також розвиток однієї із центральних теорем-закону великих чисел. Можемо зробити наступні висновки.

Простеживши динаміку розвитку й формування поняття ймовірності можна відзначити, що воно вироблялося складними шляхами. Поняття ймовірності наділялося у визначення різних форм і змістів.

Спочатку це поняття розуміли на чисто інтуїтивному рівні. Пізніше з'явилися різні визначення поняття ймовірності. Спостерігалися спроби вводити нові поняття, наприклад «властиво ймовірність», але ці спроби не увінчалися успіхом – це поняття не збереглося в науці. Надалі виникає необхідність у більше чіткому й строгому відношенні до основних понять теорії ймовірностей, тобто й до визначення поняття ймовірності. Цього вимагало розвиток статистичної фізики; цього вимагало розвиток самої теорії ймовірностей, у якій гостро стала відчуватися незадоволеність класичного обґрунтування лапласовського типу; цього вимагало й розвиток інших наук, у яких широко застосовувалися імовірнісні поняття. Ставало всі видно, що теорія ймовірностей має потребу в новому логічному обґрунтуванні – в обґрунтуванні за допомогою аксіоматичного методу. Багато вчених уживають спроби аксіоматичного визначення поняття ймовірності. Однак успішно ця задача була вирішена на початку XX в. Колмогоровим. Аксіоматика Колмогорова сприяла тому, що теорія ймовірностей остаточно зміцнилася як повноправна математична дисципліна.

Розвиток поняття математичного очікування також зустрічало ряд труднощів. Спроби ввести поняття морального очікування, яке б усувало недоліки математичного очікування - провалилися. Це відбулося через те, що поняття морального очікування не було пов'язане з поняттям імовірності на відміну від математичного очікування. У результаті поняття «математичне очікування» зайняло міцне місце, по праву йому приналежне, у теорії ймовірностей.

Динаміку розвитку закону великих чисел можна зрівняти з ієрархічною градацією. У основі її найпростіші теореми Бернуллі й Пуассона, а на вершині - критерій застосовності закону великих чисел (необхідна й достатня умови). На відміну від понять імовірності й математичного очікування, закон великих чисел не зіштовхувався з подібними протиріччями, у своєму трактуванні. Удосконалення закону великих чисел відбувалося плавно, без різких стрибків.

 

Список використаної літератури

1. Майстров Л.Е. Теорія ймовірностей. Історичний нарис. – К., 2004

2. Майстров Л.Е. Розвиток поняття ймовірності. – К., 2003

3. Вентцель Е.С. Теорія ймовірностей. – К., 2005

4. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. – К., 1999

5. Колмогоров А.Н. Основні поняття теорії ймовірностей. – К., 2005

6. Історія вітчизняної математики. – К., 2005

7. Гливенко В.И. Курс теорії ймовірностей. – К., 1997.

8. Чебишев П.Л. Повне зібрання творів – Львів, 2000

9. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Теорія ймовірностей. – К., 1999