Історія розвитку теорії ймовірностей

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Державний вищий навчальний заклад

„Ужгородський національний університет”

Математичний  факультет

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

Історія розвитку теорії ймовірностей

 

 

 

 

 

 

 

Виконала

студентка 5-го курсу

спеціальнасті „Математика”

Федорянич Н. В.

 

 

 

Ужгород - 2012

 

Зміст

Вступ…………………………………………………………………..….…3

1. Динаміка розвитку поняття ймовірності………………………….……5

1.1 Перші спроби введення поняття ймовірності…………..……...5

1.2 Поява класичного визначення поняття ймовірності……..……8

1.3 Перші спроби введення аксіоматичного визначення поняття ймовірності.…………………………………………..……………..11

1.4 Поява аксіоматичного визначення поняття ймовірності………………………………………………………….14

2. Динаміка розвитку поняття математичного очікування……….……17

2.1 Передумови введення поняття математичного очікування…..………………………………………………………17

2.2 Введення поняття математичного очікування і його подальший розвиток………….……………………………..…..…17

3. Закон великих чисел……………………………………………………21

3.1 Первісне осмислення статистичної закономірності…………………………………………………...…21

3.2 Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону великих чисел…………..………………………….….……21

3.3 Нерівність Чебишева. Закон великих чисел у формі Чебишева...……………………………………………………….....29

Висновки…………………………………………………………………..35

Список використаної літератури...........…………………………………37

 

Вступ

В історії теорії ймовірностей можна виділити наступні етапи.

1. Передісторія теорії ймовірностей. У цей період, початок якого губиться в далечіні століть, ставилися й примітивно вирішувалися елементарні задачі, які пізніше будуть віднесені до теорії ймовірностей. Ніяких спеціальних методів у цей період не виникає. Іде нагромадження матеріалу. Цей період кінчається в XVI в. роботами Кардано, Пачолі, Тарталья й ін.

2. Виникнення теорії ймовірностей як науки. У цей період виробляються перші специфічні поняття, такі, як математичне очікування. Установлюються перші теореми-теореми додавання й множення ймовірностей. Початок цього періоду пов'язане з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Цей період триває від середини XVII в. до початку XVIII в. У цей час теорія ймовірностей знаходить свої перші застосування в демографії, страховій справі, в оцінці помилок спостереження.

3. Наступний період починається з появи роботи Я. Бернуллі «Мистецтво припущення» (1713 р.). Це перша робота, у якій була строго доведена гранична теорема - найпростіший випадок закону великих чисел. Теорема Бернуллі дала можливість широко застосовувати теорію ймовірностей до статистики. До цього періоду ставляться роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона й ін.; теорія ймовірностей починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце в цьому періоді займають граничні теореми.

4. Наступний період розвитку теорії ймовірностей зв'язаний, насамперед, з росіянці (Петербурзької) школою. Тут можна назвати такі імена, як Чебишев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. У цей період поширення закону великих чисел і центральної граничної теореми на різні класи випадкових величин досягає своїх природних границь. Закони теорії ймовірностей стали застосовуватися до залежних випадкових величин. Все це дало можливість прикласти теорію ймовірностей до багатьом розділам природознавства, у першу чергу - до фізики. Виникає статистична фізика, що розвивається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей.

5. Сучасний період розвитку теорії ймовірностей почався із установлення аксіоматики. Цього в першу чергу вимагала практика, тому що для успішного застосування теорії ймовірностей до фізики, біології й іншим галузям науки, а також до техніки й військової справи необхідно було уточнити й привести в струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, тісно пов'язаної з теорією множин, а через неї-з іншими математичними дисциплінами. Це обумовило небувалу широту досліджень по теорії ймовірностей, починаючи від хазяйновито – прикладних питань і закінчуючи самими тонкими питаннями кібернетики. Перші роботи цього періоду пов'язані з іменами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Остаточне встановлення аксіоматики відбулося в 30-е роки XX в., коли була опублікована, і одержала загальне визнання аксіоматика А.Н. Колмогорова.

В останні час намітилися нові підходи до основних понять теорії ймовірностей. Про це свідчить поява теорії надійності, теорії інформації, теорії масового обслуговування й т.п.

Ми ж розглянемо динаміку розвитку визначення поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також відомого закону великих чисел.

Простеживши розвиток цих понять від найпростіших уявлень до закінчених і обміркованих їхніх форм, ми зможемо глибше зрозуміти їхній зміст, що, безсумнівно, важливо з методичної точки зору.

 

1. Динаміка розвитку поняття ймовірності

1.1 Перші спроби введення поняття ймовірності

Розглянемо, як розвивалося поняття ймовірності.

Д. Кардано (1501–1576 р.) у своїй роботі «Книги про гру в кості» впритул підійшов до визначення поняття ймовірності через відношення рівно можливих подій [1].

«Отже, є одне загальне правило для розрахунку: необхідно врахувати загальне число можливих випадань і число способів, якими можуть з'явитися дані випадання, а потім знайти відношення останнього числа до числа можливостей, що залишилися, випадань; приблизно в такій же пропорції визначаються відносні розміри ставок для того, щоб гра йшла на рівних умовах».

Кардано в цьому уривку говорить, що якщо можливе число випробувань дорівнює n, а число сприятливих випробувань – m, те ставки повинні бути у відношенні (мова йде про поділ ставки, тому що вчених того часу дуже хвилював це питання, багато хто з них намагалися вирішувати цю задачу).

У роботах Л. Пачоли, Н. Тарталья робиться спроба виділити нове поняття ймовірності – відношення шансів – при рішенні ряду специфічних задач, насамперед комбінаторних.

Треба відзначити, що поняттям імовірності активно користувалися вчені того часу, не визначаючи його а розуміючи його інтуїтивно. Паскаль і Ферма в листах один одному використовували поняття ймовірності в схованій формі, не визначає його в конкретне визначення.

Гюйгенс (1629–1695 р.) у своїй книзі «Про розрахунки в азартних іграх» виділив поняття «шанс», що по суті, є ще не дуже усвідомлене поняття ймовірності [2]. У введенні Гюйгенс пише: «Хоча в іграх, заснованих на чистому випадку, результати є невідомими, однак шанс гравця на виграш, або на програш має певну вартість. Наприклад, якщо хто-небудь тримає парі, що він викине при першому киданні однієї кістки шість очка, те невідомо, чи виграє він або програє, але що є певним вирахуванням це те, наскільки його шанси програти парі перевершують його шанси на виграш парі».

Т. Байес (1702–1761 р.) у своїй роботі, опублікованої в «Філософських працях» за 1763 р. Р. Прайсом за назвою «Досвід рішення задачі по теорії ймовірностей покійного високоповажного містера Байеса, члена Королівського суспільства, повідомлено містером Прайсом у листах Джонові Кентону, магістрові мистецтв, члену Королівського суспільства» увів поряд з іншими визначеннями й визначення поняття ймовірності. Байес формулює наступні визначення.

1. Кілька подій є несумісними, якщо настання одного з них виключає настання інших.

2. Події, що виключають друг друга, якщо одне з них повинне наступити, але обоє одночасно наступити не можуть.

3. Говорять, що подія не відбулася, якщо воно не наступає або, якщо наступає подія, що виключає.

4. Говорять, що подія визначена, якщо воно наступило або не наступило.

5. Імовірність якої-небудь події є відношення значення, що дається очікуванню, пов'язаному з настанням події, і значення очікуваної в цьому випадку прибутку.

6. Під шансом я розумію те ж саме, що й під імовірністю.

7. Події є незалежними, якщо настання одного не зменшує й не збільшує ймовірності інших [1,2].

Деякі із цих визначень, наприклад 1 і 7, майже повністю збігаються із сучасними. Визначення ж імовірності не відрізняється ясністю, можливо тому, що у формулюванні використовується невизначене поняття: «значення очікування, пов'язаного з настанням події».

У другому розділі своєї роботи Байес користується геометричним визначенням імовірності в його сучасному змісті (не визначаючи його), вирішуючи задачу про кидання кулі W на квадратну дошку ABCD

На AB беруться дві будь-які крапки f і b і через них C F s L D проводяться лінії, паралельні AD до перетинання з CD у крапках F і L. Після цього Байес формулює наступну лему.

Лема.

Імовірність того, що крапка O (крапка зупинки OO кулі) буде перебувати між двома якими-небудь крапками лінії AB, є відношення відстані між двома крапками до всієї лінії AB.

Інакше кажучи, імовірність того, що куля, кинута випадковим образом на ABCD, зупиниться в прямокутнику bfFL, дорівнює . Аналогічно ми обчислюємо геометричним способом імовірність і зараз, як відношення мер.

P(A)= , ( ) – імовірнісний простір,

- клас або сімейство підмножин в ,

- область в ,

P-Імовірність.

Але в Байеса не було визначення геометричної ймовірності.

Кондорсе (1743–1794 р.), відомий політичний і суспільний діяч буржуазної французької революції, займався питаннями теорії ймовірностей. У своїй роботі «Suite du Memoire sur le calcul des Probabilites» Кондорсе намагався поряд з імовірністю ввести поняття «властиво ймовірність» [1,2].

«Не слід розуміти під властиво ймовірністю події відношення числа сполучень, що мають місце, до загального числа сполучень. Наприклад, якщо з 10 карт витягає одна карта й свідок говорить, що це була саме така-те карта, те властиво ймовірність цієї події, яку потрібно зіставити з імовірністю що народжується зі свідчення, що буде , а є ймовірність достати цю карту переважно, чим іншу яку-небудь певну карту, і тому що всі ці ймовірності однакові, те властиво ймовірність буде в цьому випадку …

У випадку, коли витягає одна з десяти карт, число сполучень, при яких витягає яка-небудь певна карта, є одиниця й число сполучень, при яких буде витягнута яка-небудь інша певна карта, теж є одиниця, виходить, властиво ймовірність виразиться – .»

Поняття властиво ймовірності необґрунтовано. Його протиставлення поняттю ймовірності чисто суб'єктивне й математично нічим не підтверджено. Можливо саме тому в науці воно не збереглося.

До XVIII в. поняття ймовірності вже дуже активно використовувалося при рішенні різних задач.

Л. Ейлер (1707–1783 р.), досліджуючи різні лотереї, які пропонували Прусському королю Фрідріху II для поповнення скарбниці держави, користувався саме класичним визначенням імовірності.

1.2 Поява класичного визначення поняття ймовірності

П. Лаплас (1749–1827 р.) у своїх лекціях за назвою «Досвід філософії теорії ймовірностей» уводив наступне класичне визначення ймовірності: імовірність P(A) події A рівняється відношенню числа можливих результатів випробування, які сприяють події A, до числа всіх можливих результатів випробування. У цьому визначенні передбачається, що окремі можливі результати випробування рівно можливі [1,2].

Цьому визначенню ймовірності Лаплас додав суб'єктивний зміст, увівши принцип недостатності або відсутності підстав. Цей принцип полягає в тому, що якщо ймовірність події невідома, то ми для її значення призначаємо деяке число, що нам представляється розумним. У випадку, якщо ми маємо кілька подій, які становлять повну систему, але не знаємо ймовірності кожної події окремо, то ми вважаємо, що всі ці події рівно можливі.

Магістр філософії Сигізмунд (Зигизмунт) Ревковський (1807–1893 р.) в 1829/30 р. уперше в Росії став читати курс теорії ймовірностей. Імовірність він називав мірою надії, величиною надії й давав їй класичне визначення.

Н.И. Лобачевский серйозно займався теорією ймовірностей. У своїй роботі «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних» він визначає ймовірність, випливаючи Лапласові: «під словами ймовірність розуміють зміст числа добрих нагод до числа всіх випадків разом». Рівно можливість випадків, мабуть, малася на увазі Лобачевским.

Професор математики Московського університету Зернов Н.Е. (1804–1862)

у своїй мові «Теорія ймовірностей, з додатком переважно до смертності й страхування», що була видана в 1843 р., увів визначення ймовірності ( ) і цікаве визначення поняття відносної ймовірності.

«Імовірність подій, розглянутих у такому виді, начебто інші події зовсім не мали місця, називається ймовірністю відносного. Відносна ймовірність якої-небудь події дорівнює частці, що пішла від ділення самостійної ймовірності тієї ж події на суму цієї останньої ймовірності й протилежної їй, також самостійної».

Це визначення супроводжується прикладом. У посудині є 3 червоних, 1 чорний, 2 білих кулі. Імовірність витягтися червона куля ; ; – це всі ймовірності самостійні. Тримають парі щодо появи білої або чорної кулі, не обертаючи уваги на червоні. Імовірність виграти парі на білій кулі – , на чорному – .

теорія ймовірність математичне очікування

Це, по Зернову, відносні ймовірності. Для них справедливі співвідношення:

; .

Навіть на цьому прикладі видно, що поняття відносної ймовірності зайво (можна розглядати, що в урні тільки 2 білих і 1 чорна куля).

Великим представником російської теорії ймовірностей був М.В. Остроградський. У своїй статті «Про страхування», опублікованої в журналі «Фінський вісник» в 1847 р., Остроградьский трактує поняття ймовірності із суб'єктивних позицій, як міру впевненості суб'єкта, що пізнає, [1].

Він докладно говорить про те, що ймовірність є міра нашого незнання, що це суб'єктивне поняття, що в імовірності в суб'єктивному світі немає ніякої відповідності, що увесь світ детерминистичен і випадкового в ньому ні, є тільки те, що ми не знаємо або не пізнали, що ми й називаємо випадковим.