Шектер теориясы

                   2.6 Ақырсыз кіші және  ақырсыз үлкен функциялар.

 Бұл пунктте қарастырылатын  барлық функциялар қандай болса да бір интервалында ( ақырлы және ақырсыз) , (мүмкін нүктесінде де  анықталған  деп санаймыз. Егер а = с немесе а = d болса, онда функцияның сәйкес шектерін оң жақты немесе сол жақты шектер деп түсіну керек.

  Анықтама. Егер  болса, онда жағдайда ақырсыз кіші функция деп аталады.

 Ақырсыз кіші функция  түсінігін пайдаланып  функция  шегінің тағы бір анықтамасын  мына теорема түрінде беруге де болады.

 Теорема.  теңдігі орындалуы үшін мұндағы , теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті (символдар арқылы: ). Ақырсыз кіші функциялардың мына қасиеттерін келтірейік.

 

1-лемма. жағдайда саны шектеулі ақырсыз кіші функциялардың алгебралық қосындысы да жағдайда ақырсыз кіші функция болады.

2-лемма. жағдайда ақырсыз кіші функциясы мен а нүктесі маңайында шенделген функциясының көбейтіндісі  де жағдайда ақырсыз кіші функция болады.

Салдар. жағдайда саны шектеулі ақырсыз кіші функциялардың көбейтіндісі де ақырсыз кіші функция болады.Бұл қасиеттердің барлығы да функция шегінің тізбектер түсінігіне негізделген 1-анықтамасымен ақырсыз кіші тізбектер үшін келтірілген сәйкес леммаларға сүйеніп дәлелденді.

        Алдыңғы пункттегі 1-3 теоремаларды  жоғарыдағы теорема мен 1-2-леммаларды  пайдаланып дәлелдеуге болатындығын ескертеміз. Ақырсыз кіші функциялар түсінігімен қатар ақырсыз үлкен функциялар түсінігі де жиі қолданыла береді. жағдайдағы ақырсыз үлкен функцияның бір анықтамасын келтірейік.

        Анықтама. Егер кез келген саны үшін саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда ƒ функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция деп аталады және былай жазылады:

        Осыған ұқсас түрде ɑ нүктесінің сол жағындағы не оң жағындағы тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен функция анықтамасын тұжырымдап айтуға болады. Оларды былай жазады:

                        

                         

         Енді ақырсыз кіші функциялар  мен ақырсыз үлкен функциялар  арасындағы қарапайым байланысты  атап өтейік.

           Теорема. Егер  функциясы жағдайдағы ақырсыз кіші және үшін болса, онда жағдайда функциясы ақырсыз үлкен болады.

 

Дәлелдеуі. функциясы жағдайдағы ақырсыз кіші болсын. Ақырсыз кіші функциясының анықтамасы бойынша  кез – келген   үшін саны табылып, шартын қанағаттандыратын x үшін  теңсіздігі орындалады. Бұдан шартын қанағаттандыратын  барлық x үшін , яғни . Осыған ұқсас түрде мына тұжырым дәлелденеді: егер  ƒ функциясы жағдайда ақырсыз үлкен болса, онда   функциясы жағдайда ақырсыз кіші болады.

           Функция шегінің бар болу  белгілері

       Тізбектер  шегінің бар болуын баяндар  алдында келтірілгенге ұқсас  ескертулерді қайталамай-ақ, бірден функция шегінің бар болу белгілерін қарастырайық. Барлық қарастырылатын функциялар а нүктесінің қандай болса да бір маңайында (мүмкін ɑ нүктесінде де )анықталған болсын. Бұған қоса немесе жағдайлары да қарастырылады. Функция сәйкес ақырсыз қашықтықтағы нүкте маңайында анықталған болады.

      

 2.7Функция шегінің бар болуының қажетті және жеткілікті белгісі (Коши критерииі)

     Анықтама. Егер кез келген саны үшін оған сәйкес саны табылып,

                   ,  (1)

шарттарын қанағаттандыратын  аргументтің кез келген екі мәні және үшін

                                                                     (2)

теңсіздігі орындалса, онда жағдайда ƒ функциясы Коши шартын қанағаттандырады дейді(сиимволдар арқылы:

  ) .

 

 

Функция шегінің  бар болуының шарты(Коши критерииі). ƒ фцнксиясының жағдайда шегі бар болуы үшін, оның Коши шартын қанағаттандыруы қажетті және жеткілікті.

        ɑ-арқылы сан болғандағы Коши критерииінің дәлелдеуін  келтірейік.

        Дәлелдеуі. Қажеттілік. шегі бар дейік. Функция шегінің жағдайдағы 2-анықтамасы бойынша кез келген санына сәйкес саны табылып, . шартын қанағаттандыратын аргументтің кез келген екі мәні және үшін

             ,   (3)

теңсіздіктер орындалады. Енді модуль қасиетін және осы теңсіздіктерді ескерсек, онда (3) теңсіздікті қанағаттандыратын және үшін

            

теңсіздігі орындалады, яғни жағдайда ƒ функциясы Коши шартын қанағаттандырады.

        Жеткілікті. жағдайда ƒ функциясы Коши шартын қанағаттандыратын болсын. Берілген санына сәйкес саны табылады деп ұйғарып, теңдігін дәлелдейік. Ол үшін функция шегінің бірінші анықтамасын пайдаланып, аргумент мәндерінің ɑ-дан өзге ( ) сандардан құралатын және а санына жинақталатын кез келген тізбегін қарастырайық. Бұл тізбек үшін жоғарыда алынған санына сәйкес нөмері табылып, тізбек шегінің анықтамасы бойынша ьарлық үшін теңсіздігі орындалады. Егер мен бірге тағы да нөмерін алсақ , онда және үшін , теңсіздіктері орындалады. Енді санының қандай шартпен алынғанын

ескерсек, теңсіздігі орындалады. Алайда осы табылған шарт

 және  нөмерлері -ден үлкен болғанда ғана орындалады. Олай болса, тізбегі- негізгі тізбек. Сондықтан да, ол жинақталатын тізбек болады.

         Сонымен, . Енді бұл шек тізбегі қалай таңдап алынғанына байланысты еместігін дәлелдейік. Ол үшін жоғарыда қарастырылған тізбегінен өзге тізбегін қарастырайық.

         Бұған сәйкес  тізбегі жоғарыдағы дәлелденген тұжырым бойынша қандай болса да бір санға жинақталатыны түсінікті. Оны   деп дәлелдейік. Енді осы саны сол санымен тең болатынына көз жеткізу қажет. Ол үшін қарсы жоримыз, яғни дейік, ɑ-дан өзге сандардан құрылатын және сол ɑ санына жинақталатын тізбегін қарастырайық. Алайда ƒ функциясының мәндерінен тұратын оған сәйкес тізбегінің шегі болмайды. Шынында да, тізбектің тақ және жұп орнында тұрған мүшелерінен құралған екі тізбек, жоғарыда байқағанымыздай, әр түрлі және сандарына жинақталады. Ал мұның өзі жоғарыда дәлелденген тұжырымға қайшы(яғни ƒ функциясы мәндерінің жиыны жинақталуы тиіс). Сонымен,   және теңдігі орындалады. Теорема толық дәлелденді.

         Осыған ұқсас түрде  , , жағдайлары үшін Коши шартын тұжырымдап айтып және ƒ функциясы үшін Коши критерииін дәлелдеуге болады. Жеке жағдайда, (1) шартты сәйкес мына шарттармен алмастыру керек:

                       

 

Мұндағы ескертеріміз, аргумент мәндерінің жағдайдағы және тізбектері а санынан кіші (үлкен ) сандардан құралған да және олардың әрқайсысы сол а санына жинақталады. Ал жағдайда бұл тізбектер ақырсыз үлкен (тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен) тізбек болады.

                

                   Функция шегі бар болуының жеткілікті шарты.

      Бұл шартты жағдайы үшін ( а -ақырлы сан) тұжырымдап және дәлелдейік.

      Теорема  (аралық функцияның шегі туралы). Егер , болып және а нүктесінің қандай болса да маңайында (мүмкін а нүктесінде де) теңсіздігі орындалса, онда шегі бар болады.

       Дәлелдеуі. тізбегі шартын қанағаттандыратын кез келген тізбек дейік. Сонда саны табылып, барлық нөмері үшін

     теңсіздіктері орындалады. Олай болса, берілген шектердің және тізбек жинақталуының жеткілікті шарты бойынша шегі бар болады. Ал бұдан тізбегі а санынан өзге сандардан құралатын және осы а санына жинақталатын кез келген тізбек болғандықтан, теңдігі орындалады.

      Осыған ұқсас түрде , , жағдайлар үшін де ƒ функциясы шегінің бар болуының жеткілікті шартын тұжырымдап айтып және дәлелдеуге болады. Сөйтіп, қарастырылып отырған нүктелердің сәйкес маңайларына қойылатын талаптар сол Коши шартын баяндағанда ескертілген талаптармен бірдей.

                           

2.8  Бірсарынды функцияның шегі бар болуының қажетті және жеткілікті шарты.

         1-теорема. ƒ функциясы (a,b) интервалында кемімейтін болсын (жек жағдайда, , болуы мүмкін). Сонда -тің -ға ұмтылғандағы функциясының сол жақ шегі бар болуы үшін, оның алынған интервалда жоғарыдан шенделген болуы қажетті және жеткілікті.

     Дәлелдеуі. Қажеттілік. бар болсын. Ендеше ƒ функциясы нүктесінің қандай болса да бір сол жақ маңайында жоғарыдан (мысалы, санымен) шенделген болады. Ал ƒ функциясы интервалында кемімейтін болғандықтан, интервалының кез келген нүктесіндегі оның мәні нүктесі маңайында қабылдайтын мәндерінің жоғарғы шені санынан артпайды. Сонымен кез келген үшін (яғни ƒ функциясының интервалында жоғарыдан шенделуі қажетті).

    Жеткіліктік. ƒ функциясы интервалында жоғарыдан шенделген болсын, яғни кез келген үшін саны табылып, теңсіздігі орындалады. Бұған ƒ функциясының ақырлы дәл жоғарғы шені болатыны шығады.

    1-теорема. . Дәл шендер критерииі негізінде барлық үшін орындалатын теңсіздігінен кез келген саны бойынша нүктесі табылып, теңсіздігі орындалатын болады.

    Енді, кез келген нүктесін алайық. ƒ функциясы кемімейтін болғандықтан, . Сонымен, соңғы теңсіздіктен шығатыны . Яғни, кез келген үшін теңсіздігі орындалады. Олай болса,

                              

Ескерту. Егер интервалында кемімейтін ƒ фцнкциясы жоғарыдан шенделмеген болса, онда жағдайда ол ақырсыз үлкен функция болады, яғни

                       

     Шынында да, ƒ функциясы жоғарыдан шенделмеген болғандықтан, кез келген саны үшін ең болғанда бір нүктесі табылып, теңсіздігі орындалады. ƒ кемімейтін функция болғандықтан, кез келген нүктесі үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан

                         

     Сондықтан, егер ƒ функциясы жоғарыдан шенделген болса, онда интервалында кемімейтін ƒ функциясының b нүктесінде сол жақты шегі бар және ол шек ақырлы, ал, керісінше жағдайда- ақырсыз болады. 1-теореманы дәлелдеу тәсіліне ұқсас мына 2-теореманы дәлелдеуге болады.

    2-теорема. ƒ функциясы интервалында кемімейтін болсын (жеке жағдайда, болуы мүмкін). Сонда x-тің ɑ-ға ұмтылғандағы ƒ функциясының оң жақты шегі ( жағдайдағы ƒ функциясының шегі) бар болуы үшін оның алынған интервалда төменнен шенделген болуы қажетті және жеткілікті. Осы екі теореманы тікелей салдары ретінде 3-теореманыың орындалуы ақиқат.

        3-теорема. Егер ƒ функциясы кесіндісінде кемімейтін болса, онда әрбір нүктесінде шектері бар болып, және теңсіздіктері орындалады. Сонымен бірге, ƒ функциясының а нүктесінде оң жақты, ал b нүктесінде сол жақты шектер бар болады. Осыған ұқсас теоремаларды иинтервалында өспейтін функция үшін де дәлелдеуге болады.

 

 

           

                                          Қорытынды

        Жоғарыда айтылғандай өзімнің курстық жұмысымда шектер теориясын екі тарауға бөліп қарастырдым. Бірінші бөлімде сандық тізбек,оның шегі және олардың берілу тәсілдері,қарапайым сипаттамалар түрін, шегін анықтау, шегі бар тізбектердің қасиеттерін, ақырсыз үлкен және ақырсыз кіші тізбектер жайлы, Коши критерийін, Больцано-Вейерштрасс теоремасын өз курстық жұмысыма қоса отырып,тақырыбымның бірінші бөлімін осылый қарастырдым. Ал екінші бөлімде функция шегін, қасиеттерін, функция шегінің бар болу белгілерін, функцияның шексіздіктегі шегін, бірсарынды функцияның шегі бар болуының қажетті және жеткілікті шарттарын зерттедім. Функция шектері туралы теоремаларды да осы екінші бөлімде қарастырып өттім.

        Сонымен мен өзімнің курстық  жұмысымда Шектер теориясы туралы  тақырыбымды қорытындылай келе тізбек шегіне мынадай анықтама беруге болады:      

       Егер  кез – келген оң  санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда a саны   тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:

                                

        Егер a нүктесінің  кез – келген маңайы тізбегінің  саны арқылы мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда  осы a санын тізбегінің шегі деп атайды.Ал функция шегі деп:

       Егер  a  санына  жинақталатын кез  келген  тізбегі (мұның ешбір элементі ) үшін ƒ функциясы мәндерінің сәйкес тізбегі   санына жинақталатын болса,  онда  A санын ƒ функциясының -тің а -ға ұмытылғандағы шегі деп атайды және былай белгілейді:    

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.Дүйсек А.К.,Қасымбеков  С.К. «Жоғары   математика»  (оқу   құралы)- Алматы,ҚБТУ,2004