Автор: Пользователь скрыл имя, 05 Апреля 2013 в 07:56, курсовая работа
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
2)Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез – келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез – келген n ≥ 2 үшін a = an-1+d; б) кез – келген n ≥ 2 үшін bn = bn-1 ∙ q; а) және б) формулалары сәйкес және тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез – келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді.
Кіріспе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
I тарау: Тізбектің шегі
1.1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері……………………......4
1.2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері…………………………………………6
1.3 Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен тізбектер ……………………....8
1.4 Тізбектің шегі туралы теоремалар……………………………………......9
1.5 Теңсіздіктерде шекке көшу……………………………………………...12
1.6 Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті
шарты.............................................................................................................13
1.7 Тізбектің жинақталуының Коши критерийі…………………………...15
1.8 Тізбекшелер. Больцано-Вейерштрасс теоремасы……………………...17
1.9 Анықталмаған өрнектер ………………………………………………...18
II тарау : Функция шегі
Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара – парлығы……20
Бір жақты шектер...………………………………………………………21
Функцияның шексіздіктегі шегі...………………………………………23
Шегі бар функцияның шенделгендігі.....……………………………….24
Функция шектері туралы теоремалар...………………………………...25
Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен функциялар……...……………….26
Функция шегінің бар болуының қажетті және жеткілікті белгісі
(Коши критерийі).………………………………………………………........28
Бірсарынды функция бар болуының қажетті және
жеткілікті шарты..……………………………………………………………31
Қорытынды…………………………………………………………………...34
Пайдаланылған әдебиеттер………………………………
Больцано – Вейерштрасс теоремасы. Кез – келген шенделген тізбектен жинақталатын тізбекше бөліп шығаруға болады.
Дәлелдеуі: шенделген тізбек, яғни болсын. кесіндісін қақ бөлейік. Сонда осы кесінділердің ең болмағанда бірі тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтиды ( олай болмағанда кесіндісі қамтитын мүшелерінің саны шектеулі болар еді); кесінді тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын кесінді болсын. ( егер екі кесіндінің әр қайсысы да, ақырсыз көп мүше қамтитын болса, онда олардың кез – келгенін алуға болады). Енді кесіндісін де осылайша қақ бөліп, тізбегінің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын бөлігін арқылы белгілейік. Осы процесті жалғастыра келе қадам жасап, ол тізбектің ақырсыз көп мүшелерін қамтитын кесіндісін бөліп аламыз. Сонда ұзындығы 0- ге ұмтылатын ( жағдайда ) бірінің ішіне бірі орналасқан
... ...
кесінділер жүйесін аламыз. Демек, бірі бірінің ішіне орналасқан кесінділер принципі негізінде
Енді берілген тізбегінен тізбекшесін былайша бөліп шығарамыз: үшін тізбегінің кесіндісі қамтитын кез – келген мүшесін аламыз. Процесті осылайша әрі қарай жалғастыра отырып, k қадам жасап, тізбегінің кесіндісі қамтитын мүшесін аламыз.,т.с.с. демек, . Бұдан алдыңғы теңдікпен (*) тізбек
жинақталуының жеткілікті шарты бойынша теңдігін аламыз. Яғни тізбекшесі жинақталады.
1.9 Анықталмаған өрнектер.
1) Егер болса, онда тізбегінің шегі туралы алдын – ала анық ешнәрсе айта алмаймыз. Мысалы, егер болса, онда ; егер , болса, онда егер , болса, онда ( ) ; егер , болса, онда шегі жоқ.
Сонымен, шегін табу үшін , болатынын білу жеткіліксіз. Бұл жағдайда мен айнымалыларының өзгерістерін сипаттайтын қосымша мәліметтер қажет немесе шегін табуға арнайы тәсілдер қоллдану қажет. Егер , нөлге ұмтылатын болса, онда өрнегі түріндегі анықталмаған өрнек деп аталады.
Анықталмаған
өрнектердің кейбіреулерін
2) , болса, онда өрнек, түріндегі;
3) , болса, онда өрнек түріндегі;
4) , болса, онда + өрнек
5) болса, онда өрнегі түіндегі анықталмаған өрнектер деп аталады.
Анықталмаған өрнектерді ашу – сәйкес өрнектердің шегін (егер ол бар болса,) табу деген сөз, алайда бұл іс барлық уақытта оңай бола бермейді.
2.1 Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара - парлығы
а нүктесінің қандай болмасын (с,d) маңайында ( мүмкін а нүктесінде де ) анықталған ƒ функциясын қарастырайық.
1-анықтама. Егер a санына жинақталатын кез келген тізбегі (мұның ешбір элементі ) үшін ƒ функциясы мәндерінің сәйкес тізбегі санына жинақталатын болса, онда A санын ƒ функциясының -тің а -ға ұмытылғандағы шегі деп атайды және былай белгілейді:
немесе жағдайда (символдар арқылы: ).
2-анықтама. Егер кез келген санына сәйкес саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық үшін тенсіздігі орындалса, онда санын ƒ функциясының -тің а -ға ұмтылғандағы шегі деп атайды және (1) өрнегімен белгілейді (символдар арқылы: ). Егер нүкте маңайының (жеке жағдайда ортасынан тесілген ) белгілеуін пайдалансақ, былай жазуға болады:
яғни кез келген үшін саны табылып, аргумент мәндері а нүктесінің ортасынан (тесілген) маңайына тиісті болғанда ƒ функциясының сәйкес мәндері нүктесінің маңайына ( осі бойында) тиісті болады. Енді осы екі анықтаманың пара-парлығын дәлелдейік.
1-анықтамада айтылған мағынада болсын, сонда осы шектің 2-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетейік. Қарсы жорып, екінші анықтама дұрыс болмайды дейік. Бұл жорамалды әдеткі символын
символымен, символын символымен, яғни, "барлық үшін" сөз тіркесін " мәні табылады" сөз тіркесімен алмастыра отырып,керісінше тұжырымдап, 2-анықтаманы теріске шығарайық.
Сонда немесе саны табылып, кез келген саны үшін ең болмағанда бір нүктесін табуға болады және тенсіздігі орындалғанда тенсіздігіде орындалады.
саны үшін , тізбегінің барлық мүшелерін алайық. Сонда әрбір және оған сәйкес нүктесі үшін теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Алайда жағдайда оған функция мәндерінің тізбегі санына ұмтылмайды. 1-анықтаманың мағынасына қарсы осы табылған қайшылық айтылған болжамды дәлелдейді.
Енді 2-анықтамада тілінде айтылған мағынадағы ƒ функциясы шегінің 1-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетеміз. Ол үшін санын тағайындап алып, оған сәйкес санын табамыз. Енді ұмтылатын қандайда да болсын тізбек дейік ( ). Сонда санына (жоғарыда тауып алған) сәйкес нөмері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан 2-анықтама бойынша теңсіздігі шығады. Сонымен жағдайда болады. Демек, функция шегінің екі анықтамасы бір-бірімен пара-пар болып шықты. Бұл екі анықтаманың қай-қайсысын да қолайлы болған кезде падалана беруге болады.
ƒ функциясы (с,d] жарты интервалда (мүмкін нүктесінде де) анықталған дейік. 1-анықтама. Егер а санына жинақталатын кез келген , мұндағы , , тізбегіне ƒ функция мәндерінің сәйкес тізбегі санына жинақталатын болса, онда саны -тің а -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының сол жақты шегі деп аталады және былай жазылады:
(символдар арқылы: ).
2-анықтама. Егер кез келген үшін оған тәуелді саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда A саны x-тің а -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының сол жақ шегі деп аталады және былай жазылады: (символдар арқылы: ).
1 және 2-анықтамалардың мәндестігін 1-пункттегідей дәлелдеуге болады. Жоғары келтірілген анықтамаларға ұқсас түрде -тің а -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының оң жақ шегінің 1 және 2-анықтамаларын тұжырымдауға болады. Ол шекті арқылы жазып көрсетейік
1.
2.
Егер ɑ=0 болса, онда орнына деп, ал орнына деп жазады.
Теорема. болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілік. деп алайық. 2-анықтама бойынша, кез келген үшін саны табылып, теңсіздігін
қанағаттандыратын барлық x үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан шығатыны: және теңсіздіктерін қанағаттандыратын
барлық үшін теңсіздігі орындалады, яғни .
Жеткіліктік. және деп алайық. Сонда кез келген үшін және сандары табылып, және теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады. Енді және сандарының ең кішісін деп белгілесек, онда теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі шығады, яғни .
Ескерту. -тің ɑ-ға ұмтылғандағы ƒ функциясының бір жақты шектерін сол функцияның ɑ нүктесіндегі бір жақты шектерді деп те атайды және былай белгілейді:
2.3Функцияның шексіздіктегі шегі.
Алдыңғы пунктте келтірілген 1 және 2-анықтамаларда а мен A сандары арқылы болатын. Енді біз аргумент тұрақты таңбалы шексіздікке ұмытылғандағы функция шегінің анықтамасын тұжырымдаймыз. ƒ функциясы сәулесінде анықталған болсын.
3-анықтама. Егер мүшелері белгілі бір нөмірден бастап оң (теріс) сан болатын аргумент мәндерінің кез келген ақырсыз үлкен тізбегі үшін ƒфункциясының сәйкес мәндерінің тізбегі A санына жинақталатын болса, онда A саны оң (теріс) шексіздікке ұмтылғандағы ƒ функциясының шегі деп аталады және былай белгіленеді:
4-анықтама. Егер кез келген оң саны үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын -тің барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда A саны оң (теріс) шексіздікке ұмтылғандағы ƒ функциясының шегі деп аталады.(символдар арқылы:
).
2.4 Шегі бар функцияның шенделгендігі.
Егер функция шегінің тізбек шегі түсінігіне негізделген анықтамаларымен пайдаланатын болсақ (1 және 2-анықтамалар), онда функцияның шенделгендігі дәлелденді деп санауға болады;(шынында да, кез келген жинақталатын тізбек болып табылады). Бұл тұжырымды функция шегінің 2 және 4-анықтамаларын пайдалана отырып тексерейік.
Теорема. Егер -тің а -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының шегі A саны бар болса, онда ƒ функциясы ɑ нүктесінің белгілі бір маңайында(мүмкін а нүктесінде де) шенделген болады (символдар арқылы: ).
Дәлелдеуі. -тің ɑ -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының A-ға тең шегі бар болуы кез келген санына сәйкес саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігінің орындалуымен пара-пар болады.
Енді деп алайық. Соңғы теңсіздікті, айырым модулінің қасиетін пайдалана отырып, былай жазайық:
. Бұдан теңсіздігін қанағаттандыратын барлық -тер үшін теңсіздігі орындалатыны шығады. Осыған ұқсас теорема жағдайында шегі бар болатын ƒ функциясы үшін де дұрыс болады. ƒ функциясының шенделгендігін ақырсыз қашықтықтағы нүкте маңайында орналасқан барлық үшін де (яғни, барлық , немесе үшін) дәлелдеуге болады. Мұның дәлелдемесі жоғарыда келтірілген теореманың дәлелдемесін сөзбе-сөз дерлік қайталайды. Сонымен, -тің а -ға ұмтылғанда (немесе жағдайда) ƒ функциясының арқылы шегі бар болса, онда ол функция ɑ нүктесінің қандай болса да бір маңайында шенделген болуы қажетті.
2.5 Функция шектері туралы теоремалар.
Бұл пунктте функцияларға арифметикалық амалдар қолдану жөнінде әңгімеленеді. Қарастырылатын барлық функциялар да қандай болса да бір интервалында (ақырлы немесе ақырсыз)( мүмкін нүктесінде де) анықталған деп санаймыз. Егер ɑ = с немесе ɑ = d болса, онда қарастырылып отырған функция шегі сәйкес оң жақты немесе сол жақты шек деп түсініледі.Бұған қоса немесе жағдайлары да қарастырылуы мүмкін. Функция сәйкес ақырсыз қашықтық тағы маңайында анықталған болады.
1-теорема. Егер және шекткрі бар болса, онда шегі де бар болады және мына теңдік орындалады:
Бұл теорема қосылғыштар саны шектеулі болған жағдай үшін де орындалады.
2- теорема. Егер және шектері бар болса,онда шегі де бар болады және теңдік орындалады:
=
Ескерту. Егер (тұрақты сан) болса, онда .
1-салдар. Егер бар болса, онда кез келген с саны үшін .
2-салдар. Егер бар болып, - натурал сан болса, онда
3-теорема. Егер және шектері бар болса, онда шегі де бар болады және теңдігі орындалады.
Бұл
теоремалардың барлығы да