Шектер теориясы

 

3- анықтама. Егер кез – келген c>0  санына сәйкес нөмірі табылып,  барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда оң (теріс ) шексіздікке ұмтылады дейді және былай жазады:

                            

            2- теорема. Егер ақырсыз үлкен тізбек болса,  онда ақырсыз кіші тізбек болады. Осы тұжырымның  дұрыстығын тексерейік. ақырсыз үлкен тізбек болсын. Анықтама бойынша кез –келген Е>0 саны үшін нөмірі табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан немесе .  Бұл теңсіздік барлық  = нөмірлері үшін  орындалады. Соңғы теңсіздік теореманың  тұжырымдамачын береді. Осыған ұқсас түрде мына тұжырымды да дәлелдеуге болады:

    Егер  ақырсыз кіші тізбек болса, онда , ақырсыз үлкени тізбек болады.

4. Тізбектің шегі турлы теоремaлар.

 Бұл пунктте   тізбектерге  арифметикалық амалдар  қалай қолданылатыны жайлы әңгімеленеді.

   1- теорема. Егер және тізбектері жинақталатын болса, онда тізбектері де жинақталатын болады  және , яғни жинақталатын екі тізбек қосындысының  шегі сол тізбектер шектерінің қосындысына тең болады.

        Дәлелдеуі: және дейік. Сонда 1 – теорема негізінде (мұндағы мен ақырсыз кіші тізбектер ) теңдіктерін аламыз. Бұдан  тізбегі ақырсыз

 

кіші тізбек, яғни сонда 1.3 – тің 1- теоремасы бойынша . Бұл теореманы индукция әдісін қолдана отырып,  саны шектеулі тізбектердің  алгебралық қосындысы үшін  де дәлелдеуге болады.

   2- теорема. Егер және жинақталатын тізбек болса, онда тізбегі де жинақталатын болады және , яғни жинақталатын тізбектер көбейтіндісінің   шегі олардың шектерінің  көбейтіндісіне тең болады.

      Дәлелдеуі. және болсын, сонда (мұндағы және ақырсыз кіші тізбектер.) Мына көбейтіндіні қарастырайық:

         

Тізбегі 1-2 леммелер негізінде  ақырсыз  кіші тізбек болып табылады. Сонымен , барлық үшін . Ал бұдан мына теңдік шығады. ( 1-теореманы қараңыз):

                                       

   Ескерту. Егер барлық үшін  болса, онда немесе тұрақты санның  шегі де сол тұрақты сан болады. Шынында да, болғандықтан, ақырсыз кіші тізбек,  сондықтан 1- теорема бойынша

   1- салдар. Егер тізбегі жинақталатын болса,  онда кез – келген С саны үшін тізбегі де жинақталатын  тізбек болады және , яғни тұрақты көбейткішті шек таңбасының алдына шығаруға болады.

 

2-салдар. Егер жинақталатын тізбек , ал k – натурал сан болса, онда

     

  Бұл салдарды 2- теоремадан  индукция әдісін пайдалана отырып  алуға болады.

  3- теорема. Егер және , тізбектері жинақталатын болып, сонымен бірге болса, онда тізбегі  жинақталатын болады да, теңдігі орындалады. Алдын – ала мына лемманы дәлелдейік.

  Лемма. Егер   тізбегі жинақталатын болып,  сонымен бірге болса, онда нөмірі табылып барлық   нөмірлері үшін  тізбегі шенделген тізбек болады.

    Дәлелдеуі.  Анықтама бойынша

                

  Енді  деп алып, айырма модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті мына түрде жазайық: ( ). Бұдан теңсіздігі шығады, ал шарт бойынша болғандықтан , барлық  нөмірлері үшін  теңсіздігі орындалады.

   3- теореманы дәлелдеуге  көшейік. , деп алайық.  Теореманы дәлелдеу үшін (1.3 1- теоремасы бойынша) айырымы ақырсыз кіші  екенін дәлелдеу жеткілікті. Бізге мына теіңдіктер  белгілі :

                           

 

     

 Осылдарды пайдаланып  табатынымыз :

,

Мұндағы тізбегі лемма бойынша шенделген, ал  ақырсыз кіші тізбек. Сондықтан айырымы ақырсыз кіші тізбек болады. Бұдан мына теңдік шығады. (6п. 1- теорема):

                          

          

                          1.5 Теңсіздіктерде шекке көшу

     Теорема. Егер жағдайда , және де барлық нөмірлері үшін  болса, онда . Қысқаша айтқанда, алынған теңсіздікте шекке көшуге болады.

  Дәлелдеуі. Қарсы жорып, a>b дейік.   санын мына  аралықтан  0< < таңдап алайық. Тізбек шегінің анықтамасы бойынша осы санына сәйкес натурал саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалады. Осыған ұқсас түрде алынған  санына сәйкес натурал саны табылып, барлық  нөміллері үшін теңсіздігі орындалады. Егер және сандарының ең үлкенін арқылы белгілесек, онда нөмірлері үшін осы теңсіздіктердің екеуі де сөзсіз орындалады. Сонда

  теңсіздігін түрлендіре келе, табатынымыз:

   

        

яғни 

     Барлық  нөмірлері үшін  соңғы теңсіздіктерден , нeмесе  теңсіздігі шығады. Алайда, бұл теңсіздік теореманың шарты теңсіздігіне қайшы. Демек, a>b деп жору қате. Сондықтан болады ( яғни теңсіздікте шекке көшуге болады).

1. салдар. Егер жағдайда және барлық нөмірлері үшін болса онда теңсіздігі орындалады. Бұған көз жеткізу үшін   жағдайда теңсіздігінде шекке көшсек жеткілікті
2. салдар. Егер жинақталатын тізбегінің  барлық мүшелері кесіндісіне тиісті болса,   онда оның шегі с саны да осы кесіндіге тиісті болады. Шынында да, ,   теңсіздігінде шекке көшсек, іздеген теңсіздігі шығады. Енді және теңсіздіктері барлық нөмірлері үшін емес, қандай болса да бір нөмірінен  артық барлық үшін орындалғанда да жоғарыда дәлелденген теорема мен одан шығатын бірінші салдардың дүрыс болып қала беретіндігін ескертеміз.

6. Бірсарынды тізбектер жинақталуының  қажетті және жеткілікті шарттары

  1 – теорема. Егер тізбегі кемімейтін болып және жоғарыдан қандай да бір В санымен шенделген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі  М саны В санынан артық болмайды, яғни

    Дәлелдеуі. жоғарыдан шенделген тізбек, сондықтан оны жоғарыдан шенделген бос емес жиын деп қарастырайық., оның дәл жоғарғы шені М бар болады. Енді осы М саны   тізбегінің шегі болатынын дәлелдейік: болғандықтан, кез – келген үшін  табылып,

 

 

 теңсіздігі орындалады. кемімейтін тізбек болғандықтан, барлық үшін  бұл теңсіздік негізінде . Ал тізбегінің кез – келген мүшесі  өзінің дәл жоғарғы шекарасынан артпайтын болғандықтан, барлық үшін және кез –келген үшін . сондықтан, . Алайда соңғы теңсіздіктерді біріктіргенде  шығатын теңсіздігі барлық үшін орындалады, яғни . Әрине, ( дәл жоғарғы шек барлық басқа жоғарғы шектердің ең кішісі ) болатыны түсінікті

2. – теорема. Егер тізбегі өспейтін тізбек болып және төменнен  қандай болса да бір А санымен шенделген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі т саны  А санынан кем болмайды, яғни . Егер екенін ескерсек, онда екінші теореманы да  бірінші теореманың дәлелдемесіне  ұқсас дәлелдеуге болады.

               Ескерту. Кемімейтін тізбек төменнен шенделген (мысалы, өзінің  бірінші мүшесімен) тізбек болады. Сондықтан, егер кемімейтін тізбек  жоғарыдан шенделген болса, онда екі жағынан да шенделеді, яғни шенделген.

3. теорема. Бірсарынды тізбек  жинақталуы үшін, оның шенделген

болуы қажетті  және жеткілікті.

      Дәлелдеуі. Қажеттілік. Бірсарынды тізбегі жинақталады. Ал  жинақталатын тізбектің шенделген болатыны белгілі.

Жеткіліктілік: тізбегі бірсарынды, әрі шенделген болсын. Сонда тізбектің шегінің бар болуы, не 1 - теоремадан ( егер кемімейтін тізбек болса) , не 2 - теоремадан  ( егер өспейтін тізбек болса) шығады.

     

 

 

  Салдар ( бірінің ішінде  бірі орналасқан  кесінділер принципі ).

  кесінділер жүйесі  берілсін, және п артқан сайын  кесінді ұзындығы 0– ге ұмтылатын болсын. ( яғни ) . Сонда бұл жүйенің барлық кесінділеріне тиісті болатын бр және тек бір ғана  с нүктесі табылады.

     Дәлелдеуі: бірінің ішінде бірі орналасқан  және ұзындықтары 0- ге ұмтылатын кесінділер жүйесі  болғандықтан, олардың сол жақ ұштары құратын тізбек   кемімейтін тізбек болады да, ал оң жақ ұштары құратын  тізбек өспейтін тізбек болады. Бұлардың екуі де шенделген  тізбектер (өйткені оларды кесіндісі қамтиды).  3- теорема бойынша бұл тізбектердің  әрқайсысының бір ғана шегі болады. Ал болғандықтан, Бұл шекті с арқылы белгілейік. болғандықтан ( 1- теорема) , барлық  үшін теңсіздігі орындалады. Мұнымен бірге болғандықтан (2- теорема) , барлық үшін теңсіздігі  орындалады. Демек, барлық үшін , .

                

                 1.7 Тізбектің жинақталуының Коши критерийі.

    Егер кез – келген оң саны үшін  натурал саны табылып, және шарттарын қанағаттандыратын барлық және натурал сандары үшін тәңсіздігі орындалса, онда тізбегін негізгі (фундаментальдық) тізбек деп атайды.

       Коши критерийі. тізбегі жинақталуы үшін, оның негізгі тізбек болуы қажетті және жеткілікті.

      Дәлелдеуі. Қажеттілік. жинақталатын тізбек және болсын. Жинақталатын тізбектің  анықтамасы бойынша кез – келген санын

сәйкес натурал  саны табылып, барлық үшін теңсіздігі және осыған ұқсас түрде  үшін теңсіздігі орындалады. Осы

теңсіздіктерге сүйеніп  және қосынды модулінің қасиетін пайдаланып барлық   және үшін былай жазамыз:

                

Яғни  негізгі тізбек болады.

      Жеткіліктілік. тізбегі  негізгі тізбек болсын. деп алып, оған сәйкес табайық. Сонда барлық , үшін теңсіздігі орындалады. дейік. Сонда . нөмірін бекітіп алып, айырым модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті былай жазамыз: . Сонда барлық үшін теңсіздігі орындалады, яғни шенделген тізбек балады. ( яғни тізбегінің  барлық мүшесін қамтитын сан түзуінің кесіндісін табуға болады) . нөмірлі барлық   мүшелерін қамтитын ең кіші кесіндіні арқылы белгілейік.

Ол үшін 

               ,  

Деп алу жеткілікті, яғни жиынының  дәл жоғарғы  және дәл төменгі шенін мен деп алу керек. Енді , кесінділері бірінің шіне бірі орналасқандығын ескерейік, яғни

   Шынында да,

    

     кесіндісінің ұзындығы жағдайда 0-ге  ұмтылатынын тексерейік. Негізгі тізбек анықтамасы бойынша кез – келген санына

 

 

сәйкес  саны табылып, барлық нөмірлері үшін немесе теңсіздігі  орындалады. Осыған ұқсас түрде нөмірлі

барлық  мүшелерін қамтитын ұзындығын ең кіші кесіндісінің  ұштары үшін де . Бұдан . кесінділеріт бірінің ішінде  бірі орналасқандықтан, барлық үшін , яғни . Сонымен ,  бірінің ішіне бірі орналасқан  кесіндіер принципі орындалатын болды.( 3-теореманың салдары). Олай болса барлық  кесінділеріне ортақ бір ғана  ɑ нүктесі табылады. Енді екендігін дәлелдейік. ɑ нүктесін қамтитын (c,d) интервалын қарастырайық. Сонда бұл маңайдың тізбегінің  ақырсыз көп  нүктелерін қамтитындығын тексеру жеткілікті . Бұны орындау қиын емес. Шынында да ( Жағдайда  болатындықтан ),  натурал саны табылып, екенін қашанда көрсетуге болады. Олай  болса, барлық нөмірлері үшін орындалады, ендеше

                          

                     1.8 Тізбекшелер. Больцано – Вейерштрасс теоремасы.

     тізбегі берілсін: . ол тізбекке енетін тізбекшесін қарастырайық: , мұндағы натурал сандардың қандай болса да бір өспелі жиыны, яғни Егер тізбегі жинақталатын болс, оның тізбекшесі да жинақталады және оның шегі тізбегінің шегіне тең болады. Осылайша, егер ақырсыз үлкен тізбек болса, онда тізбегі де ақырсыз үлкен тізбек болады. Алайда, тізбегінің  шегі болмағанда оның тізбекшесінің  шегі де болмайды деген қорытынды шықпайды.