Математиканың дамуы барысында комплекс сандардың пайда болу тарихы

Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Сентября 2013 в 16:04, научная работа

Краткое описание

Сол сияқты кейбір теңдеудің шешімі рационал сандар жиынында табылмай нақты сандар жиынында табылып жатады. Мысалы, х2 =3 теңдеуінің рационал сандар жиынында шешімі жоқ, иирационал сандарды білмеген кезде түбірі жоқ деп жауап беретін болдық. Ал шындығында оның түбірлері бар, түбірлері . Бұл сандарды түсінуге қиын болып көрінгенмен, ұзындығы -ге тең болатын кесіндінің бар екеніне көзіміз жетті. Сонымен қатар осы иррационал сандардың көмегімен математикалық есептер ғана емес, техниканың, физиканың т.б. есептері оңай шығарылады.

Оглавление

КІРІСПЕ . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
І. Математиканың дамуы барысында комплекс
сандардың пайда болу тарихы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ІІ. Комплекс сандар және оларға амалдар қолдану.
Комплекс сандардың геометриялық мағынасы
2.1. Негізгі ұғымдар және комплекс сандарға амалдар қолдану. . . . . .8
2.2. Комплекс сандардың геометриялық кескіні.
Тригонометриялық түрі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
2.3. Комплекс сандарды дәрежелеу және түбірден шығару. . . . . . . .11
2.4. Алгебралық амалдардың геометриялық мағынасы. . . . . . . . . . .12
ІІІ. Комплекс сандардың қолданылуы.
3.1. Алгебралық теңдеулерді шешу. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Алгебралық тепе-теңдікті дәлелдеу. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .16
3.3. Комплекс сандарды тригонометрияда қолдану. . . . . . . . . . . . . .17
3.4. Комплекс сандарды геометрияда қолдану. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ҚОРЫТЫНДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Скачать в ZIP (222.79 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

комп сандар.docx

— 253.56 Кб (Скачать)

 белгілеулерін  енгізсек, z+w=a теңдеуі шығады. Бұнда

Модульдары  тең әрі 1-ге тең  болғандықтан, z, w және aбірлік шеңбердің бойында жатады.

 

 Y 


             w

                               а

X

                 O

z

 

 

z+w=aшартын ескеретін болсақ, О w a z–ромб, сүйір бұрышы 600-қа тең. z және w негізгі аргументтері х0, у0, ал а-ның аргументі .Онда . Жалпы аргументтерін жазамыз:

 

  1. cos3α–ны cosα-ға, sin3α-ны sinα-ға байланысты көпмүше түріне келтіру.

Шешуі. болсын. (1)   белгілі. Сонда cos3α – z3-нің нақты бөлігі: .

Екіншіден,

  (2)

  1. және (2) теңдіктерден

n-нің кез-келген мәнінде cosnα –ны cosα-ға, sinnα-ны sinα-ға байланысты көпмүшеге түрлендіруге болады. Тек i4k=1, i4k+1=i,  i4k+2=-1, i4k+3=-iшарттарын ескеріп отыру керек.

 

 

  1. Егер tgα=2 болса, tg5α-ның мәнін табу керек.

Шешуі. .                        (1)

  1. формуласына қойсақ,

 

  1. Параллелограмның үш төбесінің координаттары берілген. Төртінші төбесінің координаттарын табу керек.

Шешуі. Параллелограмның берілген үш төбесін z1, z2, z3 комплекс сандарына сәйкес деп алайық. Онда z4 комплекс санына сәйкес төртінші төбесі z1, z2, z3 төбелерінің біреуіне қарсы жатады. Сонда үш жағдайды қарастырамыз.

  1. z4 төбесі z1-ге қарсы жатады делік.Онда z1 төбесі координаттар басына сәйкес келетіндей нүктелерді параллель көшірейік. Сонда z2 нүктесі z2 - z1 нүктесіне, z3 нүктесі z3 - z1 нүктесіне,  z4 нүктесі z4 - z1 нүктесіне көшеді. Комплекс сандарды қосу ережесіне сәйкес

z4 - z1= (z2 - z1)+(z3 - z1), У


z4 - z1= z2 - z1+z3 - z1,

z4 = z2 +z3 - z1.        z2 - z1

  1. z4 төбесі z2-ге қарсы жатады десек,                                                 z4 - z1

 онда z4 = z1 +z3 - z2.

  1. z4 төбесі z3-ге қарсы жатады десек,      О                                     Х

 онда z4 = z1 +z2 - z3.

                                                                                                  z3 - z1

 

 

 

 

  1.  Параллелограмның А(0;3), В(4;7) және С(9;8) төбелері берілген. Д(х;у) төбесінің координаталарын табыңыз.

 

Шешуі.                                                  А(0;3)                                 В(4;7)  

Д(х;у) төбесі В төбесіне


қарсы жатады. Сондықтан

 х= 0 + 9 – 4= 5;

у= 3 + 8 – 7 = 4

  Жауабы: Д(5;4).                     Д(х;у)                              С(9;8)  

 

 

  1. Үшбұрыштың төбелерінің координаттары арқылы медианаларының қиылысу нүктесінің координаттарын қалай табуға болады?

 

Шешуі. Үшбұрыштың төбелерін z1, z2, z3 комплекс сандарына сәйкес болсын. z1 саны координаттар басына сәйкес келетіндей үш сандарды параллель көшірейік.

 

w1 -  z1   = (z2 – z1 + z3 – z1):2.

w -  z1   =((w1-  z1)/3)∙2=  (z2 – z1 + z3 – z1):2:3∙2=

z2 /3– 2z1/ /3+ z3 /3 .

 

Бұдан  w = z2 /3– 2z1/ /3 + z1+ z3 /3 = (z1+ z2+ z3)/3 .

                                                                                 z2-z1


 

 

 

                                                                                                    w1-z1

                                                                                     w-z1

 

                                                          0                                                 z3-z1

 

  1. Үшбұрыштың төбелері А(2;-1), В(4;2), С(3;5) болса, ауырлық центрінің координаттарын табу керек.

 

Шешуі.  X = (2+4+3)/3 = 3

Y = (-1+2+5)/3 = 2

Жауабы: (3;2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

 

Математикада шешімі жоқ  болатын алгебралық теңдеулердің түбірлері  сандар ұғымын кеңейту арқылы табылды. Сонымен сандар өрісі натурал  сандар жиынынан комплекс сандар жиынына  дейін кеңейді. Енді кез-келген алгебралық теңдеудің түбірін табуға болады. Олардың түбірлерінің саны үлкен  дәреже көрсеткішіне тең болады. Физика, картография т.б. ғылым салаларының  көптеген мәселелері алгебралық теңдеулерді  шешуге келіп тіреледі. Сондықтан  комплекс сандардың маңызы өте зор.

Сонымен комплекс сандар көптеген әр түрлі объектілерде: алгебралық тепе-теңдіктерді дәлелдеуде, алгебралық теңдеулерді шешуде, тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешуде, тригонометриялық өрнектің мәнін табуда, планиметриялық есептерді шешуде, тағы басқа көптеген мәселелерді шешуге қоданылады. Осы жұмыста солардың шешу жолдары көрсетіліп, және басқа жолдармен салыстырғанда тиімді болатыны дәлелденді.

Олимпиадалық, конкурстық есептерде  практикалық мағынасы бар алуан  түрлі есептерді шешу кезінде  комплекс сандарын қолданып оңай жұмысқа айналып отыр.

Комплекс сандарының математикада қолданылуымен қатар физикалық есептерді шығаруға да қолданылуын ашып көрсетуі ерекше назар аударады.

Аталған комплекс сандардықолданып, қызықты математикалық есептерді, олимпиадалық және конкурстық есептерді, сонымен қатар Ұлттық Бірыңғай Тестілеудегі кейбір есептерді тез шешуге болатындығына көз жеткізілді.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер

1. Г.И.Глейзер. История математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1970.

2. А.И.Маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Физматгиз.1960.

3. Г. Фройденталь. «Математика как педагогическая задача», ч. 2. – М.: Просвещение, 1982.

4. Энциклопедия элементарной математики. Т.1. – М: 1951


Информация о работе Математиканың дамуы барысында комплекс сандардың пайда болу тарихы