Математиканың дамуы барысында комплекс сандардың пайда болу тарихы

 

ІІ тарау. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану және олардың геометриялық мағынасы

 

1. Негізгі ұғымдар және комплекс сандарға арифметикалық амалдар қолдану.

 

Әрбір нақты сандар комплекс сан деп қабылдауға болады, себебі, үшін .

Комплекс сандар жиыны нақты сандар жиынының кеңеюі болып табылады: .

z=a+bi және =a–bi өзара түйіндес сандар деп аталады

z₁=a+bi және z₂=c+di cандары тең

Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады.

Комплекс сандардың көбейтіндісі комплекс сан.

z=z₁×z₂=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i.

Комплекс сандарға қолданылатын қосу және көбейту амалдарының қасиеттері:

А) z₁ +z₂= z₂ +z₁

Ә) z₁ z₂= z₂ z₁ (қосу мен көбейтудің ауыстырымдылық заңы, коммутативтілігі)

Б)  z₁ +(z₂ + z₃) =(z₁+ z₂) + z₃

В) z₁ (z₂ z₃) =(z₁ z₂) z₃ (қосу мен көбейтудің терімділік заңы, ассоциативтілігі)

Г) (z₁+ z₂) z₃= z₁ z₃ + z₂ z₃   (үлестірімділік заңы, дистрибутивтілігі)

Комплекс сандардың айырымы  мен бөліндісі z+ z₂ = z₁ және z z₂ = z₁ теңдеулерінің шешімі ретінде табылады.

Комплекс сандардың айырымы комплекс сан.

Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,

_{Сонымен, нақты сандар комплекс сандарының дербес жағдайы (b=0). Олармен нақты сандармен орындағандай барлық амалдарды, түбірден шығаруды да орындай беруге болады. Тек i²= -1 ескеріп отыру керек.}

 

2. Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.

 

Комплекс сандарды координат  жазықтығының көмегімен жазықтықтың  нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. тікбұрышты

ïzï

r=ïzï= .                            

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекс санның тригонометриялық түрі.

=r - комплекс санныңмодулі .

-комплекс санныңаргументі.

 

Модульдері тең комплекс сандармен анықталатын нүктелер центрі координаттар басында жататын радиусы сол комплекс сандардың модуліне тең болатын шеңбердің бойында жатады.

 

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға амалдар қолдану өте жеңіл.

Айталық,

z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁),

z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂) болсын.

Онда _{, яғни комплекс сандарды көбейткенде модудьдері көбейтіліп, аргументтері қосылады. Дәл осы сияқты бөлу амалы орындалады:}

_{Модудьдері бөлініп, аргументтері азайтылады.}

,  

Берілген комплекс санды i-ге көбейтудің  геометриялық

мағынасы сол санға сәйкес векторды –ге бұру

болып табылады.

_{У      z1z2  Y}

 

_z1

 zi

 

z₂ z

 X

Х

 

 

 

Комплекс санды дәрежелеу

Егер болса, онда дәреженің анықтамасына сәйкес (комплекс сандарды көбейту ережесін пайдаланып) мынадай теңдік аламыз: 

_{яғни  комплекс санды дәрежелеу  үшін сол көрсеткішке  модулін дәрежелеп, ал аргументін көбейтеді.}

Бұдан   теңдігі келіп шығады. Бұл - Муавр формуласы деп аталады.

 

Комплекс саннан n^ші  дәрежелі түбір табу.

 

Айталық, а=r(cos +isin ) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының  негізінде n- натурал саны үшін

яғни комплекс санды дәрежелегенде  оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

теңдігін пайдаланып, Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады. 

      a=a+bi комплекс  санын оң бүтін n дәрежеге шығару  үшін  Ньютонның биномын пайдаланған  орынды, тек 

ескерсек жеткілікті.

      Муавр формуласының  дербес түрін қарастырайық.

cos n

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

Мұндағы

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

теңдіктерін аламыз.

     Сонымен,  , мұндағы

k-ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.

Қортынды. Комплекс сандардан  n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.

 

Комплекс сандардың  қосындысы мен айырымының векторларға  сәйкестігі.

Комплекс санын жазықтықта нүктемен, сонымен қатар координаттар басынан сол нүктеге бағытталған  вектормен де кескіндеуге болады. Олай болса комплекс сандардың қосындысы  мен айырымын да кескіндеп көрсетуге  болады. Оларды қосу векторларды қосудың  параллелограмм ережесі бойынша, ал азайту векторларды азайту ережесі  бойынша іске асырылады. Сондықтан  екі комплекс сандардың қосындысына  сәйкес вектор олардың әр қайсысына  сәйкес келетін векторлардың қосындысына  тең болады. Қысқаша: комплекс сандарды қосу үшін оларға сәйкес векторларды  қосу керек. Дәл осы сияқты азайту орындалады.

 Y         Y

z₁                   z₁+z₂ z₁

    z₁-z₂

                  z₂ 

                       z₂                     X                                                            X

       O                                                          O

 

 

Бұдан , ал –берілген комплекс сандарға сәйкес нүктелердің ара-қашықтығы.

 

ІІІ тарау. Комплекс сандардың қолданылуы

Алгебраның негізгі  теоремасы

Комплекс сандары туралы мәліметтер алгебралық теңдеулерді  шешуге мүмкіндік береді. Мына түрдегі теңдеуді алгебралық теңдеу дейді:

a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + ... + a₁x + a₀ = 0.

Оның сол жағы қандай да бір f(x) көпмүшесі болады, ондағы x – айнымалы, an, a_n–1, a_n–2, ... a₁, a₀ – коэффициенттер (нақты немесе комплекс сандар), n – натурал сан. Егер a_n ≠0 болса, онда n-ші дәрежелі теңдеу болады, яғни теңдеудің дәрежесі айнымалының ең үлкен дәрежесіне сәйкес келеді.

f(x) = 0 теңдеуінің түбірі деп айнымалының орнына қойғанда дұрыс теңдік пайда болатындай қандай да бір t санын айтады. Бірінші дәрежелітеңдеудің ax + b = 0 (a ≠ 0) түбірі  Сонымен бірге ax² + bx + c = 0 квадрат теңдеуінің түбірлері төмендегідей формуламен анықталатындығы белгілі:

Мұндағы D = b² – 4ac – квадрат теңдеудің дискриминанты.Егер D = 0 болса, бұл түбірлер теңеседі.

Жоғарыда  xⁿ – 1 = 0 теңдеуінің шешімі болады және олардың саны теңдеудің дәрежесіне тең болатындығы айтылды. Бұдан мынадай сұрақ туындайды: барлық алгебралық теңдеудің комплекс сандар жиынында шешімі бола ма?

1799 жылы жас неміс математигі  К.Гаусс 5-ші және одан жоғары  дәрежелі теңдеулердің шешімі  болатынын дәлелдеген.  Гаусс  теоремасында нақты және комплекс  санды түбірі бар барлық алгебралық  теңдеудің  ең болмағанда бір  түбірі комплекс сан болатындығы  айтылған. Бұл теорема жоғарыда  қойылған сұраққа жауап береді  және алгебраның негізгі теоремасын  дәлелдейді: кез-келген   n-ші дәрежелі  алгебралық теңдеу  n сызықтық  теңдеулерге жіктеліп, n түбірі болады.

Бұны мысалдарда қарастырайық. x⁴ – 4 = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің сол жағы f(x)=x⁴ – 1 көпмүшесі. Алгебраның негізгі теоремасы бойынша ол 4 сызықтық көпмүшелерге жіктеледі:

f(x) = (x + 1)(x – 1)(x + i)(x – i).

Бұл жіктелуді теңдеуге қоятын болсақ: (x + 1)(x – 1)(x + i)(x – i) = 0 теңдеуі шығады. Енді әрбір жақшаны 0-ге теңестіру арқылы 4 түбірін аламыз:

x + 1 = 0, x₁ = – 1;  
x – 1 = 0, x₂ = 1;  
x + i = 0, x₃ = – i;  
x – i = 0, x₄ = i.

Сонымен бұл теңдеудің  дәл 4 түбірі бар.

Комплекс сандардың көмегімен  алгебраның негізгі теоремасы бойынша  n-й дәрежелі теңдеудің дәл n түбірі болады. Ал біз  n-й дәрежелі теңдеудің дәл n немесе одан кем  түбірі болады дейтінбіз.

            Теріс дискриминатты квадрат теңдеулерді шешу

і²=-1

екендігін білеміз.Сонымен  қатар

(-1)²=(-1*і)²=(-1)²*і²=-1.

Сонымен,-1-дің квадрат  түбірінің кем дегенде екі  мәні,атап  айтқанда i және –i болады. Мүмкін, квадраты -1 ге тең болатын  басқа да комплекс сандар бар шығар?

Бұл мәселенә анықтау үшін а+bi комплекс санының  квадраты -1 ге тең деп ұйғарайық.Сонда

(a+di)²=-1,

a²+2abi-b²=-1.

Екі компекс сан,олардың  нақты бөліктері және жорамал  бөліктерінің

коэффициенттері өз алдында  теі болған жағдайда, тек сол жағдайда ғана өзара тең болады.Сондықтан 

а²-b²=-1,

ab=0.                                 (1)

(1)системасының  екінші теңдеуіне сәйкес a мен b сандарының ең болмағанда біреуі нольге тең болуы керек. Егер b=0 болса,онда бірінші теңдеуден a²=-1 шығады .а-нақты сан, сондықтан . Теріс емес а² саны -1 теріс санға тең болуы мүмкін емес. Сондықтан бұл жағдайда b=0 болуы мүмкін емес . Олай болса, а=0 деп қана аламыз,сонда системаның бірінші теңдеуінен шығатыны : -b=-16b= 17

Демек,квадраты -1 ге тең болатын комплекс сандар : i және –i . Ол шартты түрде былай жазылады:

 

Тәсілмен қарастыра отырып , оқушылар квадраттары теріс санға  (-a) тең болатын дәл екі сан бар екенін көздерін жеткізе алады.Ол сандар және Ол шартты былай жазылады :

Мұндағы - арифметикалық түбір, яғни оң түбір; мысалы: сондықтан т.с.с.

     Нақты коэффициентті 3-дәрежелі екі мүшелі теңдеулер

                                             ax³=b

түріндегі теңдеулер солай  аталады,мұндағы а және b – нольден өзгеше кез келегн нақты сандар. Мұндай теңдеулердің шешуін дербес мысалдарды қарастыру арқылы түсіндірейік.

1-мысал. х³=8 теңдеуін шешу керек. Бұл теңдеуді х³-8=0 түрінде қайта жазайық. Кубтардың айырмасы формуласын пайдаланып мынаны табамыз(x-3)(x²+2x+4)=0. Егер х-2=0 болса,онда x=2; ал егер х²+2х+4=0

болса, онда x=-1                                           

Сонымен, берілген теңдеудің  үш түбірі бар, олардың ішінде нақты  түбірі біреу х=2.

4-дәрежелі теңдеулерді  шешу

 

ах⁴=b түріндегі теңдеуді қарастырайық, мұндағы а және b –нольден өзге кез-келген сандар. Мұндай теңдеулердің шешуін дербес мысалдарды қарастыру арқылы талдайық.

1-мысал. х⁴=16 теңдеуін шешу керек. 

х⁴ – 16 =(х-2)(х+2)( х² + 4).

Бұдан х₁ =2, х₂=-2, х₃=2і, х₄=-2і.

2-мысал. х⁴= -16 теңдеуін шешу керек.

Нақты сандар облысында бұл  теңдеудің түбірі болмайды,өйткені  кез келген нақты санның жұп дәрежесң теріс сан болмайды.Ал компекс  сандар облысында бұл теңдеудің әр түрлі төрт түбірі болатынын көрсетейік.

Бұл теңдеуді мына түрде  қайта жазайық:

x⁴+16=0

x⁴+16 өрнегін х⁴ және 4 сандарының квадратының қосындысы деп қарастыруға болады.Бұл қосындыны дәл квалратқа дейін толықтырып,мынаны табамыз:

х⁴+16=х⁴+16+2*4*х²-2*4*х²=(х²+4)²-8х².

Енді екі санның квадратының  айырмасы жайындағы формуланы пайдаланайық:

(x²+4)²-8x²=(x²+4+ ^₂)(x+4- ^₂)=

=(x²+2 +4)(x²-2 +4).

Сонымен,

x²+16=(x²+2 +4)(x²-2 +4).

_{Сондықтан х⁴=-16 теңдеуін мына түрде жазуға болады:}

(x²+2 +4)(x²-2 +4)=0

Егер x²+2 +4=0 болса,онда х_1,2=- _не

_{х1=- ,}

х₂=- _;

_{ал егер}  x²-2 +4=0 болса,онда  х_3,4= _не

х₃=

х₄=

_{Біз х⁴=-16 теңдеуінің төрт түбірін таптық.Олардың ішінде бірде-бір нақты түбір жоқ.}

 

Тепе-теңдікті дәлелдеңіз:

(a² +b²)(c²+d²) = (ac –bd)² +(ad + bc)².

Дәлелдеу. z=a+bi, w=c+di комплекс сандары болсын.

_{Дәлелденді.}

1. Теңдеулер жүйесін шешіңдер: _.

_{Шешуі.   алмастырулар жасаған соң, бірінші теңдеуді і-ге көбейтіп, екінші теңдеуге қосайық:}