Математиканың дамуы барысында комплекс сандардың пайда болу тарихы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

АЛМАТЫ ОБЛЫСТЫҚ БІЛІМ ДЕПАРТАМЕНТІ

ҚАПШАҒАЙ ҚАЛАЛЫҚ  БІЛІМ БӨЛІМІ

 

 

 

 

 

 

Қапшағай қаласы

«Орта мектеп – гимназия мектепке

дейінгі шағын орталығымен»

мемлекеттік мекемесінің

11 «Ә» сынып оқушылары

Сатыш Назар, Отар Гүлмира

 

 

 

 

 

КОМПЛЕКС САНДАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

 

 

 

 

Бағыты                                                  Экономикалық және әлеуметтік     

                                                               процестерді математикалық 

                                                               модельдеу

 

Секция                                                   математика

 

Жетекшісі                                             Темірбаева Анар Сержанқызы,

                                                               «Орта мектеп – гимназия мектепке 

                                                               дейінгі шағын орталығымен»

                                                               мемлекеттік мекемесінің

                                                               математика пәні мұғалімі

 

 

 

 

 

ҚАПШАҒАЙ

2012-2013 оқу жылы

 

АСТРАКТ

Математиканың кейбір есептерін нақты сандар жиынында шешу өте қиынға соғады немесе шешімі жоқ деп жатады. Сонымен бірге физика мен техниканың көптеген есептері теріс дискриминанты болатын квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Бұл теңдеулердің нақты сандар жиынында шешімі болмайды. Бірақ бұндай есептерді шешудің қандайда бір физикалық мағынасы болады. Осындай есептердің шешу жолдарын айқындайтын және маңыздылығын дәлелдейтін «Комплекс сандар және олардың қолданылуы» тақырыбындағы бұл жұмыстың мақсаты: комплекс сандарды пайдаланып, түрлі есептерді тиімді және оңай шешу тәсілдерін табу арқылы олардың қолданылу аясын мейлінше кеңірек ашу.

Бұл мақсатқа жету үшін келесі міндеттер қойылған:

• комплекс сандар теориясын оқып үйрену,
• комплекс сандарының қолданылу мүмкіндіктерін кеңінен қарастыру,
• комплекс сандардың көмегімен шығарылатын тапсырмаларды жинақтау және жүйелеу.

Математикада бәрімізге  жақсы белгілі нақты сандардан  басқа жорамал – комплекс сандардар  да қарастырылады. Ол сандар өте ерекше және киын болып көрінгенімен оған нақты сандармен жасалатын амалдар  үшін қажетті математикалық білімнен артық білім қажет емес. Осы жұмыста теңдеуді шешуге комплекс сандарының қолданылуына ерекше көңіл бөле отырып, оңай шешу жолы ашып көрсетілген. Сонымен қатар жұмыста қарастырылған тригонометриялық есептерді шешуде комплекс сандарды пайдалану тәсілдерінің тиімділігі өте жақсы көрсетілген.

Комплекс сандарының математикада қолданылуымен қатар физикалық есептерді шығаруға да қолданылуын ашып көрсетуі ерекше назар аударады.

Бұл жұмыстың құндылығы –  комплекс сандарды қоданып, олимпиадалық және конкурстық есептерді, мектеп бағдарламасының тригонометриялық және геометриялық есептерін оңай шешуге болатындығын дәлелдеуінде.

 

 

 

 

 

 

АСТРАКТ

Некоторые задачи математики трудно решить, оставаясь в рамках теории действительных чисел . Также многие задачи физики и техники сводятся к решению квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, которые не имеют корни в области действительных чисел. Но решение таких уравнений имеет некоторое физическое значение. В данной работе приводятся методы решения подобных задач, целью которой является:нахождение оптимальных методов решения задач с помощью комплексных чисел, как можно шире раскрыть область его применения.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

• изучение теории комплексных чисел;
• рассмотреть все возможные области применения комплексных чисел;
• систематизировать задачи, решаемые с помощью применения комплексных чисел.

В математике кроме действительных чисел также рассматриваются  известные нам мнимые числа, которые  называются комплексными. Хотя они необычные, таинственные и кажутся сложными, строгое определение комплексных чисел и правил обращения с ними требует значительно меньшего уровня математических знаний, чем построение понятия действительного числа.  В данной работе рассмотрены ряд задач, в которых эффективно используются комплексные числа. Эти задачи могут быть решены и без привлечения комплексных чисел, но для их решения требуются более сложные рассуждения и вычисления, чем при применении комплексных чисел.

Также в работе приведены  примеры применения  комплексных чисел не только в математике, но и в физике.

Ценность работы в том, что она доказывает простоту и  эффективность применения комплексных чисел при решении занимательных математических задач, олимпиадных и конкурсных задач, а также некоторых тригонометрияческих и геометрических задач школьного курса.

 

 

 

 

 

 

 

 

МАЗМҰНЫ

 

 

КІРІСПЕ   . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

І. Математиканың  дамуы барысында комплекс

сандардың пайда  болу тарихы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6

ІІ. Комплекс сандар және оларға амалдар қолдану.

Комплекс сандардың  геометриялық мағынасы

       2.1. Негізгі ұғымдар және комплекс сандарға амалдар қолдану. . . . . .8

       2.2. Комплекс сандардың геометриялық кескіні.

              Тригонометриялық түрі.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

       2.3. Комплекс сандарды дәрежелеу және түбірден шығару.  . . . . . . .11

       2.4. Алгебралық амалдардың геометриялық мағынасы.  . .  . . . . . . . .12

ІІІ. Комплекс сандардың қолданылуы.

       3.1. Алгебралық теңдеулерді шешу.   . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13

       3.2. Алгебралық тепе-теңдікті дәлелдеу.   . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .16

       3.3. Комплекс сандарды тригонометрияда қолдану.   . . . . . . . . . . . . .17

       3.4. Комплекс сандарды геометрияда қолдану.   . . . . . .  . . . . . . . . . . 19

 ҚОРЫТЫНДЫ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

Алгебралық теңдеулер  және оларды шешуге байланысты мәселелер мектеп курсында маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Математикада натурал сандар жиынында шешімі болмайтын теңдеулердің шешімін рационал сандар жиынында тауып жатамыз. Сол сияқты кейбір теңдеудің шешімі рационал сандар жиынында табылмай нақты сандар жиынында табылып жатады. Мысалы, х² =3 теңдеуінің рационал сандар жиынында шешімі жоқ, иирационал сандарды білмеген кезде түбірі жоқ деп жауап беретін болдық. Ал шындығында оның түбірлері бар, түбірлері . Бұл сандарды түсінуге қиын болып көрінгенмен, ұзындығы -ге тең болатын кесіндінің бар екеніне көзіміз жетті. Сонымен қатар осы иррационал сандардың көмегімен математикалық есептер ғана емес, техниканың, физиканың т.б. есептері оңай шығарылады. Сондықтан сандар ұғымы әрдайым кеңейтіліп отырды. Ал х² = - 3 теңдеуінің түбірі нақты сандар жиынында жоқ. «Математика неге математикалық операциялар нәтижесінде туындаған теңдеуді шеше алмайды?» деген заңды сауал туындайды. Бұл сұраққа жауап беру үшін сандар өрісін тағы кеңейтуге тура келеді.

N – натурал сандар,  Q – рационал  сандар,  R – нақты сандар, І  – комплекс сандар жиыны.

 

І

 

х² +1=0 квадрат теңдеуін қарастырайық. Бұдан х² = -1. Яғни берілген теңдеудің түбірі х квадраты -1-ге тең сан болып отыр. Ол санды і жорамал бірлік деп атайды. Сонда і² = -1, і = . Теңдеудің жауабы х= і.

х² -8х+25=0 квадрат теңдеуін қарастырайық. Оның түбірлерін былай жазуға болады:   .

түріндегі сандар комплекс сандар деп аталады. Жалпы түрде а+bi деп жазылады. Мұндағы а, b-нақты сандар, а- комплекс санның нақты бөлігі, bi –комплекс санның жорамал бөлігі, ал b-жорамал бөлігінің коэффициенті деп аталады.

Ол сандар өте ерекше және киын болып көрінгенімен оған нақты  сандармен жасалатын амалдар  үшін қажетті математикалық білімнен артық білім қажет емес. Осы жұмыста теңдеуді шешуге комплекс сандарының қолданылуына ерекше көңіл бөле отырып, оңай шешу жолы ашып көрсетілген. Сонымен қатар жұмыста қарастырылған тригонометриялық есептерді шешуде комплекс сандарды пайдалану тәсілдерінің тиімділігі өте жақсы көрсетілген.

 

І ТАРАУ. Математиканың дамуы барысында комплекс сандарының пайда болу тарихы

Комплекс сандар теріс сандар сияқты математиканың ішкі қажеттілігінен пайда болды нақтырақ айтқанда алгебралық теңдеулерді шешу теориясы мен практикасынан  қажеттілігінен туындады. Ең алғаш  комплекс сандармен математиктер квадрат  теңдеуді шешу кезінде кездесті. ХVI ғасырға дейін дүниежүзі математиктері  комплекс сандар ұғымын дұрыс түсіндіре  алмай оларды жалған сандар деп қолданбаған. Квадрат теңдеуді шешу тарихы Ежелгі Вавилоннан басталады. Бірақ олар оң түбірлерін ғана таба алған, нақты шешу жолын білмеген. Индус Брахмагупта (VII в.) квадрат теңдеуді шешудің жалпы әдісін ұсынған. Аль-Хорезми (IX в.) сызықтық және квадрат теңдеулердің классификациясын жасап, оларды шешу тәсілдерін көрсеткен. Бірақ ол да ноль және теріс түбірлерін қарастырмаған. Квадрат теңдеудің түбірлерінің жалпы формуласын Виет (XVI в.) қорытып шығарған. Бірақ ол да тек оң түбірлерін ғана тапқан. Тек  ХVI ғасырда итальяндық математиктер Тарталья, Кардано, Бомбелли оң түбірлерінен басқа теріс түбірлері бар екендігін ескереді. XVII ғасырда Жирар, Декарт, Ньютон және тағы басқа математиктердің еңбектерінің арқасында квадрат теңдеуді шешудің қазіргі жолы ашылады.

3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулерді  шешу жолын итальяндық математиктер  Тарталья, Кардано және т.б. тапқан. 5-ші және одан да жоғары  дәрежелі теңдеулерге байланысты тек ХIX ғасырдың 20-шы жылдары ғана норвегиялық жас математик  Нильс Абель бұндай теңдеулердің түбірлері 4 арифметикалық амалдар және түбірден шығарудың көмегімен табу мүмкін еместігін дәлелдеген.

Кардано 3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулермен айналысып жүріп, алғаш  рет комплекс сандарды қолдануды  ұйғарған. Сонда да олар оған түсініксіз көрінді.  Комплекс сандардың мағынасын  итальяндық математик Р.Бомбелли түсіндірді.

Комплекс сандар математикада ХVI ғасырда 3-ші дәрежелі алгебралық теңдеулерді шешуге байланысты, кейінірек 2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуге байланысты пайда болды. 1545 жылы итальяндық алгебраист Джироломо Кардано табиғаты жаңа сандар енгізуді ұсынды. Ол теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі жоқ, бірақ әрқашан шешімі бар. Мұндағы деп алгебраның ережесі бойынша қабылдау қажет екенін айтқан.

1572 жылы итальяндық алгебраист  Рафаэль Бомбеллидің осындай  сандармен орындалатын амалдардың  алғашқы ережелерін жазған кітабы  жарық көрді. «Жорамал сандар»  деген атауды 1637 жылы француз  математигі және философы Рене  Декард енгізсе, 1777 жылы VIII ғасырдың  атақты математиктерінің бірі  Леонард Эйлер і²=-1 болатын і жорамал бірлігін енгізді.

Комплекс сандар кез-келген квадрат теңдеуді (Д<0 болса да), 3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулерді  шешуге мүмкіндік береді. ХVI ғасырдың математиктері ХІХ ғасырдың басына дейін комплекс сандарға сенімсіздікпен қарады. Оларды «жалған», ойдан шығарылған сандар деп атады. Ал Лейбниц бұл сандар «керемет , ғажап» сандар, -ді тосын дүниенің белгісі деп атап, өз зиратына ойып жаздыртуды аманат еткен.

Бірақ бұндай сенімсіздікке  қарамастан комплекс сандарды қолдану  көптеген қиын мәселелерді шешуге көмектесті. Сондықтан сол заманнан бері комплекс сандардың математикадағы маңызды  өте зор. Ең бірінші олар алгебралық теңдеулер теориясына енді.

Комплекс сандардың логикалық  қатаң теориясын жасаған ХІХ  ғасырда (1835ж) ирландиялық математик  Вильям Роу мен Гамильтон болды. Гамильтонның ұйғарымы бойынша комплекс сандар – ол төмендегідей қосу мен көбейту амалдары анықталған z=(x,y) нақты сандар жұбы:

(x₁,y₁) + (x₂,y₂) =(x₁ + x₂, y₁ + y₂);   (1)

(x₁,y₁) • (x₂,y₂) =(x₁ x₂ - y₁ y₂, x₁ y₂ + x₂ y₁)    (2)

Мұндағы х және у комплекс санның нақты және жорамал бөлігі деп аталады.

z₁ =(x₁,y₁) және  z₂ =(x₂,y₂) екі комплекс сандар тең деп аталады, егер x₁ =x₂, y₁= y₂ болса.

ХІХ ғасырда комплекс сандардың  жазықтықтағы нүкте және жазықтықтағы вектор арқылы көрнекті геометриялық кескіні пайда болғаннан кейін  жаратылыстанудың, әсіресе гидро-, аэродинамиканың, электротехниканың, геодезия мен картографияның көптеген есептері осы сандардың  көмегімен шешім таба бастады.  Содан бері комплекс сандар нақты  сандар сияқты маңызды бола бастады.