Математика и живопись

 
 

 
МІФОЛОГІЯ

 
Скандинавські міфи. Покарання Альберіха. Дві нескінченні, стискальні і наточені як бритви золоті стрічки. Відоме «прокляття Альберіха», надіслане їм услід вкраденому у нього золотого кільця - кільцю Нібелунга. Це прокляття зрештою повертається до Нібелунга як бумеранг. Походження імені Нібелунга неясно. Згідно з однією з версій, в основі лежить nebulones - туманні (німецьке Nebel - туман). Вважалося, що Нібелунги - жителі гір, підземель, мороку і туманів. Не дуже зрозуміла також належність скарбу, що охороняється Нібелунгів. За деякими версіями ці скарби належать світлим богам, а за іншими - самим Нібелунгам.

 

2.2.  МАТЕМАТИКА: Поверхня рівня складних гладких функцій

Поверхня  рівня функції - це безліч точок, де значення функції дорівнює деякій фіксованій сталій. Зображена поверхня має багато особливих точок. Вони розташовані, в основному, на кінцях гострих «дзьобів», що виростають з поверхні.Чудово, що весь цей хаос особливостей може з'явитися навіть у тому випадку, коли вихідна функція є поліномом. Правда, у такому випадку він повинен мати достатньо велику ступінь.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Скандинавські середньовічні міфи. Храм богині землі Ерди, висічений з монолітної скелі. Богослужіння перед храмом, що відтворює коріння світового древа. У цих коренів живуть норни - богині долі, віщунки. У «Проріканні вельви» пророчиця згадує дев'ять світів. У коренів світового дерева живе змій Нідхьог. Вище піднімається стовбур, на вершині якого - орел, а на середньому рівні - чотири оленя, поїдають листя дерева життя. Провісниці-норни визначають долі богів. Перед кінцем світу бог Одін спускається в підземне царство і, пробудивши вельву від сну, змушує її дати пророцтво про долю богів. Богиня повідомляє йому про прийдешню катастрофу, приводячи Одіна в заціпеніння і знову поринає в небуття.

 
2.3.  МАТЕМАТИКА: Функції Морси та теорема про Ейлерові характеристики

Показаний типовий графік гладкої функції, всі критичні точки якої невирождені. Такі функції називаються функціями Морса. Ці функції типові в просторі всіх гладких функцій. А саме, будь-яка гладка функція шляхом як завгодно малої деформації може бути перетворена в функцію Морса. Критичні точки розрізняються за їх типами: мінімуми, максимуми і сідла (сідлові точки). Всі ці типи точок можна побачити, вивчаючи фотографію гірського пейзажу. Піки гір - це максимуми функції, западини - це мінімуми, а гірські перевали - це сідла. Кількість і тип критичних точок функції значною мірою визначає топологію того простору, на якому функція задана.Вивчення цього зв'язку складає предмет теорії Морса. Глядач бачить гірський рельєф острова в океані. Рельєф може бути як завгодно складний. Припустимо, для простоти, що на березі океану немає критичних точок функції, тобто що прибій перетворив прибережну смугу суші в похилу поверхню, згладивши на ній всі опуклості і заповнивши піском всі западини. Обчислимо число A гірських піків на острові (тобто максимумів функції висоти), число B западин (тобто мінімумів) і число C перевалів (тобто сідел). Побудуємо число A-С + В. Воно називається ейлеровою характеристикою поверхні. Виявляється, для будь-якого острова, гомеоморфного колу (тобто такого, всередині якого немає озер), це число завжди дорівнює 1.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Виверження вулкана - настільки вражаюче видовище, що стародавня людина природно обожнює це грізне явище природи. Міфи північних народів згадують про створення світу в результаті виверження підводного вулкана, який зародився в надрах світового океану, скутого товстим нерухомим льодом. Полум'я зламало лід, освітило всесвіт і з-під води піднялася земля.

 
 
 
 
 
 
 

Розділ 3.  ОБРАЗИ У ВАРІАЦІЙНОМУ ЧИСЛЕННІ

 
3.1.  МАТЕМАТИКА: Теореми  існування глобально  мінімальної поверхні

Мінімальні  поверхні - це поверхні найменшої площі (або об'єму в багатовимірному випадку). Їх фізичною моделлю служать межі розділу двох фізичних середовищ, що знаходяться в рівновазі. Наприклад, мильні плівки, що затягують замкнуті дротові контури (коли їх виймають з мильного розчину), є мінімальними поверхнями. Відома гіпотеза Плато у варіаційному численні стверджує, що на будь-який «контур» завжди можна натягнути поверхню найменшої площі. Або найменшого обсягу, якщо мова йде про багатовимірні поверхні. Для двовимірних поверхонь ця проблема Плато була вирішена в першій половині ХХ століття. Для загальних багатовимірних поверхонь повне рішення поки відсутнє. Однак доведені глибокі теореми, які успішно вирішують проблему Плато для спеціальних класів поверхонь. Малюнок показує один з центральних етапів у доказі багатовимірної проблеми Плато в класі так званих «гомологічних поверхонь». При мінімізації площі (обсягу) поверхні може статися, що з неї виростають «тонкі вуса». Вони практично не впливають на площу (або об'єм) поверхні, проте істотно спотворюють її метричні властивості і характер розташування поверхні в просторі. Добре видно, що ці «вуса» можуть бути примхливими, і їх поява може «зіпсувати» процес. Щоб цього не сталося, доводиться «зрізати», «збривати» вуса. Акуратне математичне оформлення цієї ідеї і становить один з найбільш нетривіальних моментів доказу.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Атлант - титан, брат Прометея, що відрізнявся  величезною силою. Після поразки титанів в останній битві з Зевсом, Атлант в покарання був змушений підтримувати на своїх плечах небесне склепіння на крайньому заході, поблизу саду Гесперид. Геракл здобув золоті яблука з цього саду за допомогою Атланта, який сходив за ними, переклавши на Геракла свою ношу. Повернувшись, Атлант відмовився знову взяти на себе звід. Але був обманутий Гераклом, який попросив Атланта хоча б на час потримати звід, поки Геракл не зробить собі подушку, щоб пом'якшити тягар неба. За однією з версій Персей перетворив Атланта в скелю, показавши йому голову Горгони.

 
 
 
 
 
 
 

3.2.   МАТЕМАТИКА: Дискретні групи, породжені відображенням

Показана  система «дзеркал» в тривимірному просторі, відображення відносно яких утворюють дискретну групу. Цей клас груп (існуючих і в багатовимірних просторах) відіграє важливу роль в геометрії, математичної фізики. Наприклад, опис спеціального класу таких груп дає класифікацію всіх простих груп Лі. Так як кожне дзеркало (тобто гіперплощина, що проходить через початок координат) однозначно задається своїм вектором одиничної нормалі, то всі властивості групи, породженої відображеннями, можна сформулювати у термінах векторів-нормалей до дзеркал. Цікаві групи, породжені відбитками в дзеркалах, розташованих в багатовимірному просторі Лобачевського. У деяких випадках фактор-простір простору Лобачевського по дії такої групи є компактним гіперболічним різноманіттям кінцевого об'єму. Дослідження таких різноманіть - актуальна проблема сучасної гіперболічної геометрії.

 

 
МІФОЛОГІЯ

 
Нібито, серед «давньо»-єгипетських  храмів був «дзеркальний храм», усередині  якого всі стіни, стелі і т. п. були зроблені з дзеркал. Він використовувався для випробування жерців. Під дією спеціального заклинання душа випробуваного покидала тіло і починала мандрувати по храму, нескінченно відбиваючись в тисячах дзеркал. Зворотний шлях душа могла знайти лише в тому випадку, якщо боги вирішували, що вона - чиста. Інша асоціація - райський сад, гігантська квітка в саду Едему. У цьому саду - фантастичні рослини, храми, Золотий і Срібний міста. Матеріали, з яких збудований Рай, світлоносного. Вони уподібнюються то чистого золота, то прозорого скла, то кристалів, то самоцвітів. Храм побудований у вигляді квітки мандрагори. Вважалося, що ця квітка зберігає збуджуючу силу, викликає любовний потяг. У той же час його називали «свічкою диявола» (нібито, світиться по ночах у визначені дні), «квіткою відьми». У середні століття процвітала індустрія виготовлення підроблених мандрагорових коренів - найважливішої частини рослини.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.3.  МАТЕМАТИКА: Теорема Пуассона-Лапласа і принципи Плато

 

Двовимірна  поверхня, що розділяє дві фізичні середовища (наприклад, газ-газ, газ-рідина або рідина-рідина), називається поверхнею (межею) розділу середовищ. Якщо фізична система знаходиться в рівновазі, то відома теорема Пуассона-Лапласа стверджує, що поверхня розділу є поверхнею постійної середньої кривизни. При цьому кривизна пропорційна різниці тисків у дотичних середовищах. Важливий приклад - це мильні бульбашки, і мильні плівки. Або, більш загально, мильна піна, що утворюється при збиванні мильного розчину. Сусідні мильні міхури можуть утворювати сингулярні ребра, прагнучи вдавитися один в одного. Ребра складаються з сингулярних точок мильної поверхні. Вони можуть утворювати складну просторову структуру. Згідно з одним із принципів Плато, на одному сингулярному ребрі можуть (стійко) зустрічатися лише три аркуші мильної плівки. Причому листи зустрічаються під рівними кутами в 120 градусів. У сингулярної вершини можуть сходитися лише 4 сингулярних ребра. І теж - під рівними кутами.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Виверження вулкана в океані. Вибух розжареного газу, що розростаються кулі вогню. Створення пекла, гієни вогненної. Данте зафіксував одну з середньовічних точок зору, згідно якої в пеклі протікають річки античного Аїда, що зливаються в єдиний потік. Він перетворюється в центрі землі в величезне крижане озеро Коцит. Харон - перевізник душ померлих через річку Стікс. У самому центрі крижаного озера (збігається з центром всесвіту) в товщу льоду вмерзнув Люцифер, верховний диявол, терзає «головних грішників». Вдалині - пульсуюча вогненна паща, час від часу вивергає пекельне полум'я. Ця мальовнича картина справляла глибоке враження на людей. Деталі цієї картини розроблялися в пізньо-середньовічної літератури, живопису та богослов'ї з винятковою увагою.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Розділ 4. ОБРАЗИ В ТЕОРІЇ РІЗНОМАНІТТЯ

 

4.1.  МАТЕМАТИКА: Розшарування простору

Зображено дотичне розшарування до кола з однієї кутової  крапки. Базою розшарування є коло, вкладене в двовимірну площину і має одну особливу точку,  де дотична  до кола не визначена. Шари  розшарування  це дотичні.  Дотичне розшарування до кола гомеоморфне двовимірному циліндру.

 
МІФОЛОГІЯ

 
«Старовинна»-грецька  легенда.  Завойовники захопили храм  і, накидаючи мотузку в петлі на розставлені вздовж стін  храму величезні кам'яні статуї, стали скидати їх наземлю.  І раптом одна із статуй  заговорила. Перелякані  солдати  кинулися врозтіч.

 

4.2.  МАТЕМАТИКА: Білліард ергодичності

Теорія  більярд вивчає поведінку ідеальної  кулі, що рухається всередині якоїсь області і відбивається від її межі (тобто від «стінок») за правилом: «кут падіння дорівнює куту відбиття». Рух кулі залежить від форми області. Особливо цікава «гранична картина», коли куля рухається «нескінченно довго». У цьому випадку траєкторія кулі починає «замітати» дану область, покриваючи її все більш ускладнюється сіткою пересічних ліній. Якщо фіксувати послідовні положення котиться кулі через рівні проміжки часу (скажімо, через кожні 0,01 секунди), то область почне «заповнюватися кулями». Автор зобразив (у вигляді чорних куль, які перетинають поле зліва направо) послідовні положення обертання кулі. Різні ділянки області заповнюються кулями, взагалі кажучи, нерівномірно. На передньому плані видно, що подекуди кулі розподілені щільно, а в деяких областях їх мало.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Давня усипальниця воїнів. Воїна, полеглого в битві, клали в повному його бойовому вбранні і озброєнні на величезній кам'яній кулі (міфи Атлантики). Ніхто і ніколи потім не торкався до тіла. У результаті кулі покрили гірське плато, вхід на яку був потім заборонений.

 

4.3.  МАТЕМАТИКА: Більярд, клітинні комплекси

Розвивається тема більярд. Крім того, ілюструється ідея склеювання клітинних комплексів з куль різних розмірностей.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Одного разу  жерці  неправильно  вчинили ритуал  поклоніння богам, який прилетів в образі кам'яних куль до храму. Розгнівані боги назавжди покинули країну.

 

 Кам'яні  кулі звалилися з неба на землю. Деякі з них розкололися і  їх  уламки  залишилися безмовними пам'ятниками серед пустелі, в яку  перетворилася колись квітуча країна.

 
4.4.  МАТЕМАТИКА: Кривизни і кручення

 

Бивні скам'янілого чудовиська-мамонта зображують  трубчасті околиці двох кривих у тривимірному просторі. У кожній точці кривої визначені два її інваріанта - кривизна і кручення. Для зображених кривих обидва ці інваріанта  відмінні від нуля. У кожній точці поверхні  визначені  гауссова і середня кривизни. Є простий зв'язок між інваріантами  гладкої кривої і інваріантами двовимірної межі її трубчастої  околиці. В геометрії цей зв'язок називається  так званою  теорією трубок.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Скельний храм на честь бога-слона.  Перед полюванням мисливці приходять до храму, просячи пробачити  їх за майбутні жертви.  Кафри Амакоса, перш ніж напасти наслона, криками просять у нього вибачення за вбивство, яке вони готуються зробити. Вони запевняють слона у своєму вшануванні до нього і пояснюють, що їм потрібні його бивні, щоб зробити намисто та інші прикраси. Убивши слона, вони закопують вземлю шматок його  хобота і фігурки із слонової кістки. Таким шляхом вони розраховують відвернути нещастя, яке інакше неминуче обрушилося б на них.