Математика и живопись

МІФОЛОГІЯ

 
У середні ХХ століття подекуди існувала заборона на носіння кілець і вузлів. Деякі народи, - наприклад, індуси, - знаходили чудовий вихід. На руку надягали браслети у вигляді незамкнутих спіралей. І не кільце, і не вузол, і красиво. Полінезійський жрець під час свята іноді виходив зі змією, що обвилася навколо руки по спіралі.

4. МАТЕМАТИКА: Розшарування простору

Розшарування - одне з найважливіших понять сучасної топології. Такий простір представляється у вигляді об'єднання шарів, тобто таких підпросторів, які «схожі один на одного». Наприклад, гомеоморфні якомусь одному фіксованому простору. Далі, вони повинні бути «параметризовані» точками іншого простору, званого базою розшарування. Тому розшарування можна «спроектувати» на базу. На малюнку шари зображені у вигляді повторюваних людських фігур. Шари розшарування можуть бути влаштовані надзвичайно складно. Розшарування називається локально тривіальним, якщо прообраз будь-якого достатньо малого «шара» бази (при проекції) є прямим образом «шара» на шар.

МІФОЛОГІЯ

 
Зображена одна з поз йогі, призначена для врівноваження духу.Середньовічна легенда про Голема - пожвавлюється магічними засобами глиняному велетні. Вважали, що можна виліпити з глини фігуру десятирічної дитини й оживити її спеціальним заклинанням. Фігура швидко росте, досягає велетенського розміру та нелюдської потужності. Вона слухняно виконує доручену їй роботу. Втім, якщо вимовити неправильне заклинання, чудовисько може вийти з-під контролю і знищити свого творця. Легенди вважають творцем Голема рабина Льова (XVI-XVII століття).

 

5.  МАТЕМАТИКА: Топологічний ЗООПАРК

 

Зображені цікаві двовимірні поліедри, що виникають  в топології, геометрії, теорії мінімальних  поверхонь і дозволяють наочно продемонструвати нетривіальні математичні теореми. 
Справа вгорі глядач бачить гумористичну сценку. «Ожилий поліедр» розвалюється на свої складові частини - раковини (скорпіони). Вигнутий до голови хвіст «скорпіона» наочно моделює конструкцію поліедра. Добре видно - як саме потрібно склеювати «раковини», щоб відновити весь поліедр. 
Показано вивертання навиворіт двовимірного тора, в якому виконана дірка (тобто вирізаний маленький диск). Виявляється, якщо вивернути такий продірявлений тор навиворіт (за допомогою гомеоморфізму в тривимірному просторі), то в результаті знову вийде тор з діркою. Однак при цьому паралель і меридіан початкового тора поміняються місцями. Іншими словами, внутрішня поверхня тора стане зовнішньою, а зовнішня - внутрішньою. Зліва внизу (в тіні колони) лежить «намисто Антуана» - відомий об'єкт в загальній топології. Поруч (на освітленому майданчику) - мінімальна поверхня (мильна плівка). Її межею є коло, яке володіє тим чудовою властивістю, що плівка може бути неперервно відображена на свію межу, і при цьому межа залишиться нерухомою.Цей приклад Дж.Ф.Адамса дивний тим, що двовимірна поверхня моделюється стійкою мильною плівкою, затягує дротяний контур в тривимірному евклідовому просторі. Видно, що ця мінімальна поверхня виходить склейкою звичайного листа Мебіуса з так званим потрійним листом Мебіуса. 
У центрі залу показаний 2-адичний соленоїд - топологічний об'єкт, докладніше про який буде розказано далі.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Цікаве ведмеже свято, що влаштовується айнами - народністю острова Йезо, а раніше - на острові Сахалін. Айни, хоча і вбивали ведмедя при першій нагоді, при обробленні туші намагаються заспокоїти божество, представника якого вони вбили, за допомогою цілої системи прохальних обрядів. Вони сідають навколо звіра, кланяються йому, дарують подарунки. Якщо ведмідь потрапив у пастку і поранився, мисливці справляють спокутний обряд. Багато айнів пишаються тим, що походять від ведмедя. Три жерця спостерігають за правильністю виконання обрядів.

 
1.6.   МАТЕМАТИКА: Теорема  про симпліціальну  апроксимацію 

Вона  грає важливу роль в топології, оскільки дозволяє шляхом безперервної деформації перетворювати будь неперервне (а тому, мабуть, дуже складне) відображення поліедрів - в сімпліціальне відображення, влаштоване локально досить просто. Зображено один із центральних моментів доказу цієї теореми. Ідея в тому, що спочатку досить малим ворушінням в просторі-образі очищається невелика область, наприклад, внутрішність якогось малої кулі. Потім відображення деформується так, що образи симплексом «видавлюються» в підполіедр, утворений із симплекса такої ж розмірності або менших розмірностей.

 
 

 
МІФОЛОГІЯ

 
Широко поширений мотив викрадення дівчини драконом, яку потім звільняє безстрашний герой, який перемагає чудовисько і винагороджуємий любов'ю полонянки. Міф зазвичай розповідав про дракона, що вимагала дівчат у якості щорічної данини. Мотив битви героя-змієборця зі змієм отримав широке поширення у фольклорі, середньовічної літератури. Найбільш яскраво він втілився в легендах про святого Георгія. Дракон часто поставав багатоголовим чудовиськом, які брали різні образи, в яких найчастіше присутній мотив вогню і води. Особливу популярність міф набуває після епохи Хрестових походів.

 

 
 
 
 

7.   МАТЕМАТИКА: Вивертання двовимірної сфери навиворіт у тривимірному просторі

 

Ілюструється  відома теорема - вивертання сфери навиворіт. Під вивертанням тут розуміється гладка деформація двовимірної сфери в тривимірному евклідовому просторі, під час якої не виникає кутів, зламів (тобто точок, де похідна не визначена або нескінченна). Однак, самоперетини поверхні допускаються.  Виявляється, існує гладка деформація, яка змінює місцями зовнішню і внутрішню поверхні сфери.Ця деформація досить складна і намалювати її послідовні етапи не так просто.Ми показали лише один з них, що відповідає середині цього процесу.

 
МІФОЛОГІЯ

 
Людська фігура зображує тут появу самоперетинів сфери при її деформації. Ця поза добре відома в системі вправ йоги. Сприяє зосередженню духу. Чорна дзеркальна поверхня присутня у деяких середньовічних індійських міфах як засіб захисту: небезпечний дух, побачивши своє відображення рятується втечею. У середньовічній Європі дзеркала були оточені численними повір'ями та звичаями.

 

8.  МАТЕМАТИКА: Розшарування Хопфа і розбиття тривимірної сфери

Розшарування  Хопфа - це спеціальне відображення тривимірної  сфери на двовимірну. При цьому прообразом будь-якої точки 2-сфери є коло, вкладене в 3-сферу. Розшарування Хопфа не є прямим образом. Воно виникає в багатьох питаннях топології, варіаційного числення, в теорії різноманіть. Розшарування Хопфа тісно пов'язано з розкладанням 3-сфери в суму двох повноторій. Повноторія - це заповнений тор, «бублик». Візьмемо два повноторія, і склеїм їх межі за допомогою диффеоморфізма, що ототожнює паралель першого тора з меридіаном другого тора. І навпаки, меридіан першого тора ототожнений з паралеллю другого. Виявляється, вийде тривимірна сфера. Цю склейку можна зобразити у тривимірному просторі. Спочатку потрібно взяти стандартно вкладений повноторій. Якщо вважати, що простір доповнено однією нескінченно віддаленою точкою, то додаток до першого повноторію буде другим повноторієм. Воно зображене як «шия» людської фігури, навколо якої обвивається змія. Людина-змія - одна з відомих поз йоги.

 
МІФОЛОГІЯ

 
За космогонічними уявленнями тибетців, світ нанизаний на вертикальну вісь. Це - якась гора. Небо обертається навколо осі - крижаної гори Тісе. Її вершина проходить через центральний отвір намету, або неба. Крізь цей гігантський отвір сонце, місяць і зірки отримують світло. У східному Тибеті всесвіт представляли у вигляді материка, що плаває в океані на спині черепахи або риби, придавленої величезною горою, віссю всесвіту. Іноді йдеться про змію, яка обвиває вісь світу і, звиваючись, обертає її скороченнями свого тіла.

 

9.   МАТЕМАТИКА: Дії фундаментальних груп на вищих гомотопічних групах

Кожен топологічний простір володіє гомотопічними інваріантами, серед яких важливе місце займають гомотопічні групи. Перша з них називається фундаментальною групою. Її елементи - це класи гомотопних шляхів. Шляхи вважаються гомотопними, якщо їх можна неперервно продеформувати один в одного. Елемент гомотопічних груп представляється сфероїдом, розташованим у просторі. Сфероїд задається неперервним відображенням сфери. Фундаментальна група природно діє на вищі гомотопічні групи. Елемент фундаментальної групи зображується деякою петлею.Потім з сфероїда виростає тонка трубочка, що ковзає вздовж петлі і закінчується в її початковій точці. Таким чином, кожен сфероїд замінюється на новий сфероїд. Це задає відображення елементів гомотопічних груп. Різні петлі визначають, взагалі кажучи, різні відображення.

 

МІФОЛОГІЯ

 
У багатьох легендах, казках герой виймає зі свого тіла душу і ховає її в потаємному місці, щоб стати  непереможним і невразливим. Коли в Мінагассе (острів Целебес) сім'я переселяється в новий будинок (або коли ціле плем'я змінює місце проживання), жерці збирають душі всіх членів сім'ї (племені) в мішки і несуть їх із собою. При цьому вважається, що з першим часом перебування в нових будинках пов'язана надзвичайна небезпека. Перенесення мішків з душами - відповідальна операція, яка може бути довірено лише людям, який успадкував це мистецтво від батьків і дідів.

 

10. МАТЕМАТИКА: Спектральні послідовності і орбіти дії груп

 
У багатьох фізичних завданнях велику роль грають групи симетрій. Вони можуть бути як дискретними, так і неперервними. Наприклад, на конфігураційному чи фазовому просторі може діяти група Лі. Тоді простір розшаровується на орбіти дії групи. Орбіта - це безліч точок, що виходять з однієї точки при дії на неї всілякими елементами групи перетворень. Різні орбіти можуть мати різні розмірності. Якщо на евклідовому просторі діє підгрупа групи ортогональних перетворень, то орбіти лежать в концентричних сферах. Якщо ж група містить підгрупу трансляцій, паралельних перенесень, то її орбіти можуть містити «прямолінійні утворення». Топологію розшарованого простору часто вивчають за допомогою спектральних послідовностей.

 

 
МІФОЛОГІЯ

 
В індійській міфології одна з шкал вимірювання «космічного часу»  визначалася так. Десь в темряві космосу висить гігантський куб, виготовлений з чистого алмазу. Раз на кілька тисяч років повз нього пролітає ворон, який сідає на край куба, відпочиває і чистить про нього свій дзьоб. Потім ворон летить. Через кілька тисяч років він з'являється знову. Так повторюється незліченну кількість разів. Куб поступово сточується. Той час, за який ворон випроваджує весь куб, - і є одна секунда в обчисленні часу бога Брами. Цей жахливий тимчасовий масштаб відображає загальну тенденцію середньовічних авторів обчислювати час, в якому живуть боги, зовсім по-іншому, ніж для звичайних людей.

 

11. МАТЕМАТИКА: Спектральна послідовність

 

В алгебраїчній топології при обчисленні груп гомологій і когомологій просторів часто використовується метод спектральних послідовностей. Для цього простір намагаються представити у вигляді розшарування, після чого алгебраїчним шляхом обчислюється нескінченна послідовність таблиць. Кожна така таблиця називається членом спектральної послідовності. Таблиці пов'язані між собою диференціальними операціями. З їх допомогою обчислюється деяка «гранична таблиця», яка і дає нам потрібні відомості про гомології (когомології) розшарованого простору. На малюнку умовно зображена структура таких таблиць. Вони нескінченні і розбиті на осередки (клітини), у кожній з яких поміщається деяка група. Геометрична інформація про простір розшарування переробляється в набір алгебраїчних фактів, що характеризують ці таблиці. Якщо розшарування є прямим образом, то достатньо обчислити лише першу таблицю. Решта з нею збігаються. Якщо ж розшарування нетривіальне, то наступні таблиці виходять з попередніх більш складним чином.

 
МІФОЛОГІЯ

 
У багатьох народів птахи виступають як неодмінний елемент божественної суті. На світовому дереві (дереві життя) птах займає місце на вершині. Найчастіше це - орел. Зазвичай птах співвідноситься з громовержцем: Зевсом, Юпітером, Індірою. Іноді орел чи ворон виступають як творці всесвіту. Образ птаха породив фантастичні створення в міфології: птах Гаруда в індійців, птиця Рух в арабів, жар-птиця на Русі і т. д. На світовому дереві птах протиставляється «нижньою твариною». У першу чергу - змії.

 

 
 
 
 
 

Розділ 2. ОБРАЗИ В МАТЕМАТИЧНОМУ АНАЛІЗІ

 

2.1.  МАТЕМАТИКА: Критичні невиродженні різноманіття гладких функцій

Якщо  на тривимірному просторі задана функція, критичні точки якої заповнюють коло (критичне коло), то може статися, що по нормалі до кола другий диференціал функції невирождений. Такі функції іноді називають боттовськими. Часто буває корисно вивчати так звану сепаратрісну діаграму, то є безліч інтегральних траєкторій градієнтного поля функції, які входять в критичне коло або виходять з нього. На малюнку умовно зображена одна з таких сепаратрісних діаграм. А саме, для критичного індексу 1. При цьому саме критичне коло не намальоване (насправді вона затиснута між двома стрічками-діаграмами). Вхідна (або вихідна) діаграма гомеоморфна або кільцю, розрізаному вздовж його осі критичного кола, або листу Мебіуса (також розрізати вздовж його осі).