Математика и живопись

Волинський  національний університет  імені Лесі Українки

Математичний  факультет 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

на  тему:

МАТЕМАТИКА  І ЖИВОПИС 
 
 
 
 
 

Виконав: Кушнірук Микола

студент 51 групи 
 
 
 
 
 
 
 

Луцьк 2011

Зміст

Вступ

Розділ 1. Образи в топології

1. МАТЕМАТИКА: Рогата сфера(СФЕРА Олександр)
2. МАТЕМАТИКА: Двовимірні поверхні в тривимірному просторі
3. МАТЕМАТИКА: Локальний гомологічний нетривіальний простір
4. МАТЕМАТИКА: Розшарування простору
5. МАТЕМАТИКА: Топологічний зоопарк
6. МАТЕМАТИКА: Теорема про симпліціальну апроксимацію
7. МАТЕМАТИКА: Вивертання двовимірної сфери навиворіт у тривимірному просторі
8. МАТЕМАТИКА: Розшарування Хопфа і розбиття тривимірної сфери
9. МАТЕМАТИКА: Дії фундаментальних груп на вищих гомотопічних групах
10. МАТЕМАТИКА: Спектральні послідовності і орбіти дії груп
11. МАТЕМАТИКА: Спектральна послідовність

Розділ  2. Образи в математичному аналізі

   2.1. МАТЕМАТИКА: Критичні невиродженні різноманіття гладких функцій

   2.2. МАТЕМАТИКА: Поверхня рівня складних гладких функцій

   2.3. МАТЕМАТИКА: Функції Морси та теорема про Ейлерові характеристики

Розділ  3. Образи у варіаційному численні

   3.1. МАТЕМАТИКА: Теореми існування глобально мінімальної поверхні

   3.2. МАТЕМАТИКА: Дискретні групи, породжені відображенням

   3.3. МАТЕМАТИКА: Теорема Пуассона-Лапласа і принципи Плато

Розділ  4. Образи в теорії різноманіття 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВСТУП  

  Геометрична уява та інтуїція відіграють величезну роль в сучасних математичних дослідженнях, особливо, пов'язаних з математичною фізикою, геометрією, топологією. У багатьох глибоких наукових математичних роботах, присвячених складним питанням, - наприклад, в багатовимірній геометрії, у варіаційному численні і т. п., - активно використовується «наочний жаргон», що виробився при дослідженні двовимірних і тривимірних просторів. Щось на кшталт - «розріжемо поверхню», «зклеїмо листи поверхні», «приклеїмо циліндр», «вивернемо сферу навиворіт», «приєднаємо ручку» та ін. Така, - на перший погляд «ненаукова» термінологія, - зовсім не примха математиків. Швидше, - «виробнича необхідність». Математичне мислення досить часто змушене спиратися на неформальні образи, оскільки це необхідно при пошуку доказів багатьох технічно важких результатів. Буває так, що доказ суворого математичного факту вдається спочатку «розгледіти» лише в неформальних геометричних образах, і тільки потім вдається оформити його як акуратне логічне міркування.

  У кожного професійного математика згодом виробляються свої власні уявлення про внутрішність геометрії відомого йому математичного світу. А також - про наочні образи, з якими у нього асоціюються ті чи інші абстрактні математичні поняття з алгебри, теорії чисел, математичного аналізу. Виявляється, - і це надзвичайно цікаво, - що у різних математиків одні й ті ж абстракції часто народжують дуже схожі (іноді практично тотожні!) геометричні уявлення. Причому ці образи «реально існують», проявляючись у спілкуванні математиків і допомагаючи їм краще зрозуміти один одного.

  Графічний матеріал, пропонований читачеві, це - спроба як би сфотографувати зсередини  своєрідний світ сучасної математики. Усі малюнки або засновані на конкретних математичних конструкціях, ідеях, теоремах, або зображують реальні математичні об'єкти і процеси, або відбивають абстрактні математичні поняття, наприклад, нескінченність, неперервність, гомеоморфізм, гомотетію і т. п.

  У цій книзі зібрані роботи, виконані автором у різні роки (переважно - з 1967 по 1983 рр..). Автор багато років читає в МГУ обов'язковий курс «Диференціальна геометрія і топологія», а також спеціальні курси з сучасної геометрії і додатків. Тому з власного досвіду знає, як корисно іноді проілюструвати складне математичне поняття неформальним малюнком. Це допомагає студентам швидше вникнути в суть проблеми. У цьому сенсі багато моїх графічних робіт мають прикладний характер. Не слід думати, що вони ідеально відповідають своїм математичним «прототипам». Сюжет кожної роботи побудований на суто суб'єктивних асоціаціях і передає лише авторське бачення математичного «персонажа». Треба аналізувати об'єктивні труднощі, що виникають на цьому шляху. Неможливо (та й не потрібно) ідеально точно намалювати на плоскому аркуші паперу об'єкт, «живе», скажімо, в семивимірному просторі. Адже ми звикли лише до тривимірних (і двовимірним) просторів. Тому, «семивимірний персонаж» мимоволі спотворюється, будучи примусово поміщений в тривимірний простір. Доводиться жертвувати точністю на користь наочності.

  Першим  авторським досвідом в області графічної  візуалізації складних сучасних математичних понять були ілюстрації до книги Д. Б. Фукса, А. Т. Фоменко, В. Л. Гутенмахера  «гомотопічних топологія» (вид-во МГУ, 1967, 1968 і 1969 рр..) . Вона користувалася великою популярністю серед математиків. Певну роль у цьому відіграли й ілюстрації. Цей цикл робіт (в розширеному вигляді, близько 40 ілюстрацій) увійшов потім у велику монографію А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукса «Курс гомотопічних топологій» (М.: Наука, 1989). У 1990 році Американське Математичне Товариство видало книгу-альбом «Mathematical Impressions», що включає 84 роботи (з яких 23 виконані в кольорі), забезпечені математичними коментарями, коротко роз'яснювальними сюжети робіт. Це було високоякісне видання великого формату. Наступним кроком можна вважати книгу «Наочна геометрія та топологія» (Москва, вид-во МГУ, 1993). У 1994 році вона була переведена на англійську мову видавництвом Springer. Ряд робіт був опублікований у багатьох математичних книгах інших математиків, на їхнє прохання. Назву тут лише: прекрасні монографії американського математика М. Коблітца «A course in number theory and cryptography», «Introduction to elliptic curves and modular forms», «P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions» (Springer-Verlag), книгу видатного російського математика, члена-кореспондента РАН, А. Н. Ширяєва «Probability» (Springer-Verlag), спільну книгу французького математика Жакода і Ширяєва «Limit theorems for stochastic processes» (Springer-Verlag), спільну книгу відомих математиків: російського - В. В. Калашникова та болгарського - С. Т. Рачева, «Математичні методи побудови стохастичних моделей обслуговування» (Наука), користується великою популярністю книгу російських математиків Ю. Г. Борисовича, Н. М. Блізнякова, Я. А. Ізраїлевич і Т. Н. Фоменко «Введення в топологію» (кілька видань: Вища школа, Світ, Наука, потім голландське вид-во Kluwer), унікальну книгу болгарського математика Й. Стоянова «Counterexamples in probability» (John Wiley & Sons). Крім того, багато моїх графічних робіт було опубліковано в різні роки в центральних газетах і журналах. Зокрема, в газетах «Радянська культура», «Комсомольская правда», «Соціалістична індустрія», «Московські новини», «Вечірній Клуб», а також у журналах «Наука і життя», «Техніка і наука», «Хімія і життя »,« Наука і релігія »,« Техника молодежи »,« Культура і життя »,« Квант »,« Радянська життя », в щорічнику« Наука і людство »та ін Багато публікацій з'явилося також в зарубіжній спеціальній і науково-популярній пресі . Наприклад, в американському журналі «The Mathematical Intelligencer». Роботи багато разів виставлялися на виставках, організованих в різні роки (в основному, на громадських засадах, на прохання глядачів) в наукових, навчальних, виробничих центрах Москви, Ленінграда, Києва, Новосибірська, Свердловська та інших міст. Мої персональні офіційні виставки відбувалися також у художніх музеях Челябінська, Магнітогорська, Магадана. Голландське видавництво Reidel (зараз - Kluwer) організувало персональну виставку в Амстердамі. Крім перерахованих персональних виставок (їх налічується понад 100), роботи брали участь у відомих всесоюзних та міжнародних виставках «Вчені малюють» (1982 р.) та «Час-простір-людина» (1980 р.), експонувалися в багатьох містах країни і за кордоном . На кіностудії «Союзмультфільм» в 1988 році режисером В. І. Тарасовим був створений з використанням моїх робіт півгодинний мультфільм «Перевал» за повістю К. Буличова. Досить багато робіт було також використано в двосерійному телефільмі Т. А. Лебедєвої «Мир і війна» (Центральне телебачення). Зважаючи на відсутність спеціальної художньої освіти, автор не обмежував себе рамками якого-небудь одного жанру. Можливо, певний вплив зробили мої улюблені художники Босх, Брейгель, Далі, Ешер, Беклін, Дюрер, хоча свідомого наслідування їм ніколи не було. Всі малюнки виконані «від руки», без використання комп'ютерної графіки. Роботи згруповані приблизно по темам, які вказані в назвах параграфів. Коментарі влаштовані так. Спочатку йде математичний шар, потім - внематематіческіе асоціації. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Розділ 1. ОБРАЗИ В ТОПОЛОГІЇ 

1. МАТЕМАТИКА: рогата сфера (СФЕРА  Олександр)

Зображено об'єкт, добре відомий  в тривимірній топології. Наочно демонструється один із важливих фактів в теорії вкладень двовимірних поверхонь у тривимірному евклідовому просторі. Добре відомо, що якщо двовимірна сфера гладко вкладена в тривимірний евклідів простір (тобто вкладена як гладка несамоперетинаюча поверхня), то вона розбиває простір на дві відкриті області. Одна з них гомеоморфна тривимірній кулі, а інша - з додатком до цього шару в просторі. Обидві ці області однозв'язні. Це означає, що будь-який неперервний замкнутий шлях (тобто петля), що лежить в області, неперервно стягується по ній в точку. 
Інтуїтивно очевидним здається наступне припущення: однозв'язна цих двох областей залишається справедливою і для топологічних (тобто неперервних) вкладень сфери в тривимірне евклідів простір. Нагадаємо, що таке вкладення задається неперервним відображенням сфери в простір, що встановлює гомеоморфізм сфери з її образом. (Гомеоморфізм - це взаємно-однозначне і неперервне по обидві сторони відображення). 
Проте тут інтуїція нас обманює. Виявляється, топологічні вкладення сфери можуть бути влаштовані істотно складніше, ніж гладкі вкладення. Одне з таких (так званих «диких») вкладень і бачить читач. Воно не є локально плоским. Вкладення будується поетапно і є «межею» (в деякому точному сенсі) наступних гладких (а тому - локально плоских) вкладень. Потрібно «зачепити пальці рук» як показано на малюнку, причому пальці не повинні торкатися один одного. Після цього з «кінця кожного пальця» виростають два нових пальця (меншого розміру), які також зачіпляються, не торкаючись один одного. І так далі. На кожному кроці число пальців подвоюється. В результаті вкладення ускладнюється. «Переходячи до межі», ми і отримуємо шукане топологічне вкладення сфери. Воно не локально плоске в нескінченному числі точок. Чудово, що отримана «рогата сфера» розбиває тривимірний простір на дві області, з яких одна гомеоморфна кулі, а друга – неоднозв’язна.

 
МІФОЛОГІЯ

 
З точки зору гомеопатичної магії  вважалося, що схрещування ниток, затягування  вузлів, схрещування рук або ніг (коли ви сідаєте зручніше), протидіє вільному протіканню подій. Вузли можуть вбивати або виліковувати. Теорія вузлів і зачеплень була одним з найважливіших предметів, яку вивчали середньовічні маги і чаклуни. Добре відоме правило, що пропонує брати участь у магічних і релігійних обрядах з розпущеним волоссям і босими ногами, також грунтувалося на побоюванні, що наявність вузла або чогось стягуючого на голові або на ногах учасників негативно позначиться на ефективності обряду. Подібну ж здатність деякі народи приписують кільцям. Ймовірно тому в давніх греків існувало правило (приписуване Піфагору), що забороняло носіння кілець. (Дж.Дж.Фрезер. «Золота гілка».)

1.2. МАТЕМАТИКА: Двовимірні поверхні в тривимірному просторі

 
Справа видно сфери - найпростіші 2-різноманіття. Зліва, як листя гігантських папоротей, виростають проективні площини. Нагорі - тор, «бублик». На передньому плані - лист Мебіуса, у вигляді «скрещенного ковпака». Тут же - двовимірні поверхні великого роду, тобто сфери з великим числом ручок. А також - дві поверхні, не є різноманіттям. Це - сфери з трьома ототожненим точками. Виходить щось схоже на морську тварину. Легко переконатися, що схрещений ковпак в дійсності представляє собою лист Мебіуса. Він розташований в просторі так, що його межа стала плоскою,  колом. Проективна площина виходить склейкою диска з листом Мебіуса по їх спільному кордоні. Тому «папороть» пов'язана як з листом Мебіуса, так і з проективною площиною. Проективну площину не можна вкласти в R3 без самоперетинів. Однак самоперетини можна усунути, «вийшовши» в чотиривимірний простір. 
 
 

МІФОЛОГІЯ

 
Мандрівник злякався, випадково  опинившись в цьому дикому зоопарку. Стародавні люди вважали, що всі об'єкти оточуючого нас світу мають душу (камені, річки, рослини).Однак побачити це можуть далеко не всі. 

3.   МАТЕМАТИКА: Локальний гомологічний нетривіальний простір

 
Зображено двовимірний топологічний простір (нескінченний поліедр), всі групи гомологій якого тривіальні, тобто дорівнюють нулю. Це означає, що будь-який цикл цієї «поверхні» можна затягнути плівкою, тобто представити у вигляді межі деякої «плівки» на одиницю більшої розмірності. У теорії гомологій цикл, що є межею деякої «плівки», вважається тривіальним. Групи гомологій - важливі топологічні інваріанти просторів, природно з'являються в багатьох питаннях геометрії, механіки, математичної фізики. Цикл можна наочно уявляти собі як «поверхню» без межі. 
Зображений поліедр містить дві чудові точки. Одна з них - в лівому нижньому кутку, а інша віднесена в нескінченність. Кожна з точок чудова тим, що будь-яка їх відкрита околиця (не збігається з усім поліедром), має нетривіальну (тобто відмінну від нуля) групу одновимірних гомологій. Поліедр склеєний з нескінченного числа «раковин», кожна з яких зображується ковпаком, верхівка якого приклеєна (в одній точці) до основи ковпака. Якщо розрізати поліедра в будь-якому місці, то обов'язково розріжемо принаймні одну раковину. У результаті в ковпаку з'явиться дірка. Вона і є нетривіальним одновимірним циклом, який не можна затягнути плівкою, цілком лежить всередині відрізаною частиною поліедра. 
Поліедра сконструйований так. Отвір кожної раковини заклеєно «завитком» наступної раковини. Саме цим пояснюється описана властивість поліедра. При наближенні до особливих точкок поліедра, раковини зменшуються.