Математические модели и методы в управлении

 

А) Каков должен быть оптимальный  производственный план?

Б) Все ли виды продуктов  выгодно производить?

Решение:

Для построения математической модели необходимо ответить на следующие  три вопроса:

1) Как идентифицировать искомые величины, т.е. переменные этой задачи?

2) В чем состоит  цель, для достижения которой  из всех допустимых значений  переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать  наилучшему, т.е. оптимальному решению?

3) Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, описанные задаче?

Переменные

Поскольку в задаче требуется  определить производства продуктов которое состоит из: ореховый звон, райский вкус, батончик, белка, ромашка, то эти типы продуктов и будут являться переменными модели, а именно

х₁ - ореховый звон;

х₂ - райский вкус;

х₃ - батончик;

х₄ – белка;

х₅ – ромашка.

Целевая функция

В условии  задачи сформулирована цель, добиться максимального дохода от реализации продукции. Прибыль от реализации каждого типа продуктов соответственно равна 1; 0,7; 1,1; 2 и 0,6.

Поэтому целевой функцией (ЦФ) будет математическое выражение, в котором суммируется доход  от продажи  продуктов.

L(Х) = х₁ + 0,7х₂ + 1,1х₃ + 2х₄ + 0,6х₅ ® mах.

Ограничения

Ограничения, налагаемые на возможные объемы выпуска продукции, т.е. на переменные х₁, х_2, х₃, х₄ и х₅, обуславливаются:

- количеством  расходуемого сырья;

Ограничения на расход сырья можно записать в виде:

  Расход конкретного вида  сырья     ≤    Максимально  возможный запас     

                    на изделия                                          данного сырья 

 

а математически – в виде:

0,8х₁ + 0,5х₂ +  х₃  +  2х₄  +  1,1х₅  ≤ 1411;

0,2х₁ + 0,1х₂ +  0,1х₃  +  0,1х₄  +  0,21х₅  ≤ 149;

0,3х₁ + 0,4х₂ +  0,6х₃  +  1,3х₄  + 0,05х₅  ≤ 815,5;

0,2х₁ + 0,3х₂ +  0,3х₃  +  0,7х₄  +  0,5х₅  ≤ 466;

0,7х₁ + 0,1х₂ +  0,9х₃  +  1,5х₄  ≤ 1080;

 

При этом подразумевается, что объемы производства не могут принимать отрицательных значений, что записывается как:

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0, х₃ ³ 0, х₄ ³ 0, х₅ ³ 0

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет  вид

L(Х) = х₁ + 0,7х₂ + 1,1х₃ + 2х₄ + 0,6х₅ ® mах.

 

      0,8х₁ + 0,5х₂ +  х₃  +  2х₄  +  1,1х₅  ≤ 1411;

              0,2х₁ + 0,1х₂ +  0,1х₃  +  0,1х₄  +  0,21х₅  ≤ 149;

                 0,3х₁ + 0,4х₂ +  0,6х₃  +  1,3х₄  +  0,05х₅  ≤ 815,5;

             0,2х₁ + 0,3х₂ +  0,3х₃  +  0,7х₄  +  0,5х₅  ≤ 466;

0,7х₁ + 0,1х₂ +  0,9х₃  +  1,5х₄  ≤ 1080;

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0, х₃ ³ 0, х₄ ³ 0, х₅ ³ 0.

 

Решим задачу симплекс-методом  средствами Excel.

переменная Х1	450
переменная Х2	60
переменная Х3	10
переменная Х4	500
переменная Х5	10
Функция	1509
Ограничения 1	1411	1411
ограничения 2	149	149
ограничения 3	815,5	815,5
ограничения 4	466	466
ограничения 5	1080	1080

 

Итак, необходимо произвести ореховый звон в количестве 450, райский вкус – 60, батончики – 10, белка – 500, ромашка - 10.  Прибыль фабрики от их реализации будет максимальной и составляет 1509 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Решить транспортную задачу

Составить экономико-математическую модель транспортной задачи. Найти оптимальное распределение поставок и минимальные затраты на перевозку, выполнив первоначальное распределение поставок методом «северо-западного» угла. 

Таблица 1 – Исходная транспортная таблица

Пункты отправления, Аi	Пункты потребления, Bj			Запасы (ед. товара)
	В1	В2	В3
А1	2	2	3	50
А2	2	4	5	70
А3	6	5	7	60
Потребность (ед. товара)	60	60	50	170 ≠180

 

Решение:

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный  объем потребностей меньше суммарного объема запасов на 10 единиц товара, т.е.

 

                               потребности                запасы                   

 

                              60 + 60 + 50   <   50 + 70 + 60

 

                                170 ед. товара            180 ед. товара

Для того, чтобы сбалансировать данную задачу введем фиктивный пункт  потребления А_ф с фиктивным потребностями 10 (ед. товара) и фиктивным тарифом 100 (р./ед. товара) (таблица 2).

 

 

 

Таблица 2 – Сбалансированная транспортная таблица

Пункты отправления, Аi	Пункты потребления, Bj				Запасы (ед. товара)
	В1	В2	В3	В4
А1	2	2	3	100	50
А2	2	4	5	100	70
А3	6	5	7	100	60
Потребность (ед. товара)	60	60	50	10	180 =180

 

Составление плана перевозок. Метод «северо-западного угла».

50	-	-	-
				70
				60
10	60	50	10

 

Рисунок 2

Заполним клетку а₁₁ – «северо-западный угол» матрицы перевозок. В нее можно запланировать перевозку 50 единиц груза: возможности поставщика А₁ полностью исчерпаны, и  потребителю В₁ необходимо еще поставить 10 ед товара. При этом первая строка матрицы перевозок будут закрыта – рисунок 2.

Заполняем «северо-западный угол» оставшейся незаполненной  части таблицы – клетку а_21. В нее можно запланировать перевозку 10 единиц груза,  у  поставщика  А₂, потребителю В₁ заказ выполнен полностью; но при этом остается еще 60 единиц груза возможность поставщика А₂; при этом 1-й столбец матрицы перевозок закрыт – рисунок 3.

50	-	-	-
10				60
-				60
	60	50	10

 

Рисунок 3

Снова заполняем   «северо-западный угол» незаполненной части таблицы  –  клетка   а₂₂. В нее можно запланировать перевозку 60 единиц груза, имеющихся у А₂, потребителю В₂; при этом возможности поставщика А₂ исчерпаны полностью; при этом вторая строка и второй столбец матрицы перевозок будут закрыты – рисунок 4. Так как закрылись одновременно строка и столбец, ведем фиктивную нулевую перевозку клетка а₃₂ – рисунок 4.

50	-	-	-
10	60	-	-
-	0ф			60
		50	10

 

Рисунок 4

В оставшейся незаполненной  части матрицы  перевозок заполняем сначала «северо-западный угол» - клетку а₃₃, а₃₄ (в них ставим 50 и 10 единиц груза соответственно и закрываем 3-й и 3-й столбцы матрицы); получаем план перевозок – рисунок 5. 

 

50	-	-	-
10	60	-	-
-	0ф	50	10

 

Рисунок 5

 

Таким образом, опорный  план, найденный методом Северо-Западного  Угла имеет вид

                                   50    0      0      0                                   

                  Х_СЗУ =      10    60    0      0           (ед. товара).

                                      0      0^ф   50   10^Ф

                                     

Соответствующая целевая функция (общие затраты на перевозку) не учитывает  фиктивные перевозки поскольку  они реально не были выполнены. Подсчитаем стоимость затрат на перевозки по этому                                                          плану. Для этого объем перевозки, указанный в каждой                                                          заполненной клетке (не учитывая клетку с фиктивной перевозкой) надо умножить на тариф этой клетки и сложить все полученные произведения:                                                           

 L(Х_СЗУ) = 50·2 + 10·2 + 60·4 + 50·7  = 710 (ден.ед.)

В нашем случае получилась вырожденная задача, так как была необходимость одновременного закрытия столбца и строки, поэтому приходится вводить фиктивную нулевую перевозку, чтобы соблюсти указанный принцип для невырожденных задач, заполненные  число клеток  равно, как известно из теории, т+п-1 где т и п -размеры матрицы перевозок. В нашем случае т = 4, n = 3 , поэтому должны быть заполнены 4 + 3 — 1 = 6 клеток, что и получилось.

б) Метод наименьшей стоимости.

 Находим клетку  матрицы перевозок с наименьшими  тарифами; клетка а₂₁в нее помещаем 60 единиц,   и закрываем  первый столбец,  а у поставщика А₂ оставляем 70 – 60 = 10 единиц груза. Получаем рисунок 6. В оставшейся незаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф имеет клетка  а₁₂.  Заполняем ее: ставим перевозку 50,  закрываем первую строку,  а потребителя В1₂ остается  еще 10 единиц груза, рисунок 7.   

-				50
60				10
-				60
	60	50	10
-	50	-	-
60				10
-				60
	10	50	10