(2)

 што  і даказвае адзінасць развязка  раўнання (1). Пры гэтым мы прыходзім  да магчымасці надаць формуле  (2) вылічэння дзелі камплексных  лікаў выгляд:

   

.

   Правіла дзялення камплексных лікаў: каб падзяліць два камплексныя лікі , трэба лічнік і назоўнік дробу дамножыць на лік, камплексна-спалучаны назоўніку.

    Прыклад 1. Вылічыць .

   ∆ ◄

   Увядзем на камплекснай плоскасці палярную сістэму каардынатаў так, каб яе полюс знаходзіўся ў пункце прамавугольнай сістэмы каардынатаў, а палярная вось супадала з дадатным кірункам восі . З геаметрычных меркаванняў атрымаем формулы

   

,

якія  звязваюць палярныя і дэкартавыя каардынаты. Адсюль вынікае гэтак  званая трыганаметрычная форма камплекснага ліку :

   def: Лік называецца модулем , а лік – аргументам камплекснага ліку .

Аргумент  камплекснага ліку не вызначаны, а яго модуль роўны нулю. Зазначым, што аргумент вызначаецца неадназначна, з дакладнасцю да складніка . Пры гэтым выкарыстоўваюцца абазначэнні – алзін заргументаў, – мноства ў сіх аргументаў ліку . Значэнне аргументу, якое праўдзіць няроўнасці , называецца галоўным.

        З сістэмы    маем .

Зазначым, што з апошняй сістэмы аргумент камплекснага ліку знаходзіцца неадназначна, паколькі аргументы абодвух лікаў і з’яўляюцца развязкасмі гэтай сістэмы.

   Заўвага 1. Пры вылічэнні аргумента камплекснага ліку з роўнасці карыстаемся правілам:

   

   Прыклад 2. Вызначыць трыганаметрычную форму камплексных лікаў: 
;

   ∆ 1)     2)

3) 4) ◄

   Трыганаметрычная  форма камплекснага ліку ёсць вельмі зручная для множання і дзялення камплексных лікаў. Няхай 

   

.

Вылічым іх здабытак

   

З гэтай  роўнасці маем , г.зн. пры множанні камплексных лікаў іх модулі перамнажаюцца, а аргументы складваюцца. Аналагічна атрымліваецца: пры дзяленні камплексных лікаў іх модулі дзеляцца, а аргументы адымаюцца

.

   Калі  перамножыць  роўных камплексных лікаў, то атрымаецца

   

.

Пры мае месца формула Муаўра

.

   З геаметрычнага выяўлення камплексных  лікаў вынікае правіла роўнасці камплексных лікаў ў трыганаметрычнай форме :

   

   def: Камплексны лік называецца коранем й ступені з камплекснага ліку  , , калі .

   Атрымаем формулы для вылічэння кораня й ступені з камплекснага ліку . Няхай , З роўнасці і формулы Муаўра вынікае На падставе правіла роўнасці камплексных лікаў ў трыганаметрычнай форме атрымліваем

   

.

Такім чынам, мы маем формулу           (3)

   Пакажам, што сярод камплексных лікаў  маецца роўна розных. Сапраўды, сярод камплексных лікаў , якія вылічаюцца паводле формулы (3) пры усе розныя таму, што іх аргументы

   

розняцца адзін ад другога менш чым на ( – найбольшая з розніцаў). Тады адпаведна правілу роўнасці камплексных лікаў ў трыганаметрычнай форме ўсе , розныя. Затым атрымліваем , бо і . Аналагічна . Такім чынам, маецца роўна розных значэнняў кораня –й ступені з камплекснага ліку:

   

. 

   Прыклад 3. Вылічыць

   ∆

 

  ◄

    Заўвага 2. На камплекснай плоскасці пункты размяшчаюцца ў вяршынях правільнага –вугольніка, умежанага ў акружыну радыюсу з цэнтрам у пункце таму, што ,

.  
 

§1.4. Алгебра мнагаскладаў.

   def: Мнагаскладам або паліномам –й ступені называецца выраз

   

дзе – камплексная зменная велічыня, – камплексныя канстан-ты, прычым .

   def: Мнагасклады і называюцца роўнымі , калі роўныя іх ступені і роўныя адпаведныя каэфіцыенты

   Мае месца наступная

   Тэарэма 1 (пра выяўленне мнагаскладу). Калі ступень мнагаскладу не меншая за ступень мнагаскладу , г.зн. , то існуюць такія два мнагасклады і , , што

    .                                              (1)

   Для доказу тэарэмы разглядаюцца мнагасклады  з нявызначанымі каэфіцыентамі , – не-вядомыя камплексныя лікі. Пасля падстаўлення гэтых мнагаскладаў ў (1), прывядзення падобных складнікаў і прыраўноўвання каэфіцыентаў пры аднолькавых ступенях у абедзвюх частках атрыманай роўнасці, для знаходжання каэфіцыентай і будзем мець сістэму лінейных раўнанняў, з якой і вызначаюцца адзіным спосабам.

   Звычайна  дзель ад дзялення двух мнагаскладаў і адпаведную астачу знаходзяць метадам дзялення вугалком. Напрыклад,

   

Пры гэтым  мае месца роўнасць .

   Дзяліць мнагасклад на двухсклад  зручна паводле схемы Горнера. Напрыклад, падзелім на . Маем

     .

Такім чынам, .

   def: Будзем гаварыць, што мнагасклад дзеліцца або ёсць падзельны на мнагасклад , калі астача ад дзялення мнагаскладаў роўная нулю, , г.зн. мае месца выяўленне . Лік называецца коранем або нулём мнага-складу , калі .

   Мае месца

   Тэарэма 2 (Безу або крытэр падзельнасці мнагаскладу на двухсклад). Для таго каб мнагасклад ненулявой ступені быў падзельны на двухсклад , неабходна і дастаткова, каб лік быў коранем мнагаскладу .

   □ Неабходнасць. Няхай дзеліцца на , г.зн. Пры маем . Гэта азначае, што лік ёсць корань мнагаскладу .

      Дастатковасць. Няхай ёсць корань мнагаскладу , г.зн. . На падставе тэарэмы пра выяўленне мнагаскладу , а з прычы-ны таго, што ступень астачы ёсць меншая за ступень дзельніка , вынікае, што г.зн. Нададзім у гэтай роўнасці зменнай значэнне і атрымаем, што . Паколькі , то астача , што азначае падзельнасць мнагаскладу на . ■

   Заўвага 1. З доказу тэарэмы вынікае, што ёсць астача ад дзялення на .

   У трэцім семестры будзе даказана так  званая

   Асноўная  тэарэма алгебры. Усякі мнагасклад ненулявой ступені мае прынамсі адзін корань.

   З гэтай тэарэмы вынікае 

   Тэарэма 3 (пра раскладанне мнагаскладу на множнікі). Усякі мнагасклад ступені раскладаецца ў здабытак – го множніка

     .                           (2)

   □ З асноўнай тэарэмы алгебры вынікае, што мае корань , г.зн. . Затым мнагасклад таксама мае корань г.зн. і г.д. Нарэшце атрымаем , прычым . Такім чынам, маем .  ■

   Тэарэма 4 (пра колькасць каранёў мнагаскладу). Мнагасклад ступені мае роўна каранёў.

   □ З папярэдняй тэарэмы вынікае, што іх не менш, чым . Няхай разам з каранямі маецца корань , які не супадае з астатнімі. Гэта значыць, што . Але ж , бо і ўсе дужкі таксама няроўныя нулю ?!? (Прыйшлі да супярэчнасці).   ■

   Тэарэма 5 (пра камплексныя карані мнагаскладу з рэчаіснымі каэфіцыентамі). Калі мнагасклад мае рэчаісныя каэфіцыенты і лік ёсць яго корань, то і лік – таксама яго корань .

   □ Няхай  , тады . Але

    .

   Гэта  азначае, што лік  ёсць корань мнагаскладу . ■

   Няхай мнагасклад мае выяўленне . Можа стацца, што сярод яго каранёў ёсць аднолькавыя. Напрыклад, . Запішам мнагасклад наступным чынам

    .                  (3)

   def: Лік называецца коранем мнагаскладу кратнасці , калі мае месца выяўленне

   Заўвага 2. Калі ёсць  корань кратнасці мнагаскладу з рэчаіснымі каэфіцыентамі, то і лік – таксама яго корань кратнасці .

   Калі  мнагасклад мае рэчаісныя каэфіцыенты і – яго камплексны корань, то ў выяўленні (2) будуць змяшчацца два множнікі і . Вылічым іх здабытак

,

прычым дыскрымінант апошняга трохскладу ёсь  , бо . З гэтых меркаванняў на падставе (3) мнагасклад з рэчаіснымі каэфіцыентамі заўсёды можна падаць у выглядзе

,                     (4)

дзе 

   Такім чынам, ведаючы ўсе карані мнагаскладу  з рэчаіснымі каэфіцыентамі  , можна яго раскласці на множнікі з рэчаіснамі каэфіцыентамі, г.зн. падаць у выглядзе (4), дзе лікі – рэчаісныя, а ўсе квадратовыя трохсклады маюць адмоўныя дыскрымінанты.

   def: Выраз , дзе – мнагасклады адпаведна ступеняў і , называецца рацыянальнай функцыяй. Калі , то рацыянальная функцыя называецца правільнай. Правільныя рацыянальныя функцыі называюцца простымі дробамі.

   Мае месца

   Тэарэма 5 (пра раскладанне рацыянальнай функцыі на простыя дробы). Няхай – правільная рацыянальная функцыя з рэчаіснымі каэфіцыентамі і мнагасклад раскладаецца на множнікі згодна з формулаю (4). Тады функцыю можна раскласці на суму простых дробаў:

   

дзе – рэчаісныя лікі.

     Тое ж самае можна запісаць пры  дапамозе знакаў сумавання

.

   Існуе некалькі спосабаў вылічэння каэфіцыентаў раскладу правільнай рацыянальнай функцыі на суму простых дробаў.