Віктар  Ахраменка

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУС ЛЕКЦЫЙ  
ПА МАТЭМАТЫЧНЫМ АНАЛІЗЕ 
 
 

для студэнтаў  радыёфізічнага факультэта 

1 КУРС  1 СЕМЕСТР 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

БЕЛАРУСКІ ДЗЯРЖАЎНЫ УНІВЕРСІТЭТ

 

Літаратура:

1. Валянцін Русак і інш. “Курс вышэйшай матэматыкі”,Мінск, 1994, !997.
2. Α.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. “Курс математического анализа”.
3. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. “Основы математического анализа”, ч.1,2.
4. Л.Д.Кудрявцев. “Математический анализ”, т.1,2.
5. Б.П.Демидович. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”.
6. Н.Р.Абрашына-Жадаева, В.К.Ахраменка. “Вышэйшая матэматыка ў прыкладах і задачах. Матэматычны аналіз. Частка1.”

Раздзел 1. Уводзіны.

§1.1. Элементы тэорыі мностваў і матэматычнай логікі.

 

      Паняцце мноства ёсць адно з асноўных у матэматыцы. Яно належыць да так званых першасных паняццяў, якія не азначаюцца праз больш простыя. Пад мноствам разумеюць сукупнасць аб’ектаў, якія аб’ядноўваюцца ў адну групу па пэўным прыкметам.. Прыклады мностваў: мноства студэнтаў у аўдыторыі; мноства тых з іх, хто вывучаў у школе нямецкую мову.

      Мноствы будзем абазначаць вялікімі літарамі: , а таксама . Аб’екты, з якіх складаецца мноства, называюцца яго элементамі. Запіс азначае: ёсць элемент мноства , або належыць . Калі не ёсць элемент мноства , то пішуць . Запіс азначае, што мноства ёсць канечнае і складаецца з элементаў .

      Калі  кожны элемент мноства  ёсць элемент мноства , то мноства называюць падмноствам мноства і пішуць або . Пры гэтым кажуць, што змяшчаецца ў , або змяшчае . Калі існуе элемент такі, што , то мноства не з’яўляецца падмноствам мноства , што абазначаюць: . Мноствы, якія складаюцца з адных і тых самых элементаў, называюцца роўнымі. Калі і роўныя мноствы, то пішуць .

      Для вылучэння з мноства  падмноства тых элементаў , якія маюць пэўную ўласцівасць , выкарыстоўваюць запіс (:–такі што).

        Напрыклад, .

      Можа  атрымацца, што ні адзін элемент  мноства  не мае ўласцівасці . Тады мноства называецца пустым мноствам і абазначаецца . Напрыклад, . Пустое мноства лічыцца падмноствам усякага мноства.

      Перасячэннем мностваў і называецца мноства тых элементаў якія належаць як мноству , так і мноству , і абазначаецца .

      Аб’яднаннем мностваў і называецца мноства ўсіх тых элементаў, якія належаць прынамсі (хаця б) аднаму з мностваў і і абазначаецца . 

      Аперацыі  перасячэння і аб’яднання мностваў добра ілюструюцца дыяграмамі Ойлера-Вена: 

                              

   Розніцаю мностваў і называецца мноства усіх тых элементаў мноства , якія не належаць мноству .

   Два элементы і , , запісаныя ў выглядзе , будзем называць упарадкаванаю параю. Дзве пары і называюцца роўнымі, калі і толькі калі . Калі , то .

   Мноства, элементамі якога з’яўляюцца ўсе ўпарадкаваныя пары , , называецца дэкартавым здабыткам мностваў і і абазначаецца . Калі, напрыклад, то ,  . Відочна, што .

   Пытанне: Калі ?  (Калі і толькі калі .)

                      Дайце геаметрычнае выяўленне дэкартавага здабытка .

   Няхай зададзены два мноствы  і . Няхай кожнаму элементу пастаўлены ў адпаведнасць пэўны элемент . Саму адпаведнасць будзем абазначаць літараю , а тое, што элемент пры гэтай адпаведнасці пераходзіць у элемент , будзем запісваць сімвалічна так: , або . Такую адпаведнасць будзем называць адлюстраваннем мноства у мноства або функцыяй з мноства у мноства .

   Няхай функцыя  вызначана на мностве і адлюстроўвае мноства у мноства . Праз будзем абазначаць мноства ўсіх тых элементаў з , якія з’яўляюцца значэннямі функцыі прынамсі пры адным . Мноства будзем называць мноствам значэнняў функцыі на мностве . Зразумела, што . Калі ж , г.зн. кожны элемент мноства ёсць значэнне функцыі пры некаторым , то кажуць, што функцыя адлюстроўвае на .

   Калі  і пры любых , таксама , то адлюстраванне мноства на мноства называецца узаемна адназначным.

   У гэтым выпадку на мностве  можна вызначыць функцыю , ставячы ў адпаведнасць кожнаму элементу такі элемент , што . Гэтая функцыя называецца адваротнаю функцыяй да функцаі і абазначаецца . Функцыі і называюцца пры гэтым узаемна адваротнымі.

   Няхай зададзены дзве функцыі  і (або ). Функцыю (або ) будзем называць кампазіцыяй функцый і .

   Калі  існуе узаемна адназначнае адлюстраванне  мноства на мноства , то мноствы і называюцца эквівалентнымі, а іх эквівалентнасць запісваецца так . Пры якой умове два канечныя мноствы эквівалентныя? (Калі яны змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў).

   Калі  , то кажуць, што мноствы і маюць аднолькавую магутнасць. Калі , але , то кажуць, што мноства мае меншую магутнасць, чым мноства (або адпаведна мае большую магутнасць, чым ).

   Калі мноства ,то мноства называецца злічальным. Калі мноства канечнае, або злічальнае, то яго называюць не больш чым злічальным. Мноства называецца незлічальным, калі яно мае магутнасць большую, чым магутнасць мноства .

   Нямецкаму матэматыку Кантару належаць наступныя  дзве тэарэмы:

    мноства ўсіх рацыянальных лікаў  ёсць злічальнае;

    мноства ўсіх рэчаісных лікаў  незлічальнае.

   Мноства ўсіх пунктаў любога адрэзку лікавай прамой называецца кантынуумам. Мае месца сцверджанне: . Мноства называецца мноствам магутнасці кантынуума, калі .

   У матэматыцы побач з паняццямі  тэорыі мностваў шырока выкарыстоўваецца мова матэматычнай логікі, аснову якой складае тэорыя выказванняў. Выказванне як і мноства ёсць першаснае неазначальнае паняцце. Выказваннем лічыцца ўсякі сказ, пра які можна сказаць, што яго сцверджанне ёсць або праўдзівае, або непраўдзівае. Так выказваннямі з’яўляюцца наступныя сцверджанні: “Калі чатырохвугольнік ёсць квадрат, то ён прамавугольнік”– праўдзівае сцверджанне. “Калі чатырохвугольнік ёсць прамавугольнік, то ён квадрат”– непраўдзівае сцверджанне. “Пад час лекцыі па матэматычным аналізе заўсёды свеціць сонца”.– непраўдзівае.

   Імплікацыяй выказванняў і называецца выказванне, якое ёсць непраўдзівае, калі і толькі калі праўдзівае, а непраўдзівае, і абазначаецца (чытаецца: “калі , то ” ). Выказванне чытаюць таксама: “з вынікае ”, “для таго каб , дастаткова ”, “для таго каб , неабходна ”. Пры гэтым называюць умовай, а – высновай . Кажуць таксама, што ёсць дастатковая ўмова для , а ёсць неабходная ўмова для .

   Прыклад 1. : “Чатырохвугольнік ёсць ромб”; :“Чатырохвугольнік ёсць паралелаграм”. Маем , г. зн.:

1. Для таго каб чатырохвугольнік быў ромбам, неабходна, каб ён быў паралелаграмам.

2. Для таго каб чатырохвугольнік быў паралелаграмам, дастаткова, каб ён быў ромбам. ◄

   Калі  для выказванняў  і маюць месца імплікацыі і , то выказванні і называюць эквівалентнымі або раўназначнымі і пішуць . Выказванне чытаюць таксама: “Для таго каб , неабходна і дастаткова каб ”, “ калі і толькі калі ”. Тэарэмы з такімі выказваннямі будзем называць крытэрамі.

   Прыклад 2. : “Трохвугольнік ёсць раўнабочны”; : “Два вуглы трохвугольніка роўныя”. Маем , , г. зн. . Такім чынам, маюць месца сцверджанні: “Для таго каб трохвугольнік быў раўнабочным, неабходна і дастаткова, каб два яго вуглы былі роўныя”, або “Для таго каб два вуглы трохвугольніка былі роўныя, неабходна і дастаткова, каб трохвугольнік быў раўнабочным”. Тое ж самае можна сфармуляваць пры дапамозе іншых слоў:“Трохвугольнік ёсць раўнабочны, калі і толькі калі два яго вуглы роўныя”, або :“ Два вуглы трохвугольніка роўныя, калі і толькі калі ён раўнабочны”. ◄

   У матэматыцы апроч выказванняў сустракаюцца сцверджанні, якія залежаць ад адной або некалькіх зменных. У матэматычнай логіцы іх называюць прэдыкатамі і абазначаюць і г.д. Пры гэтым абавязкова адзначаецца, на якім мностве разглядаюцца зменныя. Сказ “ ” не з’яўляецца выказваннем на ўсім мностве . Але калі ўзяць , то – выказванне. З мноства можна вылучыць падмноства усіх тых , для якіх ёсць праўдзівае. Мноства называецца мноствам праўдзівасці сцверджання . Тады на мностве сцверджанне непраўдзівае.

   З прэдыкатамі  спалучаюцца два віды сказаў:  
1) Для ўсіх з мноства мае месца . 2) Існуе элемент з мноства такі, што мае месца .

Гэтыя сказы можна запісаць кароткім спосабам: 1) 2) .

Знакі называюцца квантарам агульнасці і квантарам  існавання адпаведна.

   Квантар замяняе словазлучэнні: “для ўсіх”, “для кожнага”.

   Квантар замяняе словазлучэнні: “існуе”, “знойдзецца”.

   Сымбаль азначае: “мае месца”, а сымбаль : – “такі, што”.

    Адмаўленнем выказвання называецца выказванне (чытаецца: “не ”),

   якое  праўдзіцца калі і толькі калі непраўдзівае. Так выказванне “5 ёсць цотны лік” з’яўляецца адмаўленнем выказвання “5 ёсць няцотны лік”.

   Разгледзім  правілы пабудовы адмаўленняў некаторых  сцверджанняў.

1º. Няхай мае месца сцверджанне: “ ”. Тады яго адмаўленнем з’яўляецца сцверджанне: “не для кожнага элемента з мноства мае месца ”, або інакш “існуе элемент з мноства такі, што мае месца ”. Такім чынам, маем   .

2º. Аналагічна атрымліваецца .

Атрыманыя правілы пабудовы адмаўленняў называюць  правіламі дэ Моргана пабудовы адмаўлення.

§1.2.  Рэчаісныя лікі.

   Пры падлічэнні колькасці элементаў  розных мностваў узнікае мноства  натуральных лікаў  . З натуральнымі лікамі можна выконваць дзеянні складання і множання. Аперацыі адымання і дзялення не заўсёды магчымыя.