Часта сустракаюцца задачы наступнага тыпу: даказаць праўдзівасць сцверджання . Пры гэтым карыстаюцца метадам матэматычнай індукцыі :– сцверджанне лічаць праўдзівым для ўсіх , калі выконваюцца наступныя дзве ўмовы: 1) выказванне праўдзівае пры ; 2) з праўдзівасці выказвання вынікае праўдзівасць выказвання для ўсіх натуральных k. Умова праўдзівасці выказвання называецца базай індукцыі (часцей за ўсё ), а меркаванне праўдзівасці выказвання – індуктыўным пагадненнем.

  Прыклад. Дакажам, што . Пры маем . Калі ж гэта вам не зусім падабаецца, то пры маем . Няхай пры выраз і дакажам, што . Сапраўды,

   . Сцверджанне даказана. Зразумела, што тое самае можна атрымаць, калі запісаць .

   Пасля ўвядзення мноства цэлых лікаў  робіцца магчымай аперацыя адымання лікаў з . У мностве рацыянальных лікаў магчымымі становяцца ўсе 4 арыфметычныя дзеянні.

  Лікавай воссю называюць прамую, на якой выбраны пэўны пункт (пачатак адліку), маштабны адрэзак (даўжыня яго лічыцца роўнай 1) і дадатны кірунак ад да .

  Узнікае задача аб магчымасці паставіць у адпаведнасць кожнаму пункту лікавай восі пэўны лік, які вызначае даўжыню адрэзку . Гэты лік будзем лічыць дадатным, калі і знаходзяцца па адзін бок ад , і адмоўным – у процілеглым выпадку.

  Адзначым, што пры гэтым кожнаму рацыянальнаму  ліку адпавядае на лікавай восі пэўны пункт. Сапраўды, мы ведаем спосаб пабудовы адрэзку, даўжыня якога складае  частку даўжыні адрэзку , (тэарэма Фалеса). Адкладаючы гэтую -ю частку разоў, мы атрымаем пункт , які знаходзіцца на адлегласці ад О. Такім чынам, пункту адпавядае рэчаісны лік .

      

 

      Аднак не кожнаму пункту лікавай восі адпавядае рацыянальны лік. Дзеля доказу гэтага сцверджання разгледзім пункт на лікавай восі такі, што даўжыня адрэзку роўная даўжыні дыяганалі квадрату са стараною . Відочна ² =2.

      

Пераканаемся, што пункту не адпавядае ніякі рацыянальны лік.

      □ (Ад процілеглага) Няхай | | = – нескарачальны дроб. Тады , г.зн. што лік ёсць цотны, а тым самым р – цотны. Няхай . Маем , г.зн. – цотны лік ?!? (знак супярэчнасці) ■

  Узнікае неабходнасць пашырэння мноства  рацыянальных лікаў. Няцяжка пераканацца, што кожны рацыянальны лік можна падаць як бясконцы перыядычны дзесятковы дроб. (Падумаць самастойна або паглядзець літаратуру!) І наадварот, кожны бясконцы перыядычны дзесятковы дроб ёсць рацыянальны лік, г.зн. яго можна падаць у выглядзе . (Як пераўтварыць бясконцы перыядычны дзесятковы дроб у звычайны?) Такім чынам, мноства бясконцых перыядычных дзесятковых дробаў ёсць .

      Бясконцыя неперыядычныя дзесятковыя дробы  называюцца ірацыянальнымі лікамі. Аб’яднанне мностваў рацыянальных і ірацыянальных лікаў называюць мноствам рэчаісных лікаў і абазначаюць .

   Такім чынам, маем .

   Няхай два рэчаісныя лікі і маюць выяўленні: , . Лікі  і    называюцца роўнымі, калі . Калі дзесятковыя знакі лікаў і адпавядаюць умовам: , то лік называецца меншым за лік . У выпадку мае месца дамоўленасць: .

   Адзначым  дзве важныя надалей ўласцівасці рэчаісных лікаў:

1º.(Аксіёма Архімеда) (тут – мноства дадатных рэчаісных лікаў);

2º.(Шчыльнасць мноства ) .

Сярод найбольш ужываных мностваў рэчаісных  лікаў назавем:

– адрэзак (замкнёны прамежак);

– інтэрвал (адкрыты прамежак).

   def: Адвольны інтэрвал , якому належыць пункт , будзем называць ваколлем пункта . Сіметрычнае ваколле, г.зн. інтэрвал ( ) называюць -акругаю пункта .

   def: Мноства называецца абмежаваным зверху [знізу], калі рэчаісны лік такі, што . Лікі і называюць адпаведна верхняй і ніжняй межамі мноства . Мноства, абмежаванае як зверху, так і знізу называецца абмежаваным.

   Практыкаванне. Карыстаючыся правіламі дэ Моргана, сфармуляваць азначэнне неабмежаванага зверху [знізу] мноства.

   ( 

, 
       [ ] )

   Відочна, што ўсякае абмежаванае мноства  мае бясконца многа як верхніх, так і ніжніх межаў. Чаму? (аксіёма Архімеда!)

   def: Найбольшая з ніжніх межаў абмежаванага знізу мноства называецца яго дакладнай ніжняй мяжою і абазначаецца (чытаецца: інфімум).

   def: Найменшая з верхніх межаў абмежаванага зверху мноства называецца яго дакладнай верхняй мяжою і абазначаецца (чытаецца: супрэмум).

   Заўвага 1. Для неабмежаванага зверху [знізу] мноства будзем пісаць

   

   Зразумела, што згаданыя азначэнні верхняй і ніжняй межаў можна наступным чынам запісаць пры дапамозе матэматычных сымбаляў:

   

 

   

   Тэарэма (пра межы). Кожнае непустое абмежаванае зверху [ знізу ]  мноства 
                                    рэчаісных лікаў мае дакладную верхнюю [ ніжнюю ]  мяжу.

 □ Няхай абмежаванае зверху мноства. Абазначым праз мноства ўсіх верхніх межаў для . Мноства непустое, паколькі абмежаванае зверху. Таму . Згодна з уласцівасцю шчыльнасці мноства .

      Паколькі  , то – верхняя мяжа мноства .

      Паколькі , то  – найменшая з верхніх мяжаў. Таму .

      Аналагічна  даказваецца існаванне  . ■

   def: Модулем рэчаіснага ліку называецца неадмоўны лік :

   

   Асноўныя  ўласцівасці модуля:

1. ;
5.   ( няроўнасць трохвугольніка);

□ З уласцівасці 3) маем ,  адкуль вынікае .  На падставе ўласцівасці 4)  гэта азначае .   ■

6.   ( у прыватнасці );

□ Разгледзім роўнасць , якая праўдзіцца . Згодна з уласцівасцю 5) , адкуль вынікае няроўнасць 
                                              .                                                                 (5) 
Паколькі , то з (5) вынікае 
                                                .                                                      (6) 
З няроўнасцяў (5) і (6) і вынікае ўласцівасць . ■

7. ;

   Заўвага 2. Часта ў якасці азначэння абмежаванага мноства выкарыстоўваюць наступнае:

   def: Калі існуе такі лік , што для ўсіх выконваецца няроўнасць , то мноства называецца абмежаваным. Тут – верхняя мяжа, – ніжняя мяжа.

   Практыкаванне. Карыстаючыся правіламі дэ Моргана, сфармуляваць азначэнне неабмежаванага мноства. ( ) 
 

§1.3. Камплексныя лікі.

    def: Камплексным лікам будзем называць упарадкаваную пару рэчаісных лікаў . Пры гэтым называецца рэчаіснаю, а – уяўнаю часткаю камплекснага ліку і абазначаюцца адпаведна . Мноства камплексных лікаў ёсць .

   Камплексны  лік  геаметрычна выяўляецца як пункт з каардынатамі у прамавугольнай дэкартавай сыстэме каардынатаў, або як радыюс-вектар , праекцыі якога на восі каардынатаў і адпаведна роўныя і . Пры гэтым плоскасць называецца камплекснаю плоскасцю.

   Камплексны  лік  атаясамляецца з рэчаісным лікам, г.зн. . Гэта дазваляе разглядаць мноства рэчаісных лікаў як падмноства мноства камплексных лікаў , г.зн. . На камплекснай плоскасці рэчаісныя лікі падаюцца як пункты восі і таму яе называюць рэчаіснаю воссю. Камплексны лік называецца ўяўным лікам. Уяўныя лікі на камплекснай плоскасці падаюцца як пункты восі , і таму гэтая вось называецца ўяўнаю воссю.

   Уяўны лік называецца ўяўнаю адзінкай і абазначаецца літарай , г.зн. . Чаму роўны лік ? (=1)

   def: Два камплексныя лікі і называюцца роўнымі , калі . Камплексны лік называецца нулём, .

   def: Сумаю двух камплексных лікаў і называецца камплексны лік . Здабыткам двух камплексных лікаў і называецца камплексны лік  .

   Вылічым , г.зн. . Гэта азначае, што выраз пры мае нулявое значэнне, або што раўнанне мае развязак . Затым вылічым здабытак рэчаіснага ліку на ўяўную адзінку – атрымаўся ўяўны лік. З гэтай прычыны ўяўны лік абазначаюць . Мае месца наступнае пераўтварэнне . Па гэтай прычыне камплексны лік падаецца ў выглядзе , які называецца алгебраічнаю формаю камплекснага ліку.

   З алгебраічнай формы камплекснага ліку вынікае правіла: здабытак двух камплексных лікаў можна вылічаць як здабытак мнагаскладаў, замяняючы пры гэтым на . Сапраўды,

   

   def: Камплексны лік называюць розніцаю лікаў і , , калі . З гэтага азначэння вынікае, што . Чаму?

   def: Камплексны лік называецца камплексна-спалучаным ліку і абазначаецца   Відочныя наступныя ўласцівасці камплексна-спалучаных лікаў:

   def: Дзеллю ад дзялення ліку на лік называецца такі камплексны лік , які праўдзіць роўнасць                                                          .                         (1)

     Пры гэтым дзель абазначаюць або .

   Пераканаемся, што пры ўсіх і , калі , раўнанне (1) мае адзіны развязак. Сапраўды, памножым абедзве часткі роўнасці (1) на лік і атрымаем раўнанне

   

,

раўназначнае  раўнанню (1). Пасля перамнажэння камплексных  лікаў атрымаем

   

.

   Падзелім  гэтую роўнасць на і заменім на , атрымаем