Криволинейный интеграл

Рис. 7

Если воспользоваться  аппаратом векторной алгебры, то

 

A = F · ℓ, т.е.

работа равна скалярному произведению векторов F и ℓ.

     Оправляясь  от этого равенства мы можем вычислить работу переменной силы по спрямляемой кривой.

     Пусть L – спрямляемая кривая без двойных точек (рис. 8).

  y

 

 

 

 

 

                                                            O      x

 

Рис. 8

Разобьём кривую АВ точками  A = H₀ < H₁ < H₂ < …< H_n = B, где А – начало кривой, В – конец кривой. Последовательно соединив эти точки, мы получим ломаную линию. Возьмём звено [H_k, H_k+1] этой ломаной. Проекция вектора H_kH_k+1 на координатные оси будут отрезки x_k+1 – x_k и y_k+1 – y_k. Следовательно, H_kH_k+1 = (x_k+1 – x_k)i + (y_k+1 – y_k)j = Δx_ki + Δy_kj.

     Пусть F = F(x, y) – сила, действующая в точке (x, y) кривой. На участке H_kH_k+1 кривой берём произвольную точку R_k(a_k, b_k) и предполагаем, что вдоль отрезка [H_k, H_k+1] действует сила F(a_k, b_k). Работа этой силы по отрезку [Hk, Hk₊₁] будет равна

 

A_k = F(a_k, b_k) · H_kH_k+1.

 

 

 

Тогда работа по ломаной Т будет равна

 

A(T) = (a_k, b_k) · H_kH_k+1.

 

Если записать силу в проекциях  на координатные оси, то

F(x,y) = P(x, y)I + Q(x, y)j.

Тогда работа по ломаной будет равна

 

A(T) = (a_k, b_k)Δx_k + Q(a_k, b_k)Δy_k.

Устремив к нулю наибольшее из чисел | Δx_k| и | Δy_k| получим:

 

A = lim (a_k, b_k)·Δ_k + Q(a_k, b_k)·Δy_k)       (32)

                                                n→∞

                                               (λ→0)

Правая часть равенства (32) является

 

, где P = P(x, y), Q = Q(x,y)

F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) – переменная сила на криволинейном участке АВ.

     Итак, имеем

 

A =             (33)

Для пространственной кривой АВ (или L)

 

A =               (34)

 

 

Пример 7.

Найти работу силы F = 4x⁶i + xyj вдоль кривой y = x³ от точки О(0;0) до точки В(1;1).

 

 

Решение.

По формуле (33) находим  A = ⁶dx + xy dy.

Так как P(x, y) = 4x⁶, Q(x, y) = xy и y = x³, то Q(x, y) = x· x³ = x⁴.

dy = d(x³) = 3x²dx

Тогда A = ⁶dx + x⁴ ·3x²dx = = ⁶ + 3x⁶)dx = = ⁶dx = 7·  | = x⁷ | =

= 1⁷ – 0⁷ = 1.

 

Пример 8.

Вычислить работу, совершаемую  силой тяжести при перемещении  точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.

 

Решение.

Возьмём прямоугольную систему  координат так, чтобы направление  оси OZ совпадало с направление силы тяжести. Тогда действующая на точку сила

F = mgh, а её проекции на оси координат F_x = P = 0, F_y = Q = 0, F_z = R = mg.

По формуле (34)

 

A = .

Подставив в формулу исходные данные, получим

A = = = mg = mgz  |   = mg(z_B – z_A).

Мы видим, что в данном случае работа зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

 

Ответ: A = mg(z_B – z_A).  

Пример 9. 

Найти работу силового поля, в каждой точке (x, y) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) p = (x + y)i – xj, когда точка массы m описывает окружность x – a cos t, y = a sin t, двигаясь по ходу часовой стрелки.

 

Решение.

F = m·p = m((x + y)i – xj) = m(x + y)i – mxj.

Имеем F_x = P(x, y) = m(x + y)

            F_y = Q(x,y) = - mx.

По формуле (33)

 

A = + Qdy = – mx dy =

=

= 

= a²(-cost sint – sin²t – cos²t)dt = -ma² sin 2t + 1)dt =

= - ma²(-· cos 2t   |  + t  |   ) = - ma²(- (cos (-4π) – cos 2·0)) + (-2π -0)) =

= -ma²(-(cos 4π – cos 0) + 2π) = - ma²(- (1-1) - 2π) = ma²(0 + 2π) = 2πma².

 

Ответ: А = 2πma².

 

Пример 10.

В каждой точке (x, y) эллипса x = a cos t, y = b sin t приложена сила F, равная по величине расстоянию от точки (x, y) до центра эллипса и направлена к центру эллипса.

а) Вычислить работу силы F при перемещении материальной точки М массы m вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадрате.

б) Найти работу, если точка  М обходит весь эллипс в положительном  направлении.

 

Решение.

Вычислим значение величины F переменной силы F, используя условие задачи. Расстояние от точки (x, y) до центра эллипса (0;0) будет равно

d =   = . Следовательно, d = . Составляющие силы F по координатным осям равны: F_x = P(x, y) = -x,

F_y = Q(x, y) = -y (знак «-» в обоих случаях из-за того, что силы направлены от точки (x, y) к точке (0;0)).

     По формуле  (33)

A = + Q(x, y) dy = -.

а) Вычислим этот интеграл по дуге эллипса, лежащей в первом квадрате. Так как x = a cost, y = b sin t, то dx = - a sint dt, dy = b cost dt.

В случае а) точке А соответствует t = 0, а точке В – t = .

Имеем A = -

= a²cost sint – b²cost sint)dt = (a² – b²)dt =

= (a² – b²)sin2tdt = ·(-cos2t) |  = - (a² – b²)(cosπ – cos0) =

= - (a² – b²)·(-1-1) = (a² – b²).

б) Вычислим работу по всему  эллипсу. Так как в этом случае безразлично, какую точку брать за начало пути интегрирования, то будем считать, что началу пути соответствует точка t = 0, тогда концу будет соответствовать точка t = 0, тогда концу будет соответствовать точка t = 2π. Воспользуемся формулой (33) и данными случая а).

A = - = = (-cos2t) | = (-cos 4π + cos 0) =

= (-1 +1) = 0.

В случае б) мы получили, что  интеграл по замкнутому контуру равен  нулю. Это можно объяснить тем, что выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом. Действительно, P΄_y = (-x)_y΄ = 0, Q_x΄ = (-y)΄_x = 0 и

P_y΄ = Q_x΄.

 

Ответ: а) A = (a² – b²), б) A = 0.

2. Площадь плоской фигуры

     Для вывода  формулы вычисления площади плоской  фигуры будем использовать формулу  Грина – Остроградского.

     Теорема. Пусть в простой замкнутой области D, ограниченной контуром L определены непрерывные функции P(x, y) и Q (x, y), имеющие непрерывные частные производные и . Тогда справедливо следующее равенство:

 

( - )dxdy =                       (35)

                                     D

называемое формулой Грина – Остроградского.

     Замечания.

1. Под простой областью понимаем плоскую ограниченную область.
2. В формуле (35) интеграл по контуру L берётся в положительном направлении.

Выведем формулу для вычисления площади плоской фигуры.

     Пусть область  D в плоскости XOY ограничена контуром L. Из теории двойных интегралов известно, что двойной интеграл ƒ(x, y)dxdy

                                                                                                                               D

при ƒ(x, y) = 1 выражает площадь самой области интегрирования D. Следовательно, если в формуле Грина – Остроградского (35) подобрать

P(x, y) и Q(x, y) такими, чтобы - = 1, то площадь S области D будет равна  S = dxdy =                              (36)

       D

Если положить в формуле (36) Q(x, y) = x и P(x,y) = 0 или Q(x, y) = 0 и        P(x, y) = -y, то в обоих случаях будет: - = 1 и получим:

S =                                 (37)

или S = -                         (38)

Складывая почленно равенства (37) и (38), получим:

2S = - ydx, S = – ydx. (39)

Таким образом, для вычисления площади плоской фигуры можно  пользоваться одной из формул (37), (38), (39).

 

 

Пример 11.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = a cost, y = b sint.

 

Решение.

 

                                                        y

 

 

    

 

                                                              O  x

 

 

 

Рис. 9

Для вычисления площади эллипса  воспользуемся формулой (39)

S = - ydx = =

= =

= ab cos²t + ab sin²t)dt =   ²t + sin²t)dt =   = abt |  =

=   ·(2π – 0) = = πab.

Ответ: S эллипса = πab.

Пример 12.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидной x = a cos³t, y = a sin³t.

Решение.

 

 

 

                                                 

                                                   Рис. 10

При обхождении астроиды в  положительном направлении параметр t изменяется от 0 до 2π (рис. 10).

Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (39)

 

S = – ydx.

 

S = ³t d(a sin³t) – a sin³t d (a cos³t) = cos³t ·a·3sin²t·cost dt –

-a sin³t·a·3 cos³t·(-sint dt) = a²cos²t·sin²t(cos²t + sin²t)dt =

=   ²2t dt =   dt =   1-cos4t)dt =   (t - sin 4t)  |  =

=   ((2π – 0) - (sin 8π – sin 0)) =   (2π - · 0) = .

 

Ответ: S астр =

 

3. Приложения криволинейных интегралов к вычислению элементов векторного поля

     Линейным интегралом вектора а вдоль линии L называется криволинейный интеграл

 

C = _xdx + a_ydy  + a_zdz.                            (40)

 

В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении  точки вдоль линии  L.

     В случае  замкнутой кривой этот интеграл  называется циркуляцией  поля  вектора а по контуру L. Циркуляция характеризует вращательную способность поля на контуре L.

 

Пример 13.

Вычислить циркуляцию поля вектора r = xj вдоль окружности x = a cost,

y = a sint.

 

Решение.

Применим формулу (40).

C = _xdx + a_ydy  + a_zdz = = =

= = a²dt = dt =

= (t + sin2t) |  = ((2π – 0) + (sin 4π – sin 0)) =   (2π + ·0) =

= ·2π = πa²

 

Пример 14.

Вычислим циркуляцию поля вектора p = (x-2)i + (x + y)j – 2zk вдоль периметра треугольника с вершинами А(1;0), В (0;1), С (0;0;1)

 

z

                                                               

                                                                С(0;0;1)

 

                                                                                 

                                                                                       B(0;1;0)                                                                          

                                                                                                        y

                                                  A(1;0;0)

x

Рис. 11

По формуле (40)

C = dx + (x+y)dy – 2zdz

      ABCA

Периметр АВСА треугольника состоит из трёх отрезков АВ, ВС, СА. Поэтому криволинейный интеграл по контуру АВСА равен сумме интегралов по отрезкам АВ, ВС и СА. Составим уравнения сторон АВ, ВС, СА.

1)(АВ): = = ,

             

              = , = , z=0,

         

              x – 1 = -y, x + y = 1

(AB): x +y =1, z = 0 или y = -x + 1, z = 0.

 

3. (BC):  = =

         

            = = ,

             x = 0,   = ,

       

              x = 0, y-1 = -z,

 

(BC): x = 0, y + z = 1 или z = 1-y, x = 0.

 

4. (CA): = = ,

 

           = = ,

 

            = , y = 0,

 

            x-1 = -z, y = 0,

 

(CA): x + z = 1, y = 0 или x = 1-z, y = 0.

 

          ABCA   AB    BC     CA

 

İ₁ =   + (x +y)dy – 2zdz =

        AB      AB

 

= = = = - 3x  |  =

                AB                                          AB

 

= ( - 3 · 0) – ( - 3 · 1) = 0 – (- ) = .

 

İ₂ =

         BC    BC

 

= =

  BC

 

 

= - 2(1-y)(-dy) = =

   BC                                             BC

 

= = 2y –   |   = 2(0-1) - (0² - 1²) = - 2 +   = - .

   BC

 

 

İ₃ = =

        CA      CA