Криволинейный интеграл

xt-align:justify">    В итоге получим:

 

x_c = =  ;

                                                                         (11)

y_c = =

 

Если кривая пространственная, то формулы примут вид:

 

x_c = или x_c = ;

                                                                         (12)

y_c =   или y_c =

 

z_c =   или z_c =

 

Пример 2.

Найти координаты центра тяжести  полуокружности x² + y² = r², y ≥ 0, если плотность ƍ(x, y) = y

Решение.

                                                  y

                                                x² + y² = r²

 

                                                      О                  x

 

                                                        Рис. 3

Так как полуокружность симметрична  относительно оси Oy, то x_c = 0, y_c вычислим по формуле (11)

y_c =   , ƍ(x, y) = y

y_c =                                                       (13)

 

Для вычисления криволинейных  интегралов перейдём к полярным координатам.

    Положим x = r cos t,  y = r sin t, 0 ≤ t ≤ π

Тогда dℓ = dt = d = dt=

= dt = r dt

Подставим параметрические  данные в формулу (13)

 

y_c  = = = r · = -r =

 

= - r ·  = - r · = r.

 

Ответ: x_c = 0, y_c = r

 

Пример 3.

Найти координаты центра тяжести  дуги АВ винтовой линии x = a cos t,

y = a sin t, z = bt, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки, т.е. ƍ (x, y, z) = kbt, t_A = 0, t_B = π.

 

Решение.

Для нахождения координаты центра тяжести применим формулы (12). Вычислим криволинейные интегралы, содержащиеся в этих формулах, преобразуя их в обыкновенные интегралы с  переменной t.

 

x΄_t = (a cost)_t΄ = - a sin t,

y΄_t = (a sin t)_t΄ = a cos t,

z΄_t = (bt)΄ = b

dℓ = dt = dt =

 

=  dt = dt.

 

1. I΄₁ = = dt =

 

= kab =

Вычислим  методом интегрирования по частям:

 

= uv | -

 

Положим

u=t,

dv = cos t dt

Тогда du = dt,   
v = ʃcos t dt = sin t

=t · sin t | - = (π· sin π – 0 · sin 0) + cos t |  =

 

= 0 + (cos π – cos 0) = - 1 -1 = -2

Имеем I΄₁ = -2kab .

 

2. I΄₂ = = dt =

 

= kab .

 

Вычислим  , применяя метод интегрирования по частям.

Положим u=t, dv = sin t dt.

Тогда  du = dt, v = ʃ sin t dt = - cos t.

  + = - π cos π - 0·cos 0) + sin t |  =

 

= - (π · (-1) – 0) + (sin π  – sin 0) = π

I΄₂ = π kab .

 

3. I΄₃ = = dt =

 

= kb² = kb² ·   | =

 

= kb² · (π³ kb² .

 

I΄₃ = kb² · (π³ kb²

 

4. I΄₄ = = dt =

 

= kb = kb ·   | =

 

=  kb · (π² - 0²) =  π² kb ·

 

I΄₄ = kb · (π² - 0²) =  π² kb · .

 

Подставляя значения интегралов İ₁, İ₂, İ₃, İ₄ в формулы (12), получим

 

x_c = = = - ,

 

y_c = = = ,

 

          z_c =  = = .

 

Ответ: x_{c =} - ; y_c = ;  z_c =

 

2.3. Момент инерции материальной кривой

    По определению момент инерции материальной точки относительно точки равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния между точками, а момент инерции точки относительно прямой (плоскости) равен произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до прямой (плоскости). Момент инерции системы материальных точек относительно точки, прямой или плоскости равен сумме моментов инерции всех точек системы.

    Метод получения  формул для вычисления моментов  инерции материальной кривой  аналогичен методу получения  формул для вычисления координат  центра тяжести.

  Разбиваем кривую L точками Q_k на части, делаем предположение об однородности таких частей, выбираем на частях точки и в них сосредоточиваем всю массу соответствующих частей. В результате получим систему материальных точек P_k с массами ƍ(a_k, b_k) ·Δℓ_k.

     Например, если кривая плоская, то момент инерции кривой относительно оси ох равен сумме моментов инерции относительно этой оси найденной системы материальных точек, т.е.

İ_x⁽ⁿ⁾ = .            (14)

     Правая часть равенства (14) представляет собой интегральную сумму непрерывной функции f(x,y)=y²·ƍ(x,y)  на кривой L. Предел этой суммы называют моментом кривой относительно оси ОХ, т.е.

İ_x =                    (15)

 Аналогичным образом  получается формула, выражающая  момент кривой относительно оси  ОУ, т.е.

İ_y = dℓ                  (16)

 

      Момент  инерции этой же кривой относительно  точки М(p,q) находится по формуле

İ_M =       (17)

      Момент инерции этой же кривой относительно начала координат находится по формуле

İ₀ = (x² + y²)·ƍ(x, y)dℓ                     (18)

  Аналогичные формулы  имеют место и для пространственной  кривой.

  Момент инерции пространственной  кривой относительно осей координат  находится по формулам

İ_x = ,               (19)

İ_y = ,                (20)

İ_z =                  (21)

   Момент инерции пространственной кривой относительно начала координат находится по формуле

İ₀ =           (22)

Пример 4.

Вычислить момент инерции  относительно аппликаты одного витка  однородной винтовой линии заданной параметрически

x=r cos ωt, y=r sin ωt, z=vt, где 0≤ t ≤ 2π   и  ƍ (x, y, z)=ƍ

Решение.

Воспользуемся формулой (21)

İ_z =

x² + y² = r²cos²ωt + r²sin²ωt = r²(cos²ωt + sin²ωt) = r².

dℓ = dt

x΄_t = (r cos ωt)΄_t = - rω sin ωt,

y΄_t = rω cos ωt, z΄_t = v.

dℓ = √r²ω²sin²ωt + r²ω²cos²ωt + v²dt = √r²ω²(sin²ωt + cos²ωt) + ν²d t=√r²ω² + ν²dt =

= dt =  dt.

Имеем:

İ_z = dt = r²·ƍ· =

 

= r²ƍ·  ·t (2π -0) = r²ƍ · · (2π -0) =

= 2πr²ƍ·.

Ответ: İ_z = 2πr²ƍ·.

2.4. Длина кривой.

     Непосредственно из определения криволинейного интеграла I рода следует, что длина l кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле       ℓ =                               (23)

  Пример 5.

Найти длину кордиоиды x = 2a cos t – a cos 2t, y = 2a sin – a sin 2t.

 

 

 

 

 Решение.

                              y

 

 

                                                              O                                         x

 

 

                                                                  Рис.4

 

x= 2a cos t – a cos 2t,

y= 2a sin – a sin 2t.

  Для вычисления длины кaрдиоиды воспользуемся формулой (23). Так как кривая задана параметрически, то

ℓ = = dt

x΄_t = (2a cos t – a cos 2t)΄_t  = - 2a sin t + 2a sin 2t = 2a (sin 2t – sin t)

y΄_t = (2a sin t – a sin 2t)´_t = 2a cos t – 2a cos 2t = 2a(cos t – cos 2t)

(x´_t)² +  (y´_t)² = (2a(sin 2t – sin t))² + (2a (cost – cos 2t))²= 4a²(sin²2t – 2sin2t·sint + sin²t + cos²t – 2costcos2t + cos²2t) = 4a²(2 – 2(sin2tsint + cos2tcost)) = 4a²·2(1 – cos(2t - t)) = 4a²·2sin²

= 2²  a sin

 

Имеем

ℓ =   a sin dt = 2 dt = 2a(-2cos ) |   =

=  -4 a (cos     - cos ) = -4 a (cosπ- cos0) = -4a(-1-1) = 8 a.

Ответ: ℓ = 8 a

 

2.5. Площадь цилиндрической поверхности

   Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая АВ, лежащая в плоскости  ХOY, а образующая параллельна оси OZ (рис. 5), то площадь поверхности, задаваемой функцией z=ƒ(x,y) находится по формуле

S =  (24)

 z

 

 

 

y

 

x

 

Рис. 5

 Пример 6.

 Вычислить площадь  цилиндрической поверхности над  плоскостью XOY, срезанной сверху поверхностью z= x+y, если образующая параллельна оси oz, а направляющей является участок прямой y = 3x + 1 от точки A(1,4) до точки B(2; 6).

  Решение.

  Воспользуемся формулой (24).

  S = ∫ ƒ(x,y)dℓ,  dℓ =dx = dx =dx =

= dx

 

S = ∫(x+y)· dx =   dx= dx =

 ·(  + x)  | = (2x²+x) | = ((2·2²+2)-(2·1²+1)) =

= (10-3)=7

  Ответ: S = 7

3. Криволинейные  интегралы второго рода

3.1. Основные понятия

     Криволинейный интеграл II рода определяется по аналогии с криволинейным интегралом I рода.

    Пусть в плоскости хочу задана непрерывная кривая АВ (или l)  и функции Р(х, у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками М_{0 =}А, М_1,М_2, …, М_n=В·в направлении от точки А к точке В на n дуг М_i-1М_i с длинами Δl_i (i=1,2,…n).

    На каждой «элементарной дуге» M_i-1M_i возьмем точку (x_i, y_i) и составим сумму вида

Σ P (x_i,y_i)·Δx_i,                           (25)

где Δx_i = x_i - x_i-1 – проекция дуги M_{i- 1}M_i на ось OX (рис.4).

 y

 

 

 

 

 O x

 

                                                  Рис. 6

  Сумму (25) называют  интегральной суммой для функции  P(x,y) по переменной x. Таких сумм можно составить бесчисленное множество.

  Если при  λ = max Δℓ_i→0  интегральная сумма (23) имеет конечный предел,

                                    1 ≤ i ≤ n

не зависящий ни от способа  разбиения кривой АВ, ни от выбора точек (х_i,y_i), то его называют криволинейным интегралом по координате х (или II рода) от функции P(x,y) по кривой АВ и обозначают

 или           (26)

Таким образом

 lim (x_i, y_i) Δx_i        (27)

                                                                                 n→∞

                                                                                (λ→0)

    Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x,y) по координате y:

= lim (x_i, y_i) Δy_i ,       (28)

                                                                              n→∞

                                                                            (λ→0)

  где Δy_i – проекция дуги M_i-1M_i на ось OY.

  Криволинейный интеграл  II рода общего вида

∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy

                                                 AB

определяется равенством.

  ∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy=∫P(x,y)dx + ∫Q(x,y)dy                      (29)

АВ                                                           АВ                          АВ

 

 Криволинейный интеграл

 ∫ P(x, y, z)dx+ Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz по пространственной кривой L

 L

 определяется аналогично.

    Если кривая L задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t), α ≤ t ≤ β, то

∫ P(x,y)dx = (φ(t)), ψ(t)), φ´(t)) dt                                  (30)

L

  Из равенства (30) следует,  что вычисление криволинейного  интеграла II рода сводится к вычислению интеграла по отрезку.

   Теорема (условные  существования криволинейного интеграла  II рода). Если  кривая АВ гладкая, а функция P(x,y) и Q(x,y) непрерывны на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

 

3.2. Свойства криволинейных  интегралов II рода

 

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

 

= -

2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по её частям, т.е.

 

+

 

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

 

 

= 0,

Аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси OY:

 

= 0.

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ∮) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

 

4.Применение криволинейных  интегралов II рода к решению задач

4.1. Вычисление  работы силы кривой

 

    Будем считать,  что кривая плоская (для простоты  дальнейших вычислений). Из курса  физики известно, что работа постоянной  силы вдоль прямолинейного участка  пути равна произведению величины  силы на длину пути и на  косинус угла между направлением  силы и направлением пути 

(рис. 7).

A = |F| ·|b|·cos φ                                      (31)

                                                       y 

 

 

                                                        O                                        x