Криволинейный интеграл

Введение

    Областью интегрирования определённого интеграла является отрезок на прямой; двойного интеграла – некоторая область в плоскости; тройного – некоторая область в пространстве.

    Однако существуют  интегралы, областью интегрирования  которых является кривая, расположенная  в плоскости или в пространстве. Такие интегралы называются криволинейными  интегралами.

    Аппарат криволинейных  интегралов значительно расширяет  возможности приложений математического  анализа к решению задач из  механики и физики. Особенно большое  значение криволинейные интегралы  имеют в теории поля и в  теории функций комплексной переменной.

    Все важные  математические понятия получены  в связи с исследованием тех  или иных практических проблем.  Практические задачи также привели  к различным криволинейным интегралам.

    Перечислим некоторые  из приложений криволинейных   интегралов: вычисление массы материальной  линии с переменной линейной  плоскостью, работы силового поля, площади плоской фигуры и цилиндрической  поверхности и др.

     Цель работы: исследовать практическое приложение  криволинейных интегралов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проработать теоретический материал по теме «Приложения криволинейных интегралов.
2. Рассмотреть примеры приложений криволинейных интегралов  I и II рода.
3. Рассмотреть приложения криволинейных интегралов к решению задач математики, физики, механики.

   

 

1. Криволинейные интегралы первого рода.
1. Основные понятия

     Пусть на плоскости  XOY задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию ƒ(x,y), определённую в точках дуги АВ. Разобьём кривую АВ точками М0 = А, М1, М2 ,…, Mn = B на n произвольных дуг Мi-1, Mi длинами Δ ℓi (i=1,2,…n) (рис. 1)

                 y                                                                              

 

 

                                                                                                                                                    

 

 

              О                                                                                                   x

 

Рис. 1

    Выберем на каждой дуге Mi-1 Mi произвольную точку (xi, yi) и составим сумму .    (1)

    Её называю  интегральной суммой для функции  ƒ(x, y) по кривой АВ.

    Пусть λ = max Δℓi – наибольшая из длин дуг деления. Если при λ→ 0 (тогда

                    1≤i≤n

n → ∞) существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции ƒ(x, y) по длине дуги кривой АВ (или I рода) и обозначают ʃ ƒ(x, y) dℓ ( или ʃ ƒ(x, y) dℓ).

                                                        AB                                     L

Таким образом, по определению,

                                  ʃ ƒ(x, y) dℓ = lim Σ ƒ(xi, yi) Δℓi       (2)

                                                AB                             n→∞

                                                                                 (λ→0)

    Так как курсовая работа посвящена приложениям криволинейных интегралов, то примем без доказательств основные теоретические положения, которые будут использоваться в приложениях.

    Теорема (условие  существования криволинейного интеграла  I рода). Если функция ƒ(x, y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой ( в каждой точке (x, y) ϵ L существует касательная к данной кривой и положение её непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

     Аналогичным  образом вводится понятие криволинейного  интеграла функции ƒ(x, y, z) по пространственной кривой L.

 

2. Основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги

(I рода)

1. ʃ ƒ(x, y)dℓ = ʃ ƒ(x, y)dℓ, то есть криволинейный интеграл I рода не

    AB                          BA

    зависит от направления пути интегрирования.

2. ʃ с ƒ(x, y)dℓ = c ʃ ƒ(x,y)dℓ, c=const.

      L                                    L

3. ʃ (ƒ1(x, y) ± ƒ₂(x, y)dℓ = ʃ ƒ₁(x, y) dℓ + ʃ ƒ₂(x, y) dℓ

L                                                       L                                L

4. ʃ ƒ(x, y) dℓ = ʃ ƒ(x, y) dℓ + ʃ ƒ(x, y) dℓ, если путь интегрирования L

L                             L₁                                           L₂

разбит на части L₁ и L₂ такие, что L=L₁ ᴗL₂ и L₁ и L₂ имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство ƒ₁(x, y) ≤ ƒ₂(x, y), то            ʃ ƒ₁(x, y) dℓ ≤ ʃ ƒ₂(x, y) dℓ

      L                               L

6. ʃ dℓ + lim   Σ Δℓ_i = ℓ, где ℓ - длина кривой АВ.

     АВ           n→∞  i=1

              (λ→0)

Это свойство используется для вычисления длин дуги кривой.

7. Если функция ƒ(x, y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой  найдётся точка (x_c, y_c) такая, что

ʃ ƒ(x, y) dℓ = ƒ(x_c, y_c)·ℓ (теорема о среднем)

                                  AB

2. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла I рода

2.1 Масса кривой

Предположим, что дана материальная кривая L. Если кривая однородна, то отношение её массы к длине называется линейной плотностью кривой. Если кривая неоднородна, то плотность её будет различной в разных точках. Для определения плотности кривой в точке P берут участок кривой, содержащей эту точку. Величина ƍ_ср, равная отношению массы взятого участка кривой к его длине, называется средней плотностью кривой на взятом участке:

ƍ_ср =

Предел этой величины, когда  длина Δℓ стремиться к нулю, называют плотностью кривой L в точке P:

ƍ(P) = lim

       Δℓ→0

    Сформулируем обратную задачу: найти массу спрямляемой кривой L, плотность которой – непрерывная функция точки. Предполагая отсутствие двойных точек кривой (рис. 2), разбиваем её точками

Q_{0 =} A < Q₁ < Q₂ < … <Q_n = B на части. В каждой части [Q_k, Q_k+1] берём произвольную точку P_k и составляем сумму:

Σ ƍ(P_k)Δℓ_k,    (3)

                                               k=o

где Δℓ_k – длина участка кривой [Q_k, Q_k+1].

 

 

 

 

 

                                              

 

 

                                                               y

 

 

 

 

                                                              O                                         x

            

 

 

Рис. 2

Сумма (3) отличается от массы  кривой L, потому что участки кривой неоднородны. Сумма может быть больше массы кривой, если точки P_k выбраны так, что в них функция ƍ(P) принимает самое большое значение на участке

[Q_k, Q_k+1]. Суммы может быть и меньше массы кривой.

    Обозначим через Т – разбиение кривой точками Q_k и через λ(Т) – наибольшее из чисел Δℓ_k. Предел последней суммы при λ(Т) → 0 даст нам массу кривой

m  =     lim  Σ ƍ(P_k)Δℓ_k          (4)

                                                                        λ(T)→0  k=0

Если отвлечься от физического  смысла функции ƍ(P) и заменить её произвольной функцией ƒ(P), то

Σ  ƒ(P_k)·Δℓ_k

                                                                                                                              k=0

является интегральной суммой функции ƒ(Р) по кривой L, а предел её при λ(Т)→0 является криволинейным интегралом I рода

ʃ ƒ(P)dℓ     =     lim     Σ   ƒ(P_k) Δℓ_k    (5)

                                                 L                               λ(T)→0    k=0

Тогда, из равенства (4) следует, что

m = ʃ ƍ(P)dℓ                   (6)

                                                                        L

Докажем существования интеграла (5), а следовательно, и (6) при условии, что функция ƒ(Р) (или ƍ(Р)) непрерывна.

    Если x = φ(ℓ), y = Ψ(ℓ) – уравнение кривой (параметр ℓ - длина кривой), то интегральная сумма записывается в виде:

 

Σ  ƒ(φ(C_k), Ψ(C_k))Δℓ_k,

                                                                     k=0

где ℓ_k ≤ С_k ≤ ℓ_k+1 и φ(C_k) и Ψ(С_k) – координаты точки P_k плоской кривой L. Тогда правая часть равенства (5) есть интегральная сумма функции

 ƒ(φ(ℓ), Ψ(ℓ)) по отрезку [0, ℓ]. Так как функция ƒ(Р) непрерывна на отрезке, то предел интегральных сумм существует и равен .

Значит, существует предел и  правой части равенства (5) и при  этом

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ =       (7)

                                                  L

Таким образом, криволинейный  интеграл непрерывной функции по спрямляемой кривой существует.

    Вычисление криволинейных  интегралов I рода иногда бывает затруднительным. Если перейти к параметрическому заданию кривой

 

x = φ(t),

y = Ψ(t),       α < t < β, то

 

интеграл (7) записывается в виде

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ =        (8)

                      L

Если уравнение кривой задано в явном виде, то интеграл (7) запишется в виде

 

ʃ ƒ(x, y)dℓ = dx      (9)

                                   L

 

Пример 1.

Найти массу дуги АВ кривой y = ln x, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: X_A = 1, X_B = 3.

 

Решение.

Применим формулу (6)

m = ʃ ƍ(P)dℓ

                                                                                         AB

Так как уравнение кривой задано в явном виде, то преобразуем  данный криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной x.

 

dℓ =   dx; y΄ = (ln x)΄ = ,

ƍ = kx²

m = ʃ ƍ dℓ = ·  dx = k · dx = k ^½ dx =

        AB

Введём замену

1+x² = t

d(1+x²) = dt; 2xdx = dt, xdx = dt

 

m = · k dt = k· · ·(1 + x²)^3/2 |  = ((1+ 3²)^3/2 – (1 + 1)^3/2)=

 

= (10^3/2 – 2^3/2) = (10 - 2) = (5 - 1).

 

Ответ: m =   (5 - 1)

 

 

 

 

2.2. Координаты центра тяжести системы материальных точек

    Пусть L – материальная кривая и ƍ(x, y) – её плотность в точке (x, y). Разобьём кривую на части [Q_k, Q_k+1]. Будем предполагать, что части однородны и плотность их равна плотности в точке P_k(a_k, b_k). Сосредоточив массу участка [Q_k, Q_k+1] в точке P_k, получим систему материальных точек P_k с массами

ƍ(a_k, b_k)·Δℓ_k. Координаты центра тяжести системы материальных точек вычисляются по формулам:

 

                               x_c⁽ⁿ⁾ = ,                      

                              (10)

 

                                y_c⁽ⁿ⁾ = .

Чтобы получить формулы для  нахождения координаты центра тяжести  кривой, надо в равенствах (10) перейти  к пределу при λ(Т)→0.