Контрольная работа по «Математические методы в экономике»

 

Инвестиции, млн.р.	Прирост выпуска продукции, млн. р.
	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3	Предприятие 4
50	23	24	25	22
100	32	31	33	30
150	44	43	42	41
200	53	52	54	55
250	70	72	71	73

 Решение:

Математическая модель задачи распределения инвестиций. Задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Указано n предприятий, где требуется построить или реконструировать основные производственные фонды, для чего выделено b рублей. Обозначим через fi(xi) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит xi рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (x1, x2, ... , xn) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

,

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

x1 + x2 + ... + xn = b,

причем, считается, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения xj = 0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции fj(xj) заданы.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния x примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk(x) определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают x рублей. Параметр x может изменяться от 0 до b. Если из x рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, остальные x - xk рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (К-1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль Fk-1(x - xk). Тогда прибыль k предприятий будет равна fk(xk) + Fk-1(x - xk). Надо выбрать такое значение xk между 0 и x, чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

Fk(x)=max{fk(xk) + Fk-1(x-xk)}

0 £ xk £ x

для k = 2, 3, 4, ... , n . Если же k=1, то F1(x) = f1(x)

Представим решение в виде таблицы:

 

Sk-1	xk	Sk	k=3			k=2			k=1
			f3(x3)+Z4(s3)	Z3(s2)	x3(s2)	f2(x2)+Z3(s2)	Z2(s1)	x2(s1)	f1(x1)+Z2(s1)	Z1(s0)	x1(s0)
50	0	50	0+22=22	25	50	0+25=25	25	0	0+24=24	24	0
	50	0	25+0=25			24+0=24			23+0=23
100	0	100	0+30=30	47	50	0+33=33	49	50	0+31=31	47	50
	50	50	22+25=47			25+24=49			24+23=47
	100	0	33+0=33			31+0=31			32+0=32
150	0	150	0+41=41	55	50 100	0+42=42	57	50	0+43=43	56	100
	50	100	25+30=55			24+33=57			23+31=54
	100	50	33+22=55			31+25=56			32+24=56
	150	0	42+0=42			43+0=43			44+0=44
200	0	200	0+55=55	66	50	0+54=54	68	150	0+52=52	68	150
	50	150	25+41=66			24+42=66			23+43=66
	100	100	33+30=63			31+33=64			32+31=63
	150	50	42+22=64			43+25=68			44+24=68
	200	0	54+0=54			52+0=52			53+0=53
250	0	250	0+73=73	80	50	0+71=71	78	50	0+72=72	75	50 100 150
	50	200	25+55=80			24+54=78			23+52=75
	100	150	33+41=74			31+42=73			32+43=75
	150	100	42+30=72			43+33=76			44+31=75
	200	50	54+22=76			52+25=77			53+24=77
	250	0	71+0=71			72+0=72			70+0=70

 

 

Получаем: Z1*(250) = 80 тыс. ден. ед. = Zmax при x1* = x1*(250) = 50.

s1*= 250 – 50 = 200; x2*= x2*(200) = 50;

s2*= 200 – 50 = 150; x3*= x3*(150) = 100.

s3* = 150 – 100 = 50; x4* = x4*(50) = 50.

То есть, Х* = (50; 100; 50; 50).

Максимум суммарной прибыли равен 80 тыс.ден.ед. при условии, что первому предприятию выделяется 50; второму – 100; третьему – 50 и четвертому – 50 тыс.ден.ед.

 

 

 

 

 

 

Задача № 4.

 

Дана упорядоченная структурно-временная таблица перечня работ. Требуется:

а) построить сетевой график;

б) определить критический путь;

в) критические работы;

г) резервы времени;

д) коэффициент напряженности работ.

 

Содержание работы	Обозна-чение	Предыдущая работа	Продолжительность, дн.
Исходные данные на изделие	а1		30
Заказ комплектующих деталей	а2	а1	5
Выпуск документации	а3	а1	13
Изготовление деталей	а4	а3	37
Поставка комплектующих деталей	а5	а2	25
Сборка изделия	а6	а4, а5	16
Выпуск документации на испытание	а7	а3	14
Испытание и приемка изделия	а8	а6, а7	19

 

Решение:

Составим таблицу:

 

Работа ai	События i - j	Продолжительность tij
а1	0-1	30
а2	1-2	5
а3	1-3	13
а4	3-4	37
а5	2-4	25
а6	4-5	16
а7	3-5	14
а8	5-6	19

 

Составим график пути:

Выпишем все пути и определим их длительность:

L1: 0–1–2–4–5–6, Т1 = 95

L2: 0–1–3–4–5–6, Т2 = 115

L3: 0–1–3–5–6, Т3 = 76

Таким образом, , следовательно, L2 - критический путь. Построим теперь сетевой график с учетом времени выполнения работ: добавим новые события 4*, 5*:

Рассчитаем ранние сроки наступления событий:

tp(0) = 0;

tp (1) = tp(0) + t(0,1) = 0 + 30 = 30 дн;

tp (2) = tp(1) + t(1,2) = 30 + 5 = 35 дн;

tp (3) = tp(1) + t(1,3) = 30 + 13 = 43 дн;

дн;

 дн;

tp (6) = tp(5) + t(5,6) = 96 + 19 = 115 дн.

Следовательно, критическое время выполнения работ по организации выставки .

Рассчитаем поздние сроки наступления событий:

tп (6) = 115 дн;

tп (5) = tп (6) – t(5,6) = 115 – 19 = 96 дн;

tп (4) = tп (5) – t(4,5) = 96 – 16 = 80 дн;

 дн;

tп (2) = tп (4) – t(2,4) = 80 – 25 = 55 дн;

 дн.

tп (0) = tп (1) – t(0,1) = 30 – 30 = 0 дн.

Для событий на критическом пути самое раннее и самое позднее времена их наступления будут совпадать.

Критический путь длиною 115 дней, следовательно, соответственно критические работы: а1, а3, а4, а6, а8.

Определим четыре вида резерва времени:

1. Полный резерв времени .
2. Частный резерв времени .
3. Свободный резерв времени .
4. Независимый резерв времени .

Расчет резервов времени удобно представить таблицей:

Работа	События i-j	Продолжительность, tij	Начало работы		Конец работы		Резервы
			tp(i)	tп(i)	tp(j)	tп(j)	RП	RЧ	RС	RН
а1	0-1	30	0	0	30	30	0	0	0	0
а2	1-2	5	30	30	35	55	20	20	0	0
а3	1-3	13	30	30	43	43	0	0	0	0
а4	3-4	37	43	43	80	80	0	0	0	0
а5	2-4	25	35	55	80	80	20	0	20	0
а6	4-5	16	43	43	96	96	37	37	37	37
а7	3-5	14	80	80	96	96	2	2	2	2
а8	5-6	19	96	96	115	115	0	0	0	0

 

У критических работ все резервы времени равны нулю.

Коэффициент напряженности работы вычисляется по формуле:

Коэффициент напряженности работ критического пути равен 1. Рассчитаем коэффициенты напряженности для работ а2, а5 и а7:

Данные работы являются промежуточными по степени напряженности сроков их выполнения, т.к. для них .

 

Задача № 5.

Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.

1. Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
2. Если существует риск (вероятность реализации плана П1 – 25%, П2 – 25%, П3 – 50%, то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?

 

План продажи	Величина дохода, ден. ед.
	Д1	Д2	Д3
П1	2	1	3
П2	4	3	1
П3	1	4	2

Решение:

1. Критерий Лапласа определяется:

т.е. если предположить все возможные состояния природы равновероятными: P(S1) = P(S2) = ... = P(Sn), то среди суммы элементов каждой строки платежной матрицы находится максимальное значение, которое делится на все возможные состояния природы.

2. Критерий Максимакса определяется:

,

т.е. среди элементов каждой строки платежной матрицы находится максимальное значение, и среди этих максимальных значений находится максимальное. Этот критерий выражает позицию крайнего оптимизма (азартного игрока). На практике он не используется, так как предполагает необоснованный риск.

3. Критерий Вальда определяется: