Контрольная работа по «Математические методы в экономике»

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

Факультет «Экономика и предпринимательство»

Кафедра «Экономика и экономическая безопасность»

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине:  «Математические методы в экономике»

 

Вариант 8

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск 2013

 

Содержание

Задача №1…………………………………………………………………...3

Задача №2…………………………………………………………………...9

Задача №3………………………………………………………………….13

Задача №4………………………………………………………………….15

Задача №5………………………………………………………………….18

Список используемой литературы……………………………………….20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1.

 

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида 5, 4, 2 кг соответственно, а для единицы изделия В – 4, 2, 6 кг. Производство обеспечено сырьем 810, 980, 786 соответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет 34 д.ед., а единица изделия B – 36 д.ед.

Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции. Необходимо:

а) решить задачу симплексным методом;

б) сформулировать двойственную задачу и найти ее решение;

в) определить интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности;

г) оценить стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину Δp1 = 110, Δp2 = -65, Δp3 = 220 кг, соответственно. Найти новый оптимальный план производства изделий;

д) решить исходную задачу геометрически.

Решение:

Введем обозначения. Пусть x1 – число изделий A, а x2 – число изделий B. Тогда, математическая модель задачи примет вид:

Решим поставленную задачу симплексным методом. Для этого для начала приведем систему уравнений задачи к канонической форме:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,810,980,786)

 

Базис	B	x1	x2	X3	x4	x5
x3	810	5	4	1	0	0
x4	980	4	2	0	1	0
x5	786	2	6	0	0	1
F(X0)	0	-34	-36	0	0	0

 

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: Di = min{810/4; 980/2; 786/6} = 131. Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	810	5	4	1	0	0	2021/2
x4	980	4	2	0	1	0	490
x5	786	2	6	0	0	1	131
F(X1)	0	-34	-36	0	0	0	0

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	X3	x4	x5
x3	286	32/3	0	1	0	-2/3
x4	718	31/3	0	0	1	-1/3
x2	131	1/3	1	0	0	1/6
F(X1)	4716	-22	0	0	0	6

 

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: Di = min{286/3 2/3; 718/3 1/3; 131/1/3} = 78. Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (32/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	286	32/3	0	1	0	-2/3	78
x4	718	31/3	0	0	1	-1/3	2152/5
x2	131	1/3	1	0	0	1/6	393
F(X2)	4716	-22	0	0	0	6	0

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	X3	x4	x5
x1	78	1	0	3/11	0	-2/11
x4	458	0	0	-10/11	1	3/11
x2	105	0	1	-1/11	0	5/22
F(X2)	6432	0	0	6	0	2

 

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

 

Базис	B	x1	x2	X3	x4	x5
x1	78	1	0	3/11	0	-2/11
x4	458	0	0	-10/11	1	3/11
x2	105	0	1	-1/11	0	5/22
F(X3)	6432	0	0	6	0	2

 

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 78;  x2 = 105

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что .

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определим обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. Тогда

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y1 = 6;  y2 = 0;  y3 = 2

Интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья

каждого вида в отдельности имеют вид:

    

Переменная	Теневая цена	Полученный расход сырья	Ограничение по сырью	Допустимое увеличение	Допустимое уменьшение
y1	6	314	810	503,8	286
y2	0	208	980	Не ограничено	458
y3	2	284	786	429	462

 

Оценим стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину Δp1 = 110, Δp2 = -65, Δp3 = 220, соответственно, и найдем новый оптимальный план.

Новая задача линейного программирования имеет вид:

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 68;   x2 = 145;

Т.е. максимальная стоимость продукции выросла на 7532 – 6432 = 1100 ед.

Решим начальную задачу графическим методом.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).