Контрольная работа по «Математические методы в экономике»

Границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

 

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 34x1+36x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 34x1+36x2= 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x1 = 78, x2 = 105. Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

 

 

Задача №2.

 

Задание 1. Записать исходные данные задачи в виде транспортной таблицы, определить, открытой или закрытой является транспортная задача.

Задача 2. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи.

Задача 3. Найти оптимальный план перевозок, отметив при этом единственность или не единственность оптимального плана.

 

Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенных в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с двух складов D и E, площади которых вмещают 30 и 25 т продукции соответственно. В связи с возросшим покупательским спросом фирма планирует расширить площади магазинов, поэтому их потребности в продукции с торговых складов составят 20, 35 и 15 т в день. Чтобы удовлетворить спрос на продукцию, предполагается строительство третьего склада, площадь которого позволяет хранить в нем 15 т продукции ежедневно. Руководство фирмы рассматривает два варианта его размещения. В таблице даны транспортные издержки, соответствующие перевозке продукции с двух существующих складов, и два варианта размещения нового склада.

Оценить две транспортные модели и принять решение, какой вариант размещения нового склада выгоднее. Предполагается, что остальные издержки сохраняют существующие значения.

 

Торговый склад	Транспортные издержки, ден. ед.
	А	В	С
D	5	1	3
E	4	5	4
Вариант 1	2	3	4
Вариант 2	4	3	5

 

Решение:

Запишем исходные данные задачи в виде транспортной таблицы.

 

Покупатели bj Поставщики ai	20	35	15
30	5	1	3
25	4	5	4
15	2/4	3/3	4/5

 

Проверяем, является ли транспортная задача открытой или закрытой:

Модель закрытая, баланс не нарушен.

Экономико-математическая модель оптимального закрепления содержит целевую функцию, систему ограничений (определенные условия) и условия неотрицательности переменных Хij. Общие транспортные расходы (целевая функция) Z определяется следующим выражением:

Система ограничений в транспортной задаче представлена следующими выражениями:

 

Целевая функция (3) определяет совокупные затраты на транспортировку всех партий грузов из всех пунктов отправления во все пункты назначения. Система ограничений (4) отражает требование, согласно которому весь груз из каждого пункта отправления должен быть вывезен.

Система ограничений (5) отражает требование, согласно которому потребность в грузе в каждом пункте назначения должна быть удовлетворена.

Соотношения (1)-(5) с использованием численных значений 1 варианта задания.

Обозначим через Хij количество продукции, которая от i-го склада перевозится к j-му магазину. Тогда система уравнений:

характеризует количество продукции, вывозимого от каждого склада, а система уравнений:

определяет количество продукции, получаемое каждым магазином.

Затраты на перевозку груза:

• к первому магазину:
• ко второму магазину:
• к третьему магазину:

Суммарные затраты Z будут равны:

Математическая постановка задачи: Найти неотрицательное решение системы линейных уравнений (3*) при выполнении ограничений (2*) так, чтобы линейная функция Z (1*) принимала наименьшее значение (минимизировалась).

Определим оптимальный план и затраты по первому варианту. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

 

	1	2	3	Запасы
1	5	1[30]	3	30
2	4[5]	5[5]	4[15]	25
3	2[15]	3	4	15
Потребности	20	35	15

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=0	v2=1	v3=0
u1=0	5	1[30]	3
u2=4	4[5]	5[5]	4[15]
u3=2	2[15]	3	4

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi ≤ cij.

Минимальные затраты составят: .

Определим оптимальный план и затраты по второму варианту. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	Запасы
1	5	1[30]	3	30
2	4[20]	5	4[5]	25
3	4	3[5]	5[10]	15
Потребности	20	35	15

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

 

	v1=3	v2=1	v3=3
u1=0	5	1[30]	3
u2=1	4[20]	5	4[5]
u3=2	4	3[5]	5[10]

 

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij.

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 4

Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	5	1[30]	3	30
2	4[20][-]	5	4[5][+]	25
3	4[+]	3[5]	5[10][-]	15
Потребности	20	35	15

 

Цикл приведен в таблице (3,1; 3,3; 2,3; 2,1).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

 

 

	1	2	3	Запасы
1	5	1[30]	3	30
2	4[10]	5	4[15]	25
3	4[10]	3[5]	5	15
Потребности	20	35	15

 

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

 

	v1=2	v2=1	v3=2
u1=0	5	1[30]	3
u2=2	4[10]	5	4[15]
u3=2	4[10]	3[5]	5

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi ≤ cij.

Минимальные затраты составят:

Оптимальный план по первому варианту менее затратный, следовательно, более выгодный.

 

 

 

Задача №3.

 

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.

Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн. р. с дискретностью 50 млн. р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его назначения представлены предприятиями и содержаться в таблице. Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию