Комплексные числа

                Рис.1

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО КАК  ВЕКТОР

 

Соединим начало координат и точку, изображающую комплексное число , направленным отрезком — вектором, как показано на рис. 1. Что это даёт?

Прежде всего, теперь можно  наглядно представить операции сложения и вычитания комплексных чисел. Изобразим комплексные числа и в виде двух векторов. Затем построим на них параллелограмм. Вектор, соединяющий начало координат с четвёртой вершиной параллелограмма, в точности соответствует комплексному числу, равному сумме , (рис.2). А чтобы представить разность двух комплексных чисел, достаточно заменить второй вектор противоположно направленным. Или  иначе: вектор, идущий от к , надо перенести в начало координат (рис.3).

Далее, число 0 — это нуль-вектор, а комплексно-сопряжённые числа - векторы, симметричные относительно действительной оси.

Наконец, можно вычислить  длину вектора, соответствующего комплексному числу

Воспользуемся для этого теоремой Пифагора. Из рис.1 понятно, что длина вектора есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами и поэтому она равна а это модуль комплексного числа

    Рис. 3                      

 

Таким образом, длина вектора, соответствующего комплексному числу z, равна его модулю | z |.

Применим этот результат к геометрической интерпретации сложения комплексных чисел. Поскольку любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других, следовательно, т.е. модуль суммы комплексных           чисел не превосходит суммы их модулей.

АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

 

Как известно, вектор определяется не только длиной, но и  направлением. Чтобы его задать, можно использовать угол между положительным направлением действительной оси и направлением вектора. Но этого недостаточно. Возьмём два сопряжённых комплексных числа   и На плоскости они изображаются векторами, симметричными относительно действительной оси (рис. 4), причём углы между ними и действительной осью равны. Получается, что, зная величину угла, мы всё ещё не в состоянии выбрать одно из двух подходящих направлений.

Во избежание этой неопределённости вводят понятие направления измерения угла и как следствие — отрицательные углы. Если при измерении угла мы движемся от положительного направления числовой оси против часовой стрелки, значение угла будем считать положительным, а если по часовой стрелке — то отрицательным. В таком случае для числа z на рис. 4 угол положителен, а для — отрицателен. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают так: Обычно он измеряется не в градусах, а в радианах.

Итак, мы научились  однозначно задавать направление вектора. Но осталась другая неоднозначность: одному и тому же направлению вектора соответствует вовсе не единственный аргумент.

Предположим, при  отсчёте угла против часовой стрелки аргумент равен Но ничто не мешает отсчитывать угол и по часовой стрелке. Тогда, совершив почти полный оборот ( ), получим Можно развить эту идею и к величине угла добавить (или отнять) какое угодно целое число оборотов, что вернёт вектор в то же положение. Поскольку один оборот — это то целое число оборотов — это где — произвольное целое число. Выходит, если — аргумент комплексного числа z, то с равным правом можно считать аргументом и любое из бесконечного количества значений, определяемых по формуле

Как быть с этой многозначностью? Не установить ли границы для аргумента, считая допустимыми лишь такие его значения, которые лежат, скажем, в пределах от до или от 0 до ? Но, оказывается, это неудобно по другим соображениям. Приходится смириться с тем, что каждому комплексному числу соответствует единственный модуль, но бесконечное количество аргументов. А для нуля аргументом является вообще произвольное число.

Теперь комплексное  число можно определять не только парой координат, но и по-другому: парой модуль — аргумент. И встаёт новый вопрос: как от одного способа перейти к другому и наоборот? Здесь нам на помощь приходит тригонометрия.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

 

Возьмём произвольное комплексное  число и изобразим его в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 5). Пусть N — проекция точки М на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и NM равны соответственно и , а длина гипотенузы ОМ равна Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего.

Следовательно,

                          

где — аргумент комплексного числа z. Таким образом,

Конечно, тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит громоздко по сравнению с привычной. Попробуем перемножить два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме:

  и Всё сводится к элементарному раскрытию скобок с последующей заменой на -1.

В круглых скобках нетрудно узнать выражения для косинуса и  синуса суммы двух углов. Поэтому

       

Неожиданный и  красивый результат:

при умножении комплексных чисел,  их модули необходимо перемножить, а аргументы — сложить.

Нетрудно доказать, что при делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

 

Отсюда вытекает геометрический смысл операций умножения и деления комплексных чисел:

— при умножении на комплексное число вектор, соответствующий множимому, нужно растянуть в раз и повернуть на угол (рис. 6);

— при делении вектор, соответствующий делимому, надо сжать в раз и повернуть на угол .

Как мы убедились, тригонометрическая форма записи комплексного числа не менее полезна, чем обычная. Вопрос лишь в том, когда какую из них удобнее применять. При сложении и вычитании легче оперировать комплексным числом в виде суммы действительной и мнимой частей. Но если речь идёт об умножении и делении, преимущества тригонометрического представления неоспоримы.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ  И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ                 ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

 

Тригонометрическая  форма записи комплексных чисел удобна при возведении в степень и извлечении корней. Попробуем возвести в натуральную степень n комплексное число

Здесь — модуль комплексного числа z, а — его аргумент. Возведение в натуральную степень  n  можно заменить многократным (точнее, n-кратным) перемножением одинаковых чисел. При перемножении, как нам известно, модули умножаются, а аргументы складываются, поэтому модуль полученного в итоге числа будет равен а аргумент .

Можно было бы взять  в качестве аргумента числа z не а какое-то другое значение, отличающееся от на «целое число оборотов», например В этом случае аргумент числа равнялся бы По сути дела это ничего не меняет, ведь и — -периодические функции. Итак,

Это выражение  называется формулой Муавра — в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г.

При умножении  и делении аргумент комплексного числа ведёт себя точно так же, как и показатель степени. Действительно, при умножении аргументы складываются, при делении вычитаются. Почему бы в таком случае не предположить, что

где A — некоторое число, причём одно и то же для всех значений Леонард Эйлер показал в 1743 г., что таким числом является Здесь е = 2,71828... — знаменитое число Эйлера, а — мнимая единица. Так что справедлива формула Эйлера:

Подставив в  неё и учитывая, что a получим удивительное соотношение между пятью самыми популярными в математике константами: нулём, единицей, мнимой единицей, а также замечательными числами е и

Это равенство  во все времена вызывало восторженные отклики. По словам известного кораблестроителя и математика академика Алексея Николаевича Крылова, в нём таинственным образом воссоединились числа, символизирующие арифметику (0 и 1), алгебру ( ), анализ ( е ) и геометрию ( ).

С помощью формулы  Эйлера получаем ещё одно, очень  компактное представление комплексного числа:

Оно называется экспоненциальной формой представления. Если же подобрать такое действительное что (и должно быть равно натуральному логарифму числа ), то получим

Теперь можно  извлечь из числа z корень n-й степени (n — натуральное):

Таким образом, при извлечении корня натуральной степени n из модуля надо извлечь этот корень обычным способом, получив положительное число, а аргумент поделить на n. Но, поскольку аргумент комплексного числа определён с точностью до наряду с мы должны рассмотреть также все аргументы вида где — целое. Так и поступим:

Видно, что различным соответствуют различные не кратные аргументы. Значит, при извлечении корня натуральной n-й степени имеется n значений корня и разность между «соседними» значениями аргумента равна (на рис. 7 дан пример для n = 6).

Итак, любое  комплексное (в том числе действительное) число имеет ровно n комплексных корней n-й степени. Рассмотрим, например, z = 1. Начнём с квадратного корня (n = 2):

               Рис.7

где или 1. Получаем два корня:

    

Оба они действительные, причём именно те, которых и следовало  ожидать.

Случай n = 3 интереснее:

   

При 0, 1 и 2 имеем три корня:

       Рис.8.

Первый из них — обычный действительный кубический корень из 1. Другие же два не столь очевидны (рис. 8). Для проверки возведём хотя бы один из них в куб, например второй:

При извлечении корня 4-й степени получаем т. д.

Для полноты  следует рассмотреть ещё случай комплексного числа с ненулевым аргументом. Извлечём, к примеру, квадратный корень из -1. Здесь модуль равен 1, а аргумент . По формуле

          

0 и 1, получается два  корня: и .

 

 

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

 

Известно, что  функции  можно представить степенными рядами:

В последнюю формулу  вместо подставим

Сравнивая по отдельности действительную и мнимую части этой формулы с рядами для косинуса и синуса, получаем что

Используя формулу Эйлера, можно предложить новые определения для функций (в том числе действительного аргумента):

 

Из данных формул можно  вывести все обычные свойства этих тригонометрических функций.

 

 

 

ФОРМУЛА МУАВРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

Формула Муавра оказывается  удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. С ее помощью можно быстро вывести тригонометрические формулы синуса и косинуса кратных углов (двойного, тройного и т. д.). К примеру, пусть

 

n = 2:

Раскрыв скобки в левой  части, после приведения подобных членов имеем

Приравнивая по отдельности  действительные и мнимые части, получаем сразу две формулы - для косинуса и синуса двойного угла:

n = 3:

Приравнивая по отдельности  действительные и мнимые части, находим:

n = 5:

пользуемся тем, что  Приравнивая компоненты получим

Неудивительно, что комплексные  числа нашли широкое применение при описании периодических процессов, например в цепях переменного тока.

Решение примеров

 

Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если

а)

     .

 

б) .

           

   .

 

Пример 2. Запишите решения системы

а)   б)

в алгебраической форме.

 

Решение:

а)       

  

 

б)  

   

Пример 3. Запишите в тригонометрической форме:

а) ,    б)  ,

в) .

 

Решение:

 

а)

   

 

б) так как  , то , откуда        

    .

Так как  , то , откуда    

             

    

в) Так как  , то , откуда           

             .

    

 

Пример 4. Решить уравнение:  а)

                                                  б) 

 

Решение:

а) Данное уравнение  является квадратным.

По формуле  корней квадратного уравнения имеем:

Для определения  всех значений положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.