Комплексные числа

Министерство  образования РФ

Иркутский Государственный  Университет

Лицей ИГУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

«Комплексные  числа»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Когда мы слышим слово «число», то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1, 2, 3,... Их мы используем для пересчёта разнообразных предметов. Если натуральных чисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее — к рациональным числам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаются конечными десятичными дробями. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд. Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможных измерений с произвольной точностью. Чего же ещё ждать от чисел?

Но вот нам  говорят, что существуют несоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, т. е. отношение их длин — — не является рациональным числом, хотя и может с любой наперёд заданной точностью быть приближено рациональными числами. И тогда становится понятно, что проще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо «решим уравнение х² = 2» говорить «найдём такое х, чтобы х² отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину».

Построенное таким  образом сообщество — множество действительных чисел — уже не только удовлетворяет нашим практическим потребностям, но и обладает определённой теоретической полнотой. Оно позволяет формулировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясь впасть в противоречие. Конечно, и здесь есть свои правила и ограничения. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлечь корень чётной степени из отрицательного числа и т. д. Однако правила эти несложные, и если им строго следовать, то всё будет в порядке...

 

Всё ли? Рассмотрим такой пример: можно считать равным и 1, и -1, а определить невозможно. С другой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12. Однако а последний корень можно извлечь!

Вот ещё один пример:

Но если квадратного  корня из -1 не существует, то и его четвёртой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат?

Кому-то покажется, что всё это  не настоящие противоречия. Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами, и подобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются только с нарушением определённого запрета, и никак не удаётся найти «законного» способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения, ставшего слишком обременительным? Именно это произошло в своё время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательных величин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.

НЕПРИВОДИМЫЙ СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

 

Подобно тому как  для решения квадратного уравнения  существует общая формула, выражающая корни уравнения через его коэффициенты, аналогичная формула есть и для кубического уравнения вида

Она называется формулой Кардано — по имени математика, впервые её опубликовавшего.

Пример. Для  уравнения

х³ = 30х + 36

формула Кардано  даёт

Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательное число. В то же время уравнение имеет решение х = 6 — это легко проверить.

Однако предположим на секунду, что корни из отрицательных  чисел существуют. Тогда, если научиться  извлекать кубические корни из выражений  вида , можно будет вычислить и Мы получим   и В самом деле, возведём в куб выражение , воспользовавшись формулой (а + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +b³:

Аналогично,   Поэтому

Как видно, «странные» корни успешно сокращаются. То есть решали обычное уравнение и нашли корень — обычное действительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточных выкладках пришлось оперировать «необычными» числами. И самое главное – никаким другим способом, за исключением разве что угадывания, это решение получить не удаётся!

Теперь есть три пути:

— безоговорочно следовать установленным запретам и отказаться от новых приобретений, т. е. считать, что никакого метода решения неприводимого случая кубического уравнения у нас нет;

— «спрятать голову в песок», т.е. каждый раз, решая уравнения, при переходе к действию с выражениями вида говорить «извините!», и делать вид, что ничего не произошло;

— заняться их изучением: дать определение, исследовать свойства, научиться выполнять арифметические операции.

Хотя и не сразу, но в  конечном итоге математики выбрали третий путь. И были вознаграждены: «странные» корни нашли широкое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ + МНИМОЕ = КОМПЛЕКСНОЕ

 

Итак, кроме  привычных действительных (буквально — «реально существующих») чисел нам приходится рассматривать ещё числа вида , где А — положительное действительное число. Что это за числа, как их «потрогать руками» — всё это вопросы, не имеющие ответа. Мы просто договорились считать, что они есть. И вполне естественно, что такие числа были названы мнимыми, т. е. «нереальными».

Но кое-что  о мнимых числах мы всё же знаем. Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее, поскольку то а — это обычное действительное число. Значит, любое мнимое число можно получить исходя из единственного мнимого числа если умножить его на подходящее действительное число. Таким образом, вместо безбрежного океана таинственных объектов мы имеем один - единственный непривычный объект, все же остальные строятся с помощью операции умножения. Согласитесь, с такой ситуацией примириться уже гораздо легче.

Число играющее роль «строительного блока» в мире мнимых чисел, называют мнимой единицей и по предложению Леонарда Эйлера обозначают буквой  (от лат. imaginarius — «мнимый»). Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:

Однако, как  подсказывает опыт решения кубических уравнений, кроме действительных и мнимых чисел нам приходится рассматривать также числа вида которые представляют собой сумму действительного и мнимого. Такие числа именуются комплексными, т. е. составными.

А теперь, суммируя всё сказанное, сформулируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — мнимая единица.

Пример решения  квадратного уравнения

Выражение «Квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля, не имеет решения», верно при условии «не имеет в действительных числах, в комплексных же имеет целых два». Рассмотрим такое уравнение:

                                 х² - 2х + 5 = 0.                                           (*)

По общей формуле  находим

Здесь дискриминант D = - 4 отрицателен. Однако знакомство с комплексными числами избавит от лишних сомнений:

Таким образом, уравнение  (*) имеет два комплексных корня:

СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ  ЧИСЕЛ

 

В комплексном числе вида

                                         

                                                          (*)

где и — действительные числа, а — мнимая единица, слагаемое называется действительной частью, а слагаемое — мнимой частью. Действительную часть и коэффициент принято обозначать так:

 

Получается, что  любое действительное число — это такое комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, например:

  и т. п.

Мнимое же число — это такое комплексное число, у которого нулю равна действительная часть, а мнимая часть отлична от нуля, в частности:

Комплексные числа  можно складывать и перемножать точно так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом привычные законы сложения и умножения — сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный), распределительный (дистрибутивный) — остаются в силе:

Особое значение нуля и единицы также сохраняется:

Роль же мнимой единицы совершенно особая и не имеет аналогов в «обычной» арифметике:

Понятия «больше» и «меньше» в области комплексных чисел теряют всякий смысл. Например, нельзя сказать, что больше: или . Можно лишь сравнивать по отдельности действительную и мнимую части.

СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ

 

Производя арифметические операции с действительными числами, мы не сомневаемся, что в итоге тоже получится действительное число (исключение составляет деление на нуль). Переходя к комплексным числам, нужно убедиться в том, что арифметические операции над ними порождают только комплексные числа. Это значит, что результат любой арифметической операции должен быть представлен в стандартной форме (*).

Начнём со сложения.

Пусть и . Тогда

То есть сумма двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей этих чисел, а мнимая часть — сумме их мнимых частей.

Аналогично можно найти  разность двух комплексных чисел:

Перейдём к умножению. Это тоже нетрудно, если механически раскрыть скобки и вовремя вспомнить, что

Таким образом, сумму, разность и произведение любых двух комплексных чисел нам удалось представить в форме (*). Несколько сложнее с операцией деления. Камень преткновения — комплексный знаменатель дроби:

Для того чтобы обратить его в  действительный, придётся предпринять дополнительное исследование.

КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЁННЫЕ  ЧИСЛА

 

Обычно мнимую единицу определяют как квадратный корень из числа -1. Но какой из двух? Сказать «положительный» нельзя, ведь понятия «положительный» и «отрицательный» для мнимых чисел не определены... Это напоминает казусные рассуждения Марка Твена: один из двух близнецов утонул, а второй так и не понял, кто же утонул — он сам или его брат.

К счастью, выясняется, что  беспокоиться не о чем. Роль и в сообществе комплексных чисел абсолютно симметрична: и — два равноправных корня из -1. Эта симметрия приводит к тому, что у каждого комплексного числа имеется «близнец» . Такие «близнецы» называются комплексно - сопряжёнными или просто сопряжёнными числами. (В том случае, когда , т. е. — действительное число, оно является сопряжённым самому себе: )

Комплексно-сопряжённые  числа обладают интересными свойствами. Прежде всего, их сумма и произведение являются действительными числами. В самом деле,

Выражение немецкий учёный Карл Фридрих Гаусс назвал нормой комплексного числа а квадратный корень из нормы (точнее, его положительное значение) по предложению французского математика Огюстена Коши стали именовать модулем комплексного числа. Обозначают его чаще всего буквой или знаком абсолютной величины: Отсюда легко получить следующее свойство сопряжённых чисел: их нормы и модули всегда равны между собой. А проанализировав формулы суммы, разности и произведения, можно доказать и другие свойства:

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

 

Теперь несложно справиться и с  делением комплексных чисел. Чтобы привести частное

к стандартному виду (*), нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, (ведь произведение комплексно-сопряжённых чисел — число действительное). В результате получим

        

 

Чтобы рассмотренные понятия стали  вполне наглядными, имеет смысл познакомиться с геометрической интерпретацией комплексных чисел.

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ  ЧИСЕЛ

 

Наглядно представить  мнимые числа впервые попытался  ещё в XVII в. английский учёный Джон Валлис. Он предлагал различные варианты, и один из них выглядел так: мнимое число представляет собой среднее геометрическое между 1 и -1. Следовательно, есть сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 1 и -1. Серьёзного отклика у современников идеи Валлиса не вызвали.

В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной. Лишь через три десятка лет Карл Фридрих Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление комплексных чисел, как и Вессель.

Идея Весселя  и Гаусса настолько прозрачна, что  остаётся только удивляться, почему никто  из учёных не додумался до неё раньше. А состоит она в следующем.

ДBE ОСИ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

 

Действительные числа удобно представлять в виде точек на числовой оси. Надо лишь выбрать начало координат (нулевую точку), положительное направление и единицу измерения, и тогда любому действительному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, и наоборот: каждой точке — действительное число.

Точно так же, точками на числовой оси, можно изобразить и чисто мнимые числа  : точке с координатой будет отвечать число , а умножить на легко и в уме. Так что числовая ось вполне пригодна для представления и действительных, и мнимых чисел. Но только не одновременно! Значит, чтобы одновременно изображать действительные и мнимые числа, нужно взять сразу две оси. Назовём их соответственно действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно  друг другу — так, чтобы они пересеклись в нулевой точке. В этом и состояла основная идея Весселя и Гаусса. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой оси — вверх. Единица же измерения (масштаб) по обеим осям пусть будет одна и та же.

Итак, в нашей геометрической интерпретации мнимые числа «расположены перпендикулярно» действительным. Ну а комплексные? Они «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси. Выберем на плоскости произвольную точку и спроектируем её на эти оси. Допустим, проекция точки на действительную ось имеет координату , на мнимую ось — координату (рис. 1). Будем считать эту точку изображением комплексного числа . Теперь можно смело утверждать, что каждой точке плоскости соответствует одно вполне определённое комплексное число. Верно и обратное: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Таким образом, между точками плоскости и комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.