Элементарные статистические процедуры

    Смысл, например, парного взаимодействия можно рассмотреть на простейшей модели У=10+2X₄+3X₂+X₁X₂ (таблица 4.1).

    Сопоставим  результаты опытов u=1 и u=2, в которых фактор X₁ перемещается с нижнего на верхний уровень при постановке уровня X₂ результатами опытов u =3 и u =4, в которых такой же переход совершается при верхнем уровне X₂ .

         Таблица 4.1

Пример  влияния парного взаимодействия

 

    Основной  эффект в опытах u=1 и 2

    B^-₁=8-6=2,

а в опытах u=3 и 4

    B⁺₁=16-10=6,

    Аналогично  основной эффект фактора X₂ в опытах u=1 и 3 (в которых фактор X₁ находится на нижнем уровне)

    B^-₂=10-6=4,

    а в опытах u=2 и 4

    B₂⁺=16-8=8,

    Сопоставление результатов показывает, что эффект каждого из рассматриваемых факторов зависит от того, на каком уровне находится другой, взаимодействующий с ним фактор.

    Если  в рассматриваемом примере отсутствовало  бы взаимодействие между факторами, т.е. y=10+2X₁+3X₂, то величина основного эффекта каждого из факторов не зависала бы от того, на каком уровне находится второй:

    B^-₁=9-5=4,

    B⁺₁=15-11=4,

    B^-₂=11-5=6,

    B⁺₂=15-9=6.

4.3. Понятие частного  эффекта

    При рассмотрении примера в разделе 4.2. видно, что коэффициенты модели b_i являются лишь средними оценками влияния соответствующих факторов на процесс. Действительно, основной эффект фактора по (4.1) для нашего примера

    B⁰₁=2b₁=4

в то же время, как переход X₁ с нижнего на верхний уровень при верхнем уровне X₂ вызывает увеличение выхода на 6 единиц (B⁺₁=6) Если фактор X₂ находится на нижнем уровне, то В^-₁=2.

    Таким образом, при наличии в системе  парного взаимодействия мы можем  характеризовать влияние каждого  фактора только в связи с уровнем  другого, взаимодействующего с ним.

    Эффект фактора, определенный при фиксированном уровне взаимодействующего с ним другого фактора, называется частным эффектом.

    Частный эффект можно рассчитать по формуле:

              

 (4.2)

4.4. Интерпретация возможных  вариантов парных  взаимодействий.

     1-й вариант: Выше был рассмотрен  случай положительного взаимодействия  двух положительно действующих  факторов. Рассмотренный пример  свидетельствует, что при наличии  в системе двух положительных  факторов действие каждого из  них усиливается при повышении  уровня второго.

    2-й  вариант: Модель: Y=10+2X₁+3X₂-X₁X₂ (взаимодействие отрицательное), Тогда частные эффекты будут:

    Таким образом, при наличии в системе  отрицательного взаимодействия двух положительных  факторов положительный эффект каждого из них ослабляется при повышении уровня второго.

    3-й  вариант: Модель: Y=10-2X₁-3X₂+X₁X₂, что соответствует положительному взаимодействию двух отрицательных факторов. Тогда

    Таким образом, при наличии в системе  положительного взаимодействия двух отрицательных факторов отрицательный эффект каждого из них ослабляется при повышении уровня второго.

    4-й  вариант: Модель: Y=10-2X₁-3X₂-X₁X₂, что соответствует отрицательному взаимодействию двух отрицательных факторов. Тогда

т.е. при  наличии в системе отрицательного взаимодействия двух отрицательных  факторов отрицательный эффект каждого из них усиливается при повышении уровня второго.

    5-й  вариант: Модель: Y=10-2X₁+3X₂+X₁X₂. Тогда

т.е. при  наличии в системе положительного взаимодействия отрицательного и положительного факторов эффект отрицательного фактора  ослабляется при повышений уровня положительного фактора, а эффект положительного фактора усиливается при повышении уровня отрицательного фактора.

    6-й  вариант: Модель: Y=10-2X₁ +3X₂ - X₁X₂. Тогда

т.е. при  наличии в системе отрицательного взаимодействия отрицательного с положительным фактором эффект положительного фактора, ослабляется при повышении уровня отрицательного фактора, а отрицательный эффект отрицательного фактора усиливается при повышении уровня положительного фактора.

    7-й  вариант: Модель: Y=10+2X₁+X₁X_2, что соответствует наличию положительного взаимодействия положительного фактора с некоторым другим фактором, не имеющим значимого линейного коэффициента, b₂=0 (т.е. «несущественный» фактор). Тогда

т.е. при наличии в системе положительного взаимодействия положительного фактора с «несущественным» фактором эффект положительного фактора возрастает, а при повышении уровня положительного фактора «несущественный» фактор меняется с отрицательного на положительный.

     8-й вариант: Модель: Y=10-2X₁+X₁X₂. Тогда

т.е. наличие  в системе положительного взаимодействия отрицательного фактора с «несущественным» фактором эффекта отрицательного фактора, ослабляется при увеличении уровня «несущественного» фактора, а эффект «несущественного» меняется с отрицательного на положительный при повышении уровня отрицательного фактора.

    9-й  вариант: Модель: Y=10+2X₁ -X₁X₂. Тогда

т.е. при  наличии в системе отрицательного взаимодействия положительного фактора с «несущественным» фактором эффект положительного фактора ослабляется при повышении уровня «несущественного» фактора, а влияние «несущественного» фактора меняется с положительного на отрицательней при повышении уровня положительного фактора.

    10-й  вариант: Модель: Y=10-2X₁ -X₁X₂. Тогда

т.е. при  наличии в системе отрицательного взаимодействия отрицательного фактора  с «несущественным» отрицательный  эффект фактора усиливается при  повышении уровня «несущественного»  фактора, а влияние «несущественного» фактора меняется с положительного на отрицательное.

    11-й  вариант: Модель: Y=10+X₁X_2. Тогда

т.е. при  наличии в системе положительного взаимодействия двух «несущественных» факторов повышение уровня любого из них вызывает изменение другого с отрицательного на положительное.

    12-й  вариант: Модель: Y=10 -X₁X₂. Тогда

т.е. при  наличии в системе отрицательного взаимодействия двух «несущественных» факторов повышение уровня любого из них вызывает изменение другого с положительного на отрицательное.

    Анализируя  приведенные двенадцать возможных  вариантов моделей, включающих значимые парные взаимодействия, нетрудно заметить, что в общем случае положительное  взаимодействие двух факторов усиливает  положительный эффект и ослабляет отрицательный эффект одного из взаимодействующих факторов при переходе второго фактора с нижнего на верхний уровень независимо от знака и величины коэффициента второго фактора. 

6. ОПТИМИЗАЦИЯ УСТРОЙСТВ  И СИСТЕМ МЕТОДОМ  МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

6.1. Особенности экспериментальных  методов оптимизации

    Задачи  оптимизации – одно из основных направлений разработки, производства и эксплуатации различных систем. Они являются математическими и  их решение состоит в отыскании  в заданной области при заданных ограничениях таких значений независимых переменных, которые обеспечивают экстремум отклика, называемого здесь целевой функцией.

    Существуют  следующие аналитические методы оптимизации: линейные и нелинейные или математические, программирование, принцип максимума, динамическое программирование и др. Применение аналитических методов требует математического описания динамики объекта, приспособленное к одному из существующих методов оптимизации. В основу этих методов положено известное из математического анализа свойство функции, имеющей экстремум (максимум или минимум): первая производная этой функции в точке экстремума обращается в нуль. Если необходимо найти полную производную в k-факторном пространстве, то находят k частных производных по каждому из k факторов и получают систему из k уравнений.

              

   (6.1)

    Решением  системы (6.1) и является вектор

              

  (6.2)

определяющий  такие значения факторов, при которых целевая функция достигают экстремум. Однако во многих практических случаях точное аналитическое описание динамики объекта не удается получить. Тогда, если одновременно наблюдать все k-факторы и целевую функцию, задачу оптимизации проще решить с помощью экспериментального поиска, опираясь на математическое планирование экспериментальных поисковых экспериментов. 

    Оптимизация методом многофакторного эксперимента в значительной мере формализована  и большинство решений принимается  в соответствии с требованиями стандартной процедуры.

    Основой процедуры являются, метод крутого  восхождения и планирование второго  порядка.

6.2. Метод крутого  восхождения Бокса-Уисона

    Из  известных градиентных экспериментальных  методов планирования эксперимента (метод Гаусса-Зайделя, симплексный метод и др.) наиболее эффективным является метод крутого восхождения (спуска) Бокса - Уилсона.

    В результате постановки факторного эксперимента и определения коэффициентов  регрессии мы получаем уравнение  регрессии, описывающее изучаемую функцию. Практически это означает, что для рассматриваемой области известна зависимость Y=f(x₁,x₂,…,x_k). Поэтому для любой точки исследуемой области может быть определено направление градиента функции. В этом случае, если функция представлена уравнением первого порядка, т.е. линейное приближение адекватно, появляется возможность определить направление градиента непосредственно величинами коэффициентами регрессии при линейных членах – b_i. Точнее коэффициенты модели y представляют одновременно коэффициенты в выражении для градиента функции отклика