Элементарные статистические процедуры

    В радиоэлектронной аппаратуре стабильность активных и пассивных элементов  значительно ниже и надежность Р=0,95 вполне приемлема. Для данной вероятности r_max=2s_y. Подставляя r_max в выражение (3.6), получаем

              

 или   (3.7)

    По  метрологическим характеристикам  вычисляется не оценка S²_y, а дисперсия s²_y.

3.7. Вычисление b_i коэффициентов и проверка их значимости

    Определение b_i-коэффициентов состоит в отыскании точечных оценок b_i-коэффициентов параметров теоретической модели (2.2). В результате расчета b_i-коэффициентов и проверки их статистической значимости получается эмпирическое уравнение регрессии – математическая модель (2.3).

    Для расчета b_i-коэффициентов используется общая процедура метода наименьших квадратов (МНК), а так же формализованные алгоритмы, например, метод Иэтса .

    На  основе метода наименьших квадратов

              B=(X^T·X)^-1·X^T·Y (3.8) 

    Отсюда

    b₀=(y₁+y₂+y₃+y₄)/4; b₂=(-y₁-y₂+y₃+y₄)/4;

    b₁=(-y₁+y₂-y₃+y₄)/4; b₃=(y₁-y₂-y₃+y₄)/4;

    Или в общем виде для ортогональных  планов имеем

              

 (3.10)

где - величина, расположенная на пересечении i-го столбца и u-й строки матрицы планирования.

    Если  опыты ставятся в соответствии с планом ПФЭ-2^K, то для расчета коэффициентов регрессии удобно использовать формализованную схему, предложенную Иэйтсом. Согласно этой схеме, вычисляют сначала парные суммы y₁+y₂; y₃+y₄ и так далее для всех y_u, затем разности y₂-y_1; y₄-y₃ и так далее так же для всех y_u, располагая результаты в такой же вертикальный столбец рядом с вектором-столбцом y_u (1-й шаг в таблице 3.2). С полученными таким образом 2 значениями повторяют операции попарного сложения и вычитания и строят следующий столбец. Общее число таких столбцов должно равняться (К+ 1), включая исходный вектор-столбец результатов y_u, Результаты последнего столбца, деление на число опытов в матрице, и будут оценками для коэффициентов регрессии b_i.

    Полученные  оценки коэффициентов модели являются независимыми друг от друга. Их численные значения и знаки указывают на силу и характер влияния факторов. Чем больше величина коэффициента, тем больше влияние оказывает фактор на параметр оптимизации. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается.

    Проверка  правильности численного расчета  b_i коэффициентов проводится по формуле:

              

  (3.11)

    Эффект  взаимодействия, двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка, взаимодействие трех факторов – взаимодействие второго порядка и т.д.

    Из  полного факторного эксперимента нельзя извлечь информацию о квадратичных членах модели, т.к. соответствующие  оценки смешаны с b₀. Действительно, в матрице, показанной в таблице 2.1, столбцы X²₁X²₂ (если их дописать) совпадают друг с другом и со столбцом X₀. Поэтому нельзя сказать, за счет чего получена величина b₀. Она включает значение свободного, члена и вклада квадратных членов. Для получения квадратичных членов моделей используют композиционные планы, так называемые центральные композиционные планы ЦКП.

    Статистическая  значимость b_i-коэффициентов определяется по t-критерию Стьюдента. Для этого необходимо знать дисперсию коэффициентов S²_bi. Дисперсия коэффициентов может быть определена с помощью выражений (3.12), если известна дисперсия воспроизводимости S²_y (значения отклика во всех точках u=1,2,…,N; S²₁ = S²₂=S²_N. В этом случае по теореме о дисперсии суммы независимых случайных величин из формул (3.1) имеем:

              

  (3.12)

    Находя  значимость b_i-коэффициентов, проверяем основную статистическую гипотезу H₀:b_I=M[b_i]=0 против альтернативы H₁:b_I=M[b_i]¹0. Значение t-критерия вычисляется по формуле:

              

  (3.13)

    Число степеней свободы t статистики tp равно числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости S²_y т.е. f_p-f_y=N(m-1).

    Критическое значение t_кр=t_табл берется из таблиц распределения Стьюдента по уровню значимости a и числу степеней свободы f_y (см. приложение 1) . Условие принятия гипотезы Н₀:

              

  (3.14)

      Или говоря другими словами  – коэффициенты b_i можно считать отличными от нуля (или, то же самое, значимыми), если:

              

  (3.15)

    Уровень значимости a характеризует степень достоверности выводов, сделанных на основании неравенства (3.15). Например, если принимаем достаточным 5% уровень значимости, то наше утверждение об отличии рассчитанного значения b_i, от нуля будет справедливо с вероятностью 95%.

3.8. Проверка адекватности  модели

    Понятие «адекватность» является относительным и зависит от принятого критерия адекватности. В технике широкое применение имеет при оценке адекватности модели F-критерий Фишера. В основе этого критерия лежит сравнение двух видов рассеивания – рассеивания экспериментальных точек y_ui относительно построченных средних и рассеивания (разброса) построчечных средних относительно предсказанной по уравнению регрессии y_u. Первое характеризуется формулой S²_y (3.5) или

              

  (3.16)

второе формулой

              

  (3.17)

где l – число коэффициентов модели после оценки их значимости, - значение отклика, предсказанное по уравнению регрессии поверхности отклика (по модели), m – число параллельных опытов по строкам плана.

    Расчетное значение критерия вычисляется по формуле:

              

  (3.18)

    Критическое или табличное значение берется  из таблиц F-распределения (см. приложение 1) для уровня значимости a и степеней свободы S_y=N(m-1) и S_aд =N-l.

    Гипотеза  адекватности принимается, если F_расч<F_табл. Модель, удовлетворяющая условию адекватности, может использоваться для дальнейшей работы. Если модель не удовлетворяет условию адекватности, то для уменьшения S²_ад уменьшают пределы варьирования или переходят к планированию второго порядка (см. раздел 7.1).

    Адекватность  на основе F-критерия устанавливается при выполнении двух обязательных условий:

    1. Количество параллельных опытов  m>1, т.к. при m=0 не может быть использована формула (3.12)

    2. Статистически значимых коэффициентов  модели должно быть меньше, чем  количество опытных точек (l<N), т.к. при l=N формула (3.17) не работает.

    Проверка  адекватности модели при m>1 и l=N. В этом случае предсказанное значение выхода в центре локальной области _цп=b₀. Действительное значение выхода в центре плана определяют, поставив m₀ параллельных опытов в центре. Далее находят среднее _цп и дисперсию отклика S²_цп (последняя имеет степень свободы S_цп=m₀-1), после чего по критерию Стьюдента определяется статистическая значимость отклонения

              

 (3.19)

    Если  отклонение å_цп, статистически незначимо, модель признается адекватной. Проверка адекватности при m=1 и l<N.

    В этом случае формула (3.16) не работает. Поэтому в центре плана ставят m₀ опытов, по которым вычисляют оценки и S²_цп. Адекватность проверяется по F-критерию по формуле (3.17), где вместо оценки S²_y берется S²_y с числом степеней свободы f_цп=m₀-1. 

4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

4.1. Основные эффекты

    Модели 2.3, полученные в результате реализаций ДФЭ-2^K-p или ПФЭ-2^K позволяет раскрыть существо изучаемых процессов. Если модель адекватна, то она может быть использована как интерполяционная формула для вычисления выхода в любой точке локальной области исследования. Для прояснения смысла коэффициентов b_i в линейном уравнении рассмотрим однофакторную зависимость y=b₀+b₁x₁.

Рис.4.1 Графическое  представление функции

Рис.4.2. Результат факторного эксперимента, поставленного в специальной области 

Рис.4.3. Результат факторного эксперимента при малых пределах варьирования 
 

    При адекватности линейной модели b₀ характеризует значения выхода в центре локальной области исследований.

    Величина  коэффициента показывает, на сколько  единиц изменяется выход при изменении фактора X₁ на единицу варьирования. Из рис. 4.1 видно, что величина коэффициента модели определяет угол наклона прямой Y=b₀+b^o₁x₁.

    На  рис. 4.2 представлен случай, когда  точка факторного 0 оказалась в почти стационарной области. Видно, что изменение фактора X₁ от -1 до +1 приводит к незначительному изменению выхода. В этом случае коэффициент может оказаться статистически незначимым.

    На  рис 4.3 представлен, случай, когда выбранная  единица варьирования слишком мала и изменение выхода так же мало и сравнимо с ошибкой в его определении. В этом случае коэффициент b₁ может оказаться статистически незначимым. Для выяснения, какая именно из возможных причин незначимости коэффициентов имеет место в действительности, необходимо поставить два эксперимента: первый, в котором «незначимый» фактор будет исключен (убран) из системы; и второй – с измененными пределами варьирования.

    Рис. 4.4. Интерпретация модели в нелинейной области функции отклика 

    На  рис.4.4 показано значение выхода y₀ в центре локальной области исследования и значение b₀ модели, когда эксперимент проводится в нелинейной области функции отклика. Легко показать, что разность (y₀-b₀) является оценкой кривизны функции отклика, т.е. оценкой квадратичных членов регрессии.

    Поэтому в общем случае . Наиболее объективной оценкой влияния факторов на выход является не коэффициент b_i, а полученные экспериментально оценки выхода при переходе фактора с нижнего на верхний уровень. Эти оценки называются основными эффектами:

              

  (4.2)

4.2. Понятие о взаимодействии  в системе

    Многофакторные  исследования позволяют не только найти  основные эффекты влияния факторов на выход системы, но и определить взаимодействия в системе факторов.