Элементарные статистические процедуры

Автор: Пользователь скрыл имя, 04 Декабря 2011 в 20:43, лекция

Краткое описание

При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики случайных величин неизвестны исследователю и добываются экспериментально. Такое статистическое описание результатов наблюдений составляет содержание математической статистики.

Файлы: 1 файл

Лекции.doc

— 798.50 Кб (Скачать)

    В радиоэлектронной аппаратуре стабильность активных и пассивных элементов  значительно ниже и надежность Р=0,95 вполне приемлема. Для данной вероятности rmax=2sy. Подставляя rmax в выражение (3.6), получаем

              

 или 
 (3.7)

    По  метрологическим характеристикам  вычисляется не оценка S2y, а дисперсия s2y.

3.7. Вычисление bi коэффициентов и проверка их значимости

    Определение bi-коэффициентов состоит в отыскании точечных оценок bi-коэффициентов параметров теоретической модели (2.2). В результате расчета bi-коэффициентов и проверки их статистической значимости получается эмпирическое уравнение регрессии – математическая модель (2.3).

    Для расчета bi-коэффициентов используется общая процедура метода наименьших квадратов (МНК), а так же формализованные алгоритмы, например, метод Иэтса .

    На  основе метода наименьших квадратов

              B=(XT·X)-1·XT·Y (3.8) 

    Отсюда

    b0=(y1+y2+y3+y4)/4; b2=(-y1-y2+y3+y4)/4;

    b1=(-y1+y2-y3+y4)/4; b3=(y1-y2-y3+y4)/4;

    Или в общем виде для ортогональных  планов имеем

              

 (3.10)

где - величина, расположенная на пересечении i-го столбца и u-й строки матрицы планирования.

    Если  опыты ставятся в соответствии с планом ПФЭ-2K, то для расчета коэффициентов регрессии удобно использовать формализованную схему, предложенную Иэйтсом. Согласно этой схеме, вычисляют сначала парные суммы y1+y2; y3+y4 и так далее для всех yu, затем разности y2-y1; y4-y3 и так далее так же для всех yu, располагая результаты в такой же вертикальный столбец рядом с вектором-столбцом yu (1-й шаг в таблице 3.2). С полученными таким образом 2 значениями повторяют операции попарного сложения и вычитания и строят следующий столбец. Общее число таких столбцов должно равняться (К+ 1), включая исходный вектор-столбец результатов yu, Результаты последнего столбца, деление на число опытов в матрице, и будут оценками для коэффициентов регрессии bi.

    Полученные  оценки коэффициентов модели являются независимыми друг от друга. Их численные значения и знаки указывают на силу и характер влияния факторов. Чем больше величина коэффициента, тем больше влияние оказывает фактор на параметр оптимизации. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается.

    Проверка  правильности численного расчета  bi коэффициентов проводится по формуле:

              

  (3.11)

    Эффект  взаимодействия, двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка, взаимодействие трех факторов – взаимодействие второго порядка и т.д.

    Из  полного факторного эксперимента нельзя извлечь информацию о квадратичных членах модели, т.к. соответствующие  оценки смешаны с b0. Действительно, в матрице, показанной в таблице 2.1, столбцы X21X22 (если их дописать) совпадают друг с другом и со столбцом X0. Поэтому нельзя сказать, за счет чего получена величина b0. Она включает значение свободного, члена и вклада квадратных членов. Для получения квадратичных членов моделей используют композиционные планы, так называемые центральные композиционные планы ЦКП.

    Статистическая  значимость bi-коэффициентов определяется по t-критерию Стьюдента. Для этого необходимо знать дисперсию коэффициентов S2bi. Дисперсия коэффициентов может быть определена с помощью выражений (3.12), если известна дисперсия воспроизводимости S2y (значения отклика во всех точках u=1,2,…,N; S21 = S22=S2N. В этом случае по теореме о дисперсии суммы независимых случайных величин из формул (3.1) имеем:

              

  (3.12)

    Находя  значимость bi-коэффициентов, проверяем основную статистическую гипотезу H0:bI=M[bi]=0 против альтернативы H1:bI=M[bi]¹0. Значение t-критерия вычисляется по формуле:

              

  (3.13)

    Число степеней свободы t статистики tp равно числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости S2y т.е. fp-fy=N(m-1).

    Критическое значение tкр=tтабл берется из таблиц распределения Стьюдента по уровню значимости a и числу степеней свободы fy (см. приложение 1) . Условие принятия гипотезы Н0:

              

  (3.14)

      Или говоря другими словами  – коэффициенты bi можно считать отличными от нуля (или, то же самое, значимыми), если:

              

  (3.15)

    Уровень значимости a характеризует степень достоверности выводов, сделанных на основании неравенства (3.15). Например, если принимаем достаточным 5% уровень значимости, то наше утверждение об отличии рассчитанного значения bi, от нуля будет справедливо с вероятностью 95%.

3.8. Проверка адекватности  модели

    Понятие «адекватность» является относительным и зависит от принятого критерия адекватности. В технике широкое применение имеет при оценке адекватности модели F-критерий Фишера. В основе этого критерия лежит сравнение двух видов рассеивания – рассеивания экспериментальных точек yui относительно построченных средних и рассеивания (разброса) построчечных средних относительно предсказанной по уравнению регрессии yu. Первое характеризуется формулой S2y (3.5) или

              

  (3.16)

второе формулой

              

  (3.17)

где l – число коэффициентов модели после оценки их значимости, - значение отклика, предсказанное по уравнению регрессии поверхности отклика (по модели), m – число параллельных опытов по строкам плана.

    Расчетное значение критерия вычисляется по формуле:

              

  (3.18)

    Критическое или табличное значение берется  из таблиц F-распределения (см. приложение 1) для уровня значимости a и степеней свободы Sy=N(m-1) и S =N-l.

    Гипотеза  адекватности принимается, если Fрасч<Fтабл. Модель, удовлетворяющая условию адекватности, может использоваться для дальнейшей работы. Если модель не удовлетворяет условию адекватности, то для уменьшения S2ад уменьшают пределы варьирования или переходят к планированию второго порядка (см. раздел 7.1).

    Адекватность  на основе F-критерия устанавливается при выполнении двух обязательных условий:

    1. Количество параллельных опытов  m>1, т.к. при m=0 не может быть использована формула (3.12)

    2. Статистически значимых коэффициентов  модели должно быть меньше, чем  количество опытных точек (l<N), т.к. при l=N формула (3.17) не работает.

    Проверка  адекватности модели при m>1 и l=N. В этом случае предсказанное значение выхода в центре локальной области цп=b0. Действительное значение выхода в центре плана определяют, поставив m0 параллельных опытов в центре. Далее находят среднее цп и дисперсию отклика S2цп (последняя имеет степень свободы Sцп=m0-1), после чего по критерию Стьюдента определяется статистическая значимость отклонения

              

 (3.19)

    Если  отклонение åцп, статистически незначимо, модель признается адекватной. Проверка адекватности при m=1 и l<N.

    В этом случае формула (3.16) не работает. Поэтому в центре плана ставят m0 опытов, по которым вычисляют оценки и S2цп. Адекватность проверяется по F-критерию по формуле (3.17), где вместо оценки S2y берется S2y с числом степеней свободы fцп=m0-1. 

4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

4.1. Основные эффекты

    Модели 2.3, полученные в результате реализаций ДФЭ-2K-p или ПФЭ-2K позволяет раскрыть существо изучаемых процессов. Если модель адекватна, то она может быть использована как интерполяционная формула для вычисления выхода в любой точке локальной области исследования. Для прояснения смысла коэффициентов bi в линейном уравнении рассмотрим однофакторную зависимость y=b0+b1x1.

Рис.4.1 Графическое  представление функции

Рис.4.2. Результат факторного эксперимента, поставленного в специальной области 

Рис.4.3. Результат факторного эксперимента при малых пределах варьирования 
 

    При адекватности линейной модели b0 характеризует значения выхода в центре локальной области исследований.

    Величина  коэффициента показывает, на сколько  единиц изменяется выход при изменении фактора X1 на единицу варьирования. Из рис. 4.1 видно, что величина коэффициента модели определяет угол наклона прямой Y=b0+bo1x1.

    На  рис. 4.2 представлен случай, когда  точка факторного 0 оказалась в почти стационарной области. Видно, что изменение фактора X1 от -1 до +1 приводит к незначительному изменению выхода. В этом случае коэффициент может оказаться статистически незначимым.

    На  рис 4.3 представлен, случай, когда выбранная  единица варьирования слишком мала и изменение выхода так же мало и сравнимо с ошибкой в его определении. В этом случае коэффициент b1 может оказаться статистически незначимым. Для выяснения, какая именно из возможных причин незначимости коэффициентов имеет место в действительности, необходимо поставить два эксперимента: первый, в котором «незначимый» фактор будет исключен (убран) из системы; и второй – с измененными пределами варьирования.

    Рис. 4.4. Интерпретация модели в нелинейной области функции отклика 

    На  рис.4.4 показано значение выхода y0 в центре локальной области исследования и значение b0 модели, когда эксперимент проводится в нелинейной области функции отклика. Легко показать, что разность (y0-b0) является оценкой кривизны функции отклика, т.е. оценкой квадратичных членов регрессии.

    Поэтому в общем случае . Наиболее объективной оценкой влияния факторов на выход является не коэффициент bi, а полученные экспериментально оценки выхода при переходе фактора с нижнего на верхний уровень. Эти оценки называются основными эффектами:

              

  (4.2)

4.2. Понятие о взаимодействии  в системе

    Многофакторные  исследования позволяют не только найти  основные эффекты влияния факторов на выход системы, но и определить взаимодействия в системе факторов.

Информация о работе Элементарные статистические процедуры