Элементарные статистические процедуры

1.2. Элементарные статистические  процедуры

Статистическое  оценивание параметров распределения

    При решении многих прикладных задач  необходимые вероятностные характеристики случайных величин неизвестны исследователю  и добываются экспериментально. Такое  статистическое описание результатов наблюдений составляет содержание математической статистики.

    Фундаментальным понятием статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

    Генеральная совокупность обычно интерпретируется как совокупность всех мыслимых результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены в данных условиях.

    Для определения свойств ГС исследуется  некоторая ее часть, называемая выборкой, т.е. это конечный набор значений случайной величины. Число элементов выборки назевается ее объемом. Если, например, y₁ , y₂,….., y_n - наблюдаемые значения случайной величины Y, то объем данной выборки равен N.

    Смысл статистических методов заключается  в том, чтобы по выборке ограниченного  объема N высказать, обоснованное суждение о свойствах ГС в целом. Подобное суждение может быть получено оцениванием параметров (характеристик) ГС с помощью некоторых подходящих функций от результатов наблюдений - оценок.

    При многократном извлечении выборок одного и того же объема и последующем нахождении множества оценок одного и того же параметра подучаются различные числовые значения этих оценок. Т.е. любая оценка произвольного параметра Q есть случайная величина. В этом ее принципиальное отличие от самого оцениваемого параметра Q, являющегося неслучайным. Чтобы подчеркнуть указанное существенное обстоятельство для параметров генеральной совокупности и их оценок, вводятся различные обозначения. В общем случае оценка произвольного параметра обозначается через . Оценка математического ожидания m_y чаше обозначается через , оценка дисперсии s²_y через S²_y,

    Для оценивания одного и того же параметра  ГС можно использовать различные  оценки. Чтобы выбрать наилучшие  из них необходимо сформулировать некоторые требования к свойствам оценок, желательные с точки зрений практики.

    Оценка  параметра Q называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки N значение с полной мерой достоверности (с вероятностью единица) стремится к теоретическому значению Q. Т.е. при Nൠматематическое ожидание оценки стремится к оцениваемому параметру, а ее дисперсия к нулю.

    Оценка  называется несмещенной, если m для любого N. Несмещенность означает отсутствие систематической погрешности яри оценивании параметра Q.

    Оценка  называется эффективной если среди оценок параметра Q она обладает наименьшей дисперсией s² , т.е. оценка имеет min случайную ошибку и в этом смысле является наиболее точной.

Точечные  оценки математического  ожидания и дисперсии

    Точечные  оценки – это оценки некоторых  неизвестных числовых параметров распределения. Они представляют собой числа, полученные путем подстановки выборочных значений y₁,y₂,…..,y_N в формулу для оценивания искомого параметра. Математическое ожидание и дисперсию обычно оценивают

              

 (1.8)

              

 (1.9)

    Указанные оценки являются состоятельными и несмещенными. Несмещенность оценки S²_y достигается использованием в знаменателе величины f_Q=N-1 вместо очевидного на первый взгляд значения N . Величину f_Q называют числом степеней свободы.

    Оценку  S²_y часто называет средним квадратом отклонений опытных значений y_i oт среднего . В математической статистике он определяется как отношение некоторой суммы квадратов отклонений Q к числу степеней свободы этой суммы f_Q

              

  (1.10)

    Число степеней свободы f_Q равно числу независимых слагаемых в сумме квадратов. Так в формуле S²_y имеется N слагаемых (y_i- ) , но в силу вычисления среднего наложена одна связь Поэтому число независимых слагаемых (N-1) и эта величина является числом степеней свободы f_Q , (f_Q – равна разности между числом имеющихся экспериментальных значений N по которым вычисляют оценку дисперсии, и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для оценки этой дисперсии и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых наблюдений (в данном случае это всего один параметр ).

    Вычисления  по формуле (1.9) трудоемки и при  малых значениях разностей (y_i- ) могут порождать большие ошибки. Поэтому вместо выражения (1.9), играющего роль определяющего понятия, пользуются тождественными соотношениями:

Здесь основные преобразования:

  Сумма всех отклонений от среднеарифметического равна нулю.

 Интервальные оценки математического  ожидания и дисперсии.

    Точечные  оценки параметров не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру Q. Поэтому более информативный способ оценивания неизвестных параметров состоит не в определении единичного точечного значения, а в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый параметр, т.е. в построении так называемой интервальной оценки.

    Интервальной  оценкой параметра Q называется интервал, границы которого являются функциями выборочных значений y₁,y₂,…..,y_N и который с заданной вероятностью p накрывает оцениваемый параметр Q 

              

 (1.12)

    Интервал ( ) называется доверительным, его границы изъявляющиеся случайными величинами, соответственно нижним и верхним доверительными интервалами, а вероятность р – доверительной вероятностью, а величина a=1-р уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала и при проверке различных гипотез.

Проверка  статистических гипотез

    Статистическая  гипотеза есть некоторое предположение  относительно свойств генеральной  совокупности, из которой извлекается выборка.

    Критерий  статистической гипотезы – это правило  позволяющее принять или отвергнуть данную гипотезу на основании выборки. При построении такого правила используются определение функции результатов  наблюдений g(y₁,y₂,…..,y_N) называемые статистиками для проверки гипотез. Все возможные значения подобных статистик делятся на две части: область принятия гипотезы и критическая область. Проверка гипотезы сводится к выяснению того, попадает или нет конкретное значение статистики, вычисленное по выборке, в критическую область: если нет – гипотеза принимается, как не противоречащая результатам наблюдения, если да – гипотеза отвергается. При этом всегда возможно совершить ошибку, различные типы которых показаны в таблице: 

 

    Вероятность совершить ошибку I рода называется уровнем значимости критерия и обозначается a. Обычно уровень значимости выбирается 0,01; 0,1 и наиболее часто 0,05.

    Критерии  значимости – это критерии, с  помощью которых проверяют гипотезы об абсолютных значениях или о  соотношениях между ними для генеральных  совокупностей с известной функцией распределения.

    Для пояснения идеи построения критериев  значимости предположим, что некоторая оценка (m_x,s_x и т.д.), используемая затем в качестве статистики, вычислена по выборке объема N . Пусть имеется причина считать, что истинное значение оцениваемого параметра Q в генеральной совокупности равно Q_о. Это проверяемое предположение называется нулевой гипотезой H₀ и пишут H₀: Q=Q₀

    Если, даже нулевая гипотеза справедлива, то выборочное значение обычно не совпадает с Q₀ , поскольку оно является одним из конкретных значений случайной величины , порожденной всевозможными выборками объема N . Спрашивается: насколько сильно должно отличаться от Q₀ , чтобы в достаточной мере обоснованно можно было бы отвергнуть нулевую гипотезу? Если известна функция плотности вероятности оценки f( ), построенная теоретически в предположении справедливости нулевой гипотезы, то с ее помощью несложно найти такую зону, вероятность случайного попадания в которую (когда Н_о верна) мала (равна малому значению q). Эта зона и может использоваться в качестве критической.

     Вид критической области полностью  определяется характером альтернативной гипотезы H_i , т.е. гипотезы, противопоставляемой нулевой, той гипотезы, в пользу которой склоняется исследователь, отвергая проверяемую гипотезу. Если нулевой гипотезе Н₀: Q=Q₀ противопоставлена альтернативная гипотеза Н₁: Q¹Q₀, то критерии для проверки Н₀ будет двухсторонний.

    Мы  будем пользоваться t – критерием, F, и т.д. и заданный критерий значимости a будем находить по таблицам в зависимости от степеней свободы. 

2. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ  ФАКТОРНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 

2.1. Введение в математическую  теорию эксперимента

    Математическая  теория планирования эксперимента –  пример системного подхода в изучении сложных систем.

    В настоящее время при изучении сложных технических объектов широко применяется системный подход, исходные предпосылки которого заключаются  в стремлении с максимальной полнотой учесть все входные и выходные характеристики объекта и в проблемно-ориентированной организации исследования.

    Наиболее  разработанными и эффективными методами практической реализации системного подхода  являются, методы математической теории эксперимента или планирования эксперимента, представляющие собой развитие идей многофакторного анализа. Эти методы в короткий срок получили широкое применение в большинстве областей исследования – в химии, металлургий, промышленности строительных материалов, медицине, биологии, электронике, автоматике, вычислительной технике и др. областях, благодаря своей универсальности и существенному повышению эффективности исследований.

    Хотя  математические методы планирования наиболее эффективно работают при исследовании физических объектов путем постановки опытов с этими объектами в  реальных условиях их работе, планирование эксперимента, если под экспериментом иметь в виду любое действие с системой или ее моделью, позволяет существенно поднять эффективность решений на математических моделях, набранных на АВМ и ЦВМ, как в линейной, так и нелинейной постановке задач. И в этом плане применение математической теории эксперимента при моделировании задач на вычислительных машинах дозволяет поднять производительность научного труда на всех стадиях исследования, разработки и проектирования сложных систем.

    Математические  методы планирования эксперимента основаны на кибернетическом представлении  об объеме исследования. В этом случае наиболее подходящей моделью исследуемого объекта являются кибернетическая  система, называемая «черным ящиком»  и изображенная на рис 2.1.

Рис. 2.1. Схема кибернетической системы