Формирование представлений о работе над квадратными уравнениями на уроках математики

Место и роль курса в образовательном  процессе.

Курс  «Квадратные уравнения с параметром» предназначен для предпрофильной подготовки школьников. Он, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию внутрипредметных связей, а с другой – служит для построения индивидуального образовательного пути. Курс формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач.

Предлагаемый  курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность  школы, так как реализация данного  курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень  интеллектуального развития учащихся, что благоприятствует их дальнейшему  обучению.

Цель  курса: перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений задач на их составление) к творческому; научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при решении задач.

Задачи курса:

• углубить и расширить знания по алгебре;
• предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;
• видеть квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь использовать его свойства для решения задач;
• уметь применять теорему Виета к квадратному трехчлену;
• исследовать расположение корней квадратного уравнения;
• уметь решать квадратные уравнения с параметром.

По типу данный курс является предметным, главная задача которого состоит в расширении знаний по алгебре. В частности, он относится к элективному курсу, в котором углубленно изучается отдельный раздел основного курса алгебры «Квадратный трехчлен и его свойства».

Мотивами для выбора данного курса у учеников могут быть следующие:

• подготовка к ЕГЭ;
• поддержка изучения базового курса математики;
• любопытство;
• заинтересованность математикой;
• профессиональная ориентация.

Требования, которым отвечает тематика и содержание курса:

• поддержание изучения базового курса алгебры;
• социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности школьников, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;
• обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Данный  курс предусматривает использование  классно-урочной и лекционно-практической систем, а также личностно-ориентированных  педагогических технологий. При решении  задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические  соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением.

Теоретическую часть материала предполагается излагать в форме лекции. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости  от уровня обучаемости школьников. Также предусматривается работа с литературой, работа в компьютерном классе, публичные выступления. Такая  организация способствует реализации развивающих целей курса, так  как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся.

 Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах.

Ожидаемый результат изучения курса:

• знание учащимися свойств квадратного трехчлена;
• умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;
• приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения задачи;
• практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

Одним из результатов освоения курса может  быть осознанный выбор учащимся других элективных математических курсов при  профильном обучении.

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки:

I. Формы промежуточного контроля:

• письменные задания по материалу;
• проверка домашнего задания;
• взаимоконтроль;
• устный ответ ученика.

На занятиях ученики будут получать баллы, выставляемые в табель баллов каждого (Таблица 1).

Таблица 1

Элективный курс «Квадратные уравнения и неравенства с  параметром» (14 часов) Табель  баллов ………………………………………………….. (Ф.И.)

№ занятия

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

Баллы

Общий итог:

 

Все набранные  учеником баллы по окончанию курса  суммируются, и выясняется, как школьник усвоил программу данного курса.

II. Форма итоговой работы – зачетная работа, состоящего из трех блоков:

А - задания  с выбором вариантов ответа;

В - задания  с краткой записью ответа;

С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Предлагаемый курс может быть использован как отдельный элективный курс, с одной стороны, и для расширения и углубления ЗУНов, с другой – при изучении профильного курса математики и наличии дополнительного времени на его изучение.

Программа построена таким образом, что  учитель сам может решать, сколько  и какие темы в неё включить в зависимости от уровня подготовленности учащихся. Темы содержательной части  программы расположены по нарастающей  степени сложности и трудности, при этом учитель вправе ограничиться подбором таких заданий практического  содержания, которые будут доступны всем учащимся и одновременно повысят  уровень их математических знаний и  создадут необходимый уровень знаний для продолжения изучения математики в старших классах математического профиля. Данный элективный курс может быть использован учителем и в 10-11 классах для развития и систематизации знаний учащихся по теме и подготовки их к итоговой аттестации.

При заинтересованности учащихся данной темой количество часов  на него может быть увеличено за счет его практической части с  большей опорой на задачи из материалов ЕГЭ.

Для данного  курса не предполагается разработка учебного пособия для учащихся и  рабочей тетради. Для самостоятельного и более подробного изучения курса  школьниками используется список литературы, подготовленный к каждой теме.

 

 

2.2  Методика изучения квадратных уравнений с параметром.

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении  задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных  методов решений уравнений и  неравенств, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для  того, чтобы не потерять решений  и не приобрести лишних. Это требует  более развитого логического  мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию.

Уравнение с параметрами — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметрами  – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они  имеют смысл при одних и  тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения  уравнения с параметром аналитически.

1. Определяют  ограничения, налагаемые на значения  неизвестного x и параметра a, вытекающие  из того, что функции и арифметические  операции в F (x, a) имеют смысл.

2. Определяют формальные решения, записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Oa. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.

3. Исключают  те значения параметра, при  которых формальные решения не  удовлетворяют полученным ограничениям.

4. На  числовую ось Oa добавляют значения  параметра, найденные в п.3. Для  каждого из промежутков на  оси Oa записывают все полученные  решения в зависимости от значений  параметра a. (В случае достаточно  простых уравнений п.4 можно опустить).

5. Выписывают  ответ, т.е. записывают решения  в зависимости от значений  параметра a.

Замечание:

1) Наличие  параметра в задаче предполагает  специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ  для любого допустимого значения  параметра. Недопустимые значения  также указываются в ответе, и  считается, что при этих значениях  параметра задача не имеет  решения. При записи ответа  обычно значения параметра перечисляются  в порядке возрастания от −∞  до +∞, но иногда для компактности  ответа объединяют промежутки  для параметра, на которых формулы  решения совпадают. 

2) В  случае ветвления решения удобно  использовать числовую прямую , на  которую наносятся контрольные  значения параметра, а на промежутках,  на которые эти значения разбили  прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем  не потерять найденные ответы  и четко указать значения параметра,  которым они соответствуют.

Продемонстрирую сказанное выше на примере.

Пример1.

Для каждого  значения параметра решить уравнение (a-1)(a+2) x=a³+2a².

Решение.

Контрольными  являются значения параметра a, при  которых

 (a-1)(a+2)=0 , т.е. a=1 и a=−2.

Если (a-1)(a+2)≠0, то, поделив обе части  уравнения на выражение 

(a-1)(a+2), получим x= ==.

При a=1 уравнение не имеет решений, т.к. левая часть равна нулю, а правая отлична от нуля.

При a=-2 уравнению удовлетворяет любое x∈R, так как уравнение имеет вид 0⋅ x=0.

Ответ. Если a=1, то решений нет; если a=−2, то x∈ R ; если a≠1, a≠−2, то x=

Алгоритм решения  уравнения с параметром графически.

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от х.
3. В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).

Если  прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

5. Записываем ответ.

Пример  №2.

При каких х уравнение имеет единственное решение?

Проведем графический  анализ, построив график функции  ( полупарабола с вершиной х=-3) и линейной функции ( множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2).

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях  а, причем с увеличением a прямая у=2х – a перемещается вправо.

 

Когда прямая является касательной  к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая переходит через  вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение  исходного уравнения. Напишем уравнение  касательной в точке х₀