Формирование представлений о работе над квадратными уравнениями на уроках математики

 Содержание

Введение                                                                                                                 

Глава 1. Теоретические аспекты  обучению решения уравнений

1.   Из истории возникновения квадратных уравнений……………………                       
2.   Основные направления изучения линий уравнений

  в школьном курсе алгебры ……………………………………………….                                                                                                       

3.   Методика изучения квадратных уравнений……………………………

 Глава 2. Методика проведения элективного курса «Квадратные уравнения с параметром»

2.1 Общие методические  положения по проведению элективного  курса «Квадратные уравнения  с параметром»……………………………………….

2.2 Методика изучения квадратных уравнений с параметром……………

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 

 

 

                 

 

 

 

 

 

Введение

Уравнения в школьном курсе  алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени  больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она  не только имеет теоретическое значение для познания  естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению  различных видов уравнений. Овладевая  способами их решения, люди  находят  ответы на различные вопросы из науки  и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так  же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет  самостоятельная работа учащегося  при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения  могут быть использованы как эффективное  средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.[10,241].

Мною выбрана  эта тема, так как она актуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Для этой темы характерна большая глубина изложения  и богатство устанавливаемых  с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению темы «Квадратные уравнения» учащиеся приступают, уже накопив  определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале данной темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнения.

Выбирая тему курсовой работы, я руководствовалась ее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению квадратных уравнений разного вида.

Цель работы: формирование  представлений о  работе над квадратными уравнениями  на уроках математики. Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

• изучить научно-методическую литературу, касающуюся  изучению уравнений;
• изучить методику преподавания квадратных уравнений;
• разработка элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

Объект исследования – процесс обучения математике в 8 классе общеобразовательной школы.

 Предмет – технологическое обеспечение разработки уроков математики и элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

    Актуальность выбора темы определяется значимостью темы в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение задач, связанных с исследованием квадратного трехчлена.

Работа  состоит из двух глав, заключения, библиографического списка и приложения.

 

 

 

 

Глава 1. Теоретические аспекты обучения решения уравнений

1. Из истории возникновения уравнений

    Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

     Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.

     Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

      В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

     Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax²+bх=с, а>0. В этом уравнении  коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

     В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация  линейных и квадратных уравнений. Автор  насчитывает 6 видов уравнений, выражая  их следующим образом:

«Квадраты равны корням», т. е. ах² = bх.

«Квадраты равны числу», т. е. ах² = с.

«Корни равны  числу», т. е. ах = с.

«Квадраты и числа равны корням», т. е. ах² + с = bх.

«Квадраты и корни равны числу», т. е. ах² + bх =с.

«Корни и  числа равны квадратам», т. е. bх + с =ах².

     Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения  квадратных уравнений по образцу  Аль-Хорезми в Европе были впервые  изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом  Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных  чисел. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения  квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x² + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы  решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные  корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и  отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря  трудам Жирара, Декарта, Ньютона и  других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный  вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач  связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического  характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX--VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени  возникали задачи, в которых искомое  значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с  нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы  уравнений. Первоначально для решения  таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться  начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители  умели решать задачи, сводящиеся с  точки зрения современной классификации  к уравнениям второй степени. Был  создан метод решения текстовых  задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического  компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху  сначала арабскими математиками (VI--Х вв. н. э.), выделившими характерные  действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI--XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры

Уравнение как общематематическое понятие  многоаспектно. Можно выделить главные  области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

• средства решения текстовых задач;
• особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;
• формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений  в школьном курсе алгебры.

1. Прикладная  направленность линии уравнений  раскрывается главным образом  при изучении алгебраического  метода решения текстовых задач.  Этот метод широко применяется  в школьной математике, поскольку  он связан с обучением приемам,  используемым в приложениях математики.

В настоящее  время, ведущее положение в приложениях  математики занимает математическое моделирование (математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

 

2. Теоретико-математическая  направленность линии уравнений  раскрывается в двух аспектах:

• выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;
• изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.

Оба эти  аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений  связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими  моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет  логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они  описывают то общее, что имеется  в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам  уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и  методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также  должны быть раскрыты в линии уравнений.

3. Направленность  на установление связей с остальным  содержанием курса математики. Эта  линия тесно связана с числовой  линией, причем эта связь - двусторонняя. Основная идея, реализуемая в  процессе установления взаимосвязи  этих линий,— это идея последовательного  расширения числовой системы.  Все числовые области, рассматриваемые  в школьной алгебре и началах  анализа, за исключением области  всех действительных чисел, возникают  в связи с решением каких-либо  уравнений.

Линия уравнений  тесно связана также и с  функциональной линией. Одна из важнейших  таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.).