Формирование представлений о работе над квадратными уравнениями на уроках математики

 С другой  стороны, функциональная линия  оказывает существенное влияние  как на содержание линии уравнений  , так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления  служат основой привлечения графической  наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.

Изучение  и использование преобразований уравнений и их систем, с одной  стороны, предполагают достаточно высокую  логическую культуру учащихся, а с  другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности  для формирования логической культуры.

Таким образом, владение содержанием линии уравнений  позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или  знаменателе которых имеется  квадратный трехчлен. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением  алгоритмических предписаний к  решению конкретных заданий, но и  научиться использовать логические средства для обоснования решений  в случаях, когда это необходимо.

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Методика изучения квадратных  уравнений

С началом  изучения систематического курса алгебры  основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые  становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая  глубина изложения и богатство  устанавливаемых с ее помощью  связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Умение  решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений  и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

• формулу нахождения дискриминанта;
• формулу нахождения корней квадратного уравнения;
• алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

• решать неполные квадратные уравнения;
• решать полные квадратные уравнения;
• решать приведенные квадратные уравнения;
• находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;
• делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

• преобразования данного уравнения к простейшим;
• решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются  неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова.

Обучение  решению уравнений начинается с  простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.

Обобщение способов деятельности учащихся при  решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие  этапы при изучении темы «Квадратные  уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала  математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для  этого не пришлось, как говорится,  ничего изобретать. Это уравнения вида: ах² = 0, ах² + с = 0, где с≠ 0, ах² + bх = 0, где b ≠ 0.  Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если  ах² = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найти  х²;

2) найти  х.

Например,  5х² = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х² = 0, откуда х = 0.

2. Если  ах² + с = 0,  с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести  слагаемые в правую часть;

2) найти  все числа, квадраты которых  равны числу с.

Например, х² - 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х² = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и - . Таким образом, уравнение х² - 5 = 0 имеет два корня: x₁ = ,       x₂ = -   и других корней не имеет.

3. Если  ах² + bх = 0, b ≠ 0.  Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

2) найти  x₁, x₂.

Например, х² - 3х = 0. Перепишем уравнение х² – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x₁ = 0,  x₂ = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если  уравнение имеет вид  ах² = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если  уравнение имеет вид ах² + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x₁ = 0; x₂ = - ;

3) если  уравнение имеет вид ах² + с = 0, то его преобразуют к виду ах² = - с и далее х².= - В случае, когда - < 0, уравнение х² = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах² + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0, уравнение х² = m имеет два корня

= , = - , (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может  иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к  решению полного квадратного  уравнения. Это уравнения вида ах² + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0. 

1. если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
2. если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
3. если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

,  ,

Составляется  алгоритм решения уравнения вида ах² + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b² – 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 имеет два корня: ; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения  обычно по этому алгоритму не решают.

Математики  – люди практичные, экономные, поэтому  пользуются формулой: .  (1)

Итак, можно  сделать вывод, что квадратные уравнения  можно решать подробно, используя  сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (1) и с ее  помощью делать необходимые выводы. [1,98].

На третьем  этапе рассматриваются приведенные  квадратные уравнения ах² + bx + c = 0.  Если , то квадратное уравнение называется приведенным. Такие уравнения решаются как и полные квадратные уравнения. Но кроме этого приведенные квадратные уравнения решаются по теореме Виета.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений  является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости  между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Теорема Виета  названа по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, а произведение свободному члену.

 

Например, приведенное уравнение х² - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме  Виета.

Обратная теорема теореме Виета: если сумма некоторых чисел х₁ и х₂=-р, а произведение свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения вида: х²+рх+q=0

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто  применяются при решении различных  задач.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими  обстоятельствами. Прежде всего, требуется  учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета  даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при  нахождении корней квадратного уравнения  подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как  часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета  на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется  при разложении квадратного трехчлена  на множители

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы  решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом  корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что  освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно  новую ступень овладения содержанием  школьной математики.

Глава II. Методика проведения элективного курса «Квадратные  уравнения с параметром»

Важной  целью обучения на элективных курсах является знакомство учащихся с математикой  как с общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Методика  обучения на элективных курсах должна постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного  труда и самообразования. Здесь  и умение воспринимать объясняемый  материал, достаточно быстро его конспектировать, с одной стороны, и умение работать с учебниками и иной литературой, с другой стороны. Кстати, одной из целей обучения является развитие уважения к книге (в первую очередь — учебной) вообще. В процессе освоения программы элективного курса хорошо бы дать учащимся возможность использовать различные учебники, задачники, хрестоматии, энциклопедии и т.д. Большим подспорьем здесь может стать использование IT технологий. Это и глобальная сеть Интернет, и учебные CD диски (в первую очередь так называемые электронные библиотеки).

Таким образом, рассмотрены общие положения по созданию и проведению элективных курсов, которые будут учтены при разработке элективного курса по алгебре на тему: «Квадратные уравнения с параметром».

2.1. Общие методические положения по проведению элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

 Функции вида ( – квадратный трёхчлен), где , в школьном курсе математики придаётся большое значение. Если не считать самой простой функции – линейной, то это единственная функция, для которой в школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, составляющие содержание теории и необходимые для решения задач.

Актуальность курса определяется значимостью понимания школьниками особого положения квадратного трехчлена в школьной программе. Но программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Эти задачи часто включаются в ЕГЭ и вызывают у учащихся трудности, обусловленные необходимостью понимания закономерностей, наличия навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, систематичности и последовательности в решении, умения объединять рассмотренные частные случаи в единый результат. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения, решение квадратных уравнений с параметром аналитически и графически. Разрешить трудности учащихся и рассмотреть вышеназванные задачи может данный элективный курс «Квадратные уравнения с параметром».