Алгебраические структуры: группы, кольца и поля

Отсюда и название «комплексное число», т.е. комплекс из действительной части, мнимой части и мнимой единицы.

Пусть ={(a, b) a, bR}. Определим на операции сложения + и умножения , положив для любых (а,b), (c, d)

(а,b) + (с,d) = (a + c,b + d), (a,b) (с,d) = (ас bd, ad + b).

Целесообразность таких определений вытекает из того, что в поле комплексных чисел, которое мы моделируем, выполняются равенства

(a + bi) + (с + di) =(a + c) + (b + d)i;

(a + bi)(с + di) = (ас bd) + (ad + bc)i.

Теорема 2: Система , +, является системой комплексных чисел.

1) Система , +, — поле, причем нулем и единицей являются соответственно (0, 0) = и (1, 0)= ; противоположной для пары (а, b) будет пара (а,b); если (а, b) , то обратным элементом для пары (а, b) является (а, b)-1 =

2) Обозначим  = {а = (а, 0) аR} и определим отображение , положив (а) = (а, 0) для любого аR. Тогда является изоморфизмом поля R, +, на , +, , а поэтому последняя система является полем действительных чисел.

3) Обозначим (0,1) = , тогда 2 = (0,1) (0,1) = (1,0) = .

4) Всякий элемент из представим в алгебраической форме:

(a, b) = (а, 0) + (b, 0) (0,1) = +.

Теорема 3: Изоморфный образ поля комплексных чисел есть поле комплексных чисел.

Пример: Решить уравнение x24x+5=0.

Решение D = 16415=40, уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые корни:

Ответ: x1= 2+i; x2=2i;

 

Заключение.

В данной работе рассмотрены всевозможные алгебраические структуры группы, кольца и поля . Было выяснено что одним из простейших числовых множест является множество натуральных чисел. В нем всегда выполнимы два основных алгебраических действия: + и . Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Эти действия могут быть выполнимы всегда, если множество натуральных чисел расширить путем присоединения к нему всех отрицательных чисел и нуля, тогда получится множество всех целых чисел. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо.

Что бы выполнялось деление, нужно присоединить все обыкновенные дроби, в результате такого расширения получится множество всех рациональных чисел, которое является простейшим числовым полем.

 

Литература.

 

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., Наука, 1966.
2. Воеводин В.В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ./В.В. Воеводинь – СПб.:БХВ – Петербург, 2006.
3. Игонина Е.В., Прокуратова О.Н. Алгебра многочленов.: Учебно-методическое пособие для вузов, ЕГУ, 2005.
4. Kострикин А.И. Линейная алгебра [Текст] :Учебник для вузов-М. :Физико-математическая литература, 2000.
5. Кострикин А.Й. Основные структуры алгебры [Текст]: Учебник для вузов. -М. -.Физико-математическая литература, 2001.
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.
7. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре: Учебник. - СПб. :Издательство «Лань», 2005.
8. Ларин С.В. Числовые системы: Учеб. Пособие для студ. пед. вузов. –М.: Издательский центр «Академия», 2001.
9. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
10. Нечаев В.А.Задачник- практикум по алгебре. - .:«Просвещение»,1983.
11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учеб.пособие. 15-е.,стер. – СПб.:Издательство «Лань», 2005.
12. Шнеперман Л.Б.Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие.З-е изд.,стер. - СПБ. :Издательство «Лань», 2008.