Алгебраические структуры: группы, кольца и поля

Доказательство: Пусть А = { N | А ()}. В силу (а) и (b) выполняются условия: (1) 0A, (2) для любого из N, если A, то A. По аксиоме VII отсюда следует, что A = N. Последнее равенство означает, что любое натуральное число удовлетворяет условию A().

Есть, в сущности, другая формулировка аксиомы математической индукции, и ее будем называть принципом математической индукции. Принцип математической индукции можно записать в виде:

 

или в виде

 

Основные этапы доказательства по индукции: 1) доказывается, что 0 удовлетворяет условию A; 2) доказывается, что для всякого из А() следует A( + 1). Переменную называют переменной, по которой производится индукция. Часть доказательства «верно, что A (0)» называется началом индукции или базисом индукции. Вторая часть доказательства «для любого из A() следует A()» называется индукционным шагом. Посылка «A()» называется индуктивным предположением.

Для доказательства утверждения берут произвольное натуральное число, обозначают его какой-нибудь буквой, например , и доказывают импликацию обычным путем: предполагают, что A() истинно (индуктивное предположение), и показывают,

что тогда истинно A().

Сложение натуральных чисел удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

IV. Для каждого  из N + 0 = .

V. Для любых  и n из N + () = () + 1.

Эти условия дают возможность для любого фиксированного натурального числа вычислить значение суммы последовательно для значений , равных 0, 1, 2, ... Следовательно, эти условия позволяют найти значение суммы для любых натуральных чисел тип.

Например, пусть = 5 и = 3. Используя условия III, IV и V, можно выписать следующую цепочку равенств:

5+3 = 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1=7+1=8; таким образом, 5 + 3 = 8.

Теорема 2: Сложение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b, с: a + (b + c) = (a + b) + c.

Алгебра <N, +, 0> называется аддитивным моноидом натуральных чисел.

Лемма: Для любых натуральных а и b: (а+1) + b = а + (b + 1).

Теорема 3: Сложение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а, b: a + b = b + a.

Теорема 4: (Закон сокращения для сложения). Для любых натуральных а, b, с если a + c = b + c то а = b.

Следствие: Для любых натуральных а и b, если b0, то аa+b.

Теорема 5: Для любого натурального числа а либо а = 0, либо существует такое натуральное число b, что а =b + 1.

Следствие 1: Для любых натуральных а и b, если а0 или b0, то а+b0.

Следствие 2: Для любых натуральных а и b, если а+b=0, то а=0 и b=0.

Теорема 6: Для любых натуральных a и b выполняется одно и только одно из трех условий: (а) а=b;

(b) a + k = b (для некоторого kN\{0});

(c) а = b + m (для некоторого mN\{0}).

Разностью двух натуральных чисел а и b называется такое натуральное число k, что b+k = a. Разность двух натуральных чисел а и  b существует в том случае, когда выполнено условие (а) (при этом k = 0) или (c). В случае выполнения

условия (b) разность чисел а и b не существует.

Легко показать, что если разность чисел а и b существует, то она единственна. В самом деле, если b + k = а и b + m = а, то b + k = b + m, откуда, по закону 

сокращения для сложения, следует, что k = m. Единственное натуральное число, являющееся разностью чисел а и b, обозначают: аb.

Умножение натуральных чисел определяется следующими условиями (аксиомами):

V. m 0 = 0 для каждого m из N.

VI. m (n+1) = m n + m для любых m,n из N.

Из этих условий следует, что

m1=m,

m2=m(l + l) = m + m,

m3=m(2+ l)=m2+m=(m+m)+m=m+m+m и т. д. Таким образом, умножение является повторным сложением числа с самим собой.

Теорема 7: (Правый закон дистрибутивности умножения относительно сложения). Для любых натуральных a, b и с:

(a + b) c = a c + b c.

Теорема 8: (Левый закон дистрибутивности умножения относительно сложения). Для любых натуральных a, b и с:

c (a + b)= c a+c b.

Лемма: Для любого натурального числа а: 1а=а.

Доказательство (проводится индукцией по а). По аксиоме V, имеем 10=0. Предположим, что 1n=n для какого-нибудь натурального числа n. Тогда 1(n+1)=1n+1. Согласно принципу индукции, формула 1а = а верна для любого натурального числа а.

Теорема 9: Умножение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а и b: ab = ba.

Теорема 10: Умножение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b и с: a(bc) = (ab)c.

Алгебра <N, ,1 называется мультипликативным моноидом натуральных чисел.

Теорема 11: Для любых натуральных чисел а и b, если ab и b0, то ab0.

Теорема 12: (Закон сокращения для умножения). Для любых натуральных а, b, с, если ас = bс и с0, то а=b.

Рассмотрим отношения порядка на множестве натуральных чисел.

Если для натуральных чисел а и b существует такое натуральное число k, что a + k = b и k0, то говорят, что «а меньше b», и пишут a<b. Говорят, что «а меньше или равно b», и пишут аb, если а<b или а = b.

Отношение, инверсное к отношению <, обозначают символом >. Таким образом, а>b тогда и только тогда, когда b < а. Есла а > b или а = b, то говорят, что «а больше или равно b», и пишут аb. Отношение является инверсией к отношению .

Теорема 13: Для любых натуральных чисел а и b:

(1) если а<b, то a+1b;

(2) 0а;

(3) если а0 то 0<а;

(4) аb тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число k, что a + k = b.

Алгебраическая система N, +, , < называется упорядоченной системой натуральных чисел.

Теорема 14: (Закон трихотомии для <). Для любых натуральных чисел а и b выполняется одно и только одно из трех условий: a<b, a = b, a>b.

Для любых натуральных чисел а и b выполняются:

(1) аа (закон рефлексивности для ;);

(2) либо аb, либо bа (закон связанности для ;);

(3) если аb и ba, то a = b (закон антисимметричности для ).

Теорема 15: Бинарное отношение < на множестве натуральных чисел транзитивно, т. е. для любых натуральных чисел a, b и с, если а<b и b<с, то а<с.

Следствие 1: Отношение < на множестве натуральных чисел является отношением строгого линейного порядка. Система N, < является линейно упорядоченным множеством.

Следствие 2: Для любых натуральных чисел а,b и c:

(1) если аb и b<с, то a<c;

(2) если а<b и bс, то а<с;

(3) если аЬ и bс, то ас.

Следствие 3: Бинарное отношение на множестве натуральных чисел является отношением нестрогого линейного порядка.

Теорема 16: Отношение < монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных чисел а, b и с:

(1) а<b тогда и только тогда, когда а + с<b+с;

(2) если a<b и с0, то ac<bc.

Следствие: Отношение монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных a, b и с:

(1) аb тогда и только тогда, когда а+сb + с;

(2) если аb, то асbс.

Теорема 17: Для любых натуральных чисел а, b и с из ac<bc следует a<b.

Теорема 18: Пусть А — подмножество множества N всех натуральных чисел. Если для каждого натурального выполняется условие , то A = N.

 

§ 2 Кольцо целых чисел

Аддитивная группа целых чисел. Пусть N = (N, +, , 0, 1) — система натуральных чисел. Операция вычитания в N не всегда выполнима, т. е. для данных натуральных чисел m и n тип уравнение m+х = n относительно х не всегда имеет решение в N. Только в том случае, когда mn, уравнение имеет решение в N, и притом единственное это решение называется разностью чисел   n и m и обозначается через nm.

Существует такая аддитивная абелева группа Z, которая удовлетворяет условиям:

(1) множество N содержится  в | Z | и сложение в группе Z продолжает сложение в N .

(2) операция вычитания  в Z всегда выполнима и всякий элемент группы Z можно представить в виде разности натуральных чисел. Такую группу мы назовем аддитивной группой целых чисел.

Теорема 1: Пусть N = <N, +,, 0, 1> система натуральных чисел. Существует абелева группа Z = <Z, +, >, удовлетворяющая условиям:

(a) NZ и сумма любых двух натуральных чисел m и n в группе Z совпадает с суммой этих элементов в N т. е. m+n = m+n;

(b) для любого элемента а из b существуют такие натуральные числа n и m, что n+а = m.

Аддитивной группой целых чисел называется абелева группа Z =<Z,+,,, 

удовлетворяющая условиям (а) и (b). Пусть Z+ = <Z, +, > —аддитивная группа целых чисел. По теореме , NZ и всякий элемент из Z можно представить как разность натуральных чисел; следовательно, Z = {mn | m, nN}.

В группе Z+ определим умножение следующим образом: для любых элементов mn и рq из Z полагаем (mn)(pq) = (mp+nq)(mq+np), где m,n,p,qN и mp, nq, mq, np — произведения натуральных чисел в системе N.

Кольцо K  называется кольцом целых чисел, если аддитивная группа кольца K является аддитивной группой целых чисел и умножение в кольце K коммутативно и продолжает умножение натуральных чисел (в системе N натуральных чисел).

 

§ 3 Поля. Поле рациональных чисел.

Элемент а кольца K  называется обратимым элементом кольца, если в кольце существует такой элемент b, что аb=bа=1K. При этом элементы а и b называются взаимно обратными.

Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль отличен от единицы, 0K 0K и всякий ненулевой элемент является обратимым элементом кольца.

Пусть F  = <F +,,,1> поле. Группа F,+, называется аддитивной группой поля. Ее нейтральный элемент называется нулем поля и обозначается символом 0 или 0F.

Подполем поля F  называется подкольцо поля F, в котором всякий ненулевой элемент обратим. Подполе поля F, отличное от F, называется собственным подполем.

Пусть а, b — элементы поля F и b0. Уравнение bх = а имеет в поле решение ab-1 легко проверить, что ab-1 является единственным решением уравнения. Элемент ab-1  обозначается символом или а/b.

Теорема 1: Пусть F = F,+,,,1> поле. Тогда для любых элементов а,b,с поля:

(1) если ab=l, то а0 и b=а-1;

(2) если ас = bс и с0, то а=b;

(3) если аb=0, то а=0 или b=0;

(4) если а0 и b0, то ab0;

(5) = тогда и только тогда, когда ad = bc, b0 и d0;

(6)

(7)

(8) и

(9) если a0 и b0, то -1

(10)

Поле F называется полем частных области целостности K , если выполнены условия: (а)K есть подкольцо поля F;

(b)Для любого х из F существуют такие элементы a,b кольца K, что x=ab-1.

Полем рациональных чисел называется поле частных кольца целых чисел. Элементы поля рациональных чисел называются рациональными числами.

Отношение < на множестве Q рациональных чисел определяется следующим образом: для любых двух рациональных чисел и , где р,rZ и q,sN\{0}, тогда и только тогда, когда ps < qr.

Теорема 2: Бинарное отношение < на множестве Q рациональных чисел обладает следующими свойствами:

1) для любых а, b и с из Q, если а<b и b<с, то а<с;

2) для любых a, b из Q имеет место одно и только одно из трех соотношений: а<b, а=b, b<a;

3) для любых а, b, с из Q, если a<b, то a+c<b+c;

4) для любых a, b, с из Q, если а<b и 0<с, то ас<bс.

§ 4 Система действительных чисел.

Упорядоченное поле F называется архимедовски упорядоченным, если для любых положительных элементов а и b поля существует такое натуральное

число n, что nа>b. Пусть <а0, а1, а2, ...> — бесконечная последовательность элементов упорядоченного поля F. Ее обозначают также через akkϵN или ak.

Элемент а упорядоченного поля F  называется пределом последовательности ak элементов поля, если для каждого положительного элемента поля существует (зависящее от ) натуральное число n0 такое, что aka для любого натурального k0. Последовательность ak., имеющая предел в поле F, называется сходящейся в этом поле.

Последовательностьak элементов упорядоченного поля F называется фундаментальной над F, если для каждого положительного элемента поля существует (зависящее от ) натуральное число n0 такое, что aka для любых натуральных k и n, больших, чем n0.

Упорядоченное поле называется полным, если всякая фундаментальная последовательность элементов поля сходится в этом поле.

Системой действительных чисел называется полное архимедовски упорядоченное поле. Пусть <R, +, , , 1, < — система действительных чисел. Тогда алгебра <R, +, —, > 1> есть поле, называемое полем действительных чисел. Множество R называется множеством действительных чисел.

Теорема 1: Для любых действительных чисел а и b при b>0 существует целое число m и действительное число r такие, что a = mb + r, 0r<b.

Теорема 2: Для любого положительного числа а существует единственное положительное действительное число с такое, что сn = а.

Пусть а — положительное действительное число и n — натуральное число, отличное от нуля. Единственное положительное действительное число c такое, что сn = а, называется арифметическим или главным корнем п-й степени из а и обозначается символом или .

Последовательность а0, а1, а2, ... > рациональных чисел будем обозначать через akkϵN или ak. На множестве QN всех последовательностей рациональных чисел определим бинарные операции , , унарную операцию и нульместную операцию :

akbk=ak+bk;

ak = ak

akbk=akbk;

=ak, где ak=l для всякого натурального k.

Пример: Система F = F, +, , , 1, < есть архимедовски упорядоченное поле и всякая фундаментальная последовательность над полем сходится к элементу этого поля. Таким образом, поле является полем действительных чисел.

 

§ 5 Поле комплексных чисел

Теорема 1: Системой комплексных чисел называется минимальное поле, содержащее поле действительных чисел и элемент i  такой, что i2 = l. Другими словами, система (С, +, ) называется системой комплексных чисел, если выполнены следующие условия:

1. (С, +, ) — поле;
2. поле действительных чисел R, +, содержится в поле С, +, ;
3. существует i С такой, что i2 = l;
4. (свойство минимальности) если С0 — подполе, содержащее R и i ,то С0= С.

Всякий элемент из С называется комплексным числом, а элемент i—мнимой единицей. Система С, +, называется полем комплексных чисел.

Числовым полем называется всякое подполе поля комплексных чисел.

Таким образом, «самым маленьким» числовым полем является поле рациональных чисел, а «самым большим» — поле комплексных чисел.

Система С, +, является системой комплексных чисел тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям 1), 2), 3) и следующему условию: что всякий элемент из С представим в виде +i, где ,R.

Представление комплексного числа в виде a + bi, где a,bR, называется его алгебраической формой. При этом а называется действительной частью, а b — мнимой частью.