Алгебраические структуры: группы, кольца и поля

Алгебра (P(U), , > ') является алгеброй типа (2, 2, 1).

Алгебра А = <А, , е) типа (2,0), где А — произвольное непустое множество,  — ассоциативная бинарная операция на А, е — нейтральный элемент относительно *, называется моноидом.

Теорема 1: Пусть — гомоморфизм алгебры A в алгебру B и g — гомоморфизм алгебры B в алгебру L. Тогда их композиция g является гомоморфизмом алгебры A в алгебру L.

Алгебра B называется подалгеброй однотипной ей алгебры А, если В А и тождественное отображение множества В в А является мономорфизмом

алгебры В в алгебру А, т. е. для каждой главной операции В алгебры В .

 В (1 , … , m) = A (1 , … , m) для всех 1 , … , m из В где — ранг операции A, а B — главная операция алгебры B, соответствующая A.

Запись B ⊰A означает, что алгебра B есть подалгебра алгебры А.

Подмножество В множества |А| называется замкнутым в алгебре А, если В замкнуто относительно каждой главной операции A алгебры A.

Теорема 2: Если в алгебре А среди главных операций есть хотя бы одна нульместная, то пересечение любой (непустой) совокупности подалгебр алгебры А является подалгеброй алгебры А.

Пусть А — алгебра и R — отношение эквивалентности на множестве |А|.

Отношение R называется конгруэнцией или отношением конгруэнтности в алгебре A если R является конгруэнцией относительно каждой главной операции A алгебры A.

Пусть A = <A, > —алгебра и R — конгруэнция в A. Алгебра (A/R, > называется фактор- алгеброй алгебры A по конгруэнции R и обозначается через A/ R.

§3 Группы

Алгебра = <G, , '> типа (2, 1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):

(1)Бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов a,b,c из G а(bс) = (аb)с;

(2)В G имеется правый нейтральный элемент относительно операции , т.е. такой элемент , что а = а для всякого элемента а из G;

(3)Для любого элемента а из G а*а'=.

Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем — бинарной операцией  и унарной операцией ', причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, операции группы .

Группа = <G, , '> называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы коммутативна, т. е. для любых а,b из G ab = bа.

Порядком группы = G, , '>  называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то

группу называют группой бесконечного порядка.

Алгебра = G, , -1> типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:

(1)Бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, c из G верно равенство a(bc) = (ab)c;

(2)В G имеется правая единица, т. е. такой элемент , что а=а для всякого элемента а из G;

(3)Для любого элемента а из G выполняется равенство аа-1=.

Некоторые свойства группы: 1) Для каждого элемента а группы элемент а-1 является единственным обратным элементом. Каждый элемент а группы имеет единственный правый и единственный левый обратный элемент, причем оба они совпадают с а-1.

2) Для любых элементов а, b группы каждое из уравнений ах = b и уа = b относительно  переменных х и у имеет в группе единственное решение.

3) (Закон сокращения). Для любых элементов а, b, с группы из ас = bс следует а=b и из са=cb следует а=b.

4) Для любых элементов а, b, с группы из ab=a следует b= и из са=а следует с=.

5) В группе элемент а есть обратный к а-1 т. е. (а-1)-1=а.

6) Для любых элементов а, b группы из ab= следует, что b=а-1 и а=b-1.

АлгебраK=Н,,-1) типа (2, 1) называется  подгруппой группы =G,,-1, если HG и тождественное отображение множества Н в G является моно- морфизмом алгебры K в , т. е. выполняются условия:

(1) ab=ab для любых а, b из H;

(2) а-1 = а-1 для любого а из H.

Запись K⊰означает, что алгебра K является подгруппой группы .

Бинарное отношение ⊰ («быть подгруппой») на множестве подгрупп данной группы рефлексивно, транзитивно и антисимметрично и, следовательно, является отношением нестрогого порядка.

Пересечение произвольной (непустой) совокупности подгрупп группы является подгруппой группы .

Примеры: 1) Пусть R —множество всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией (-), ставящей в соответствие каждому действительному числу противоположное число -г. Алгебра R+= <R, +, является группой. Она называется аддитивной группой действительных чисел.

2) Пусть R*— множество всех отличных от нуля действительных чисел с обычным умножением и унарной операцией -1, ставящей в соответствие каждому отличному от нуля числу обратное число -1. Алгебра R*=R*,,-1 является группой. Эта группа называется мультипликативной группой действительных чисел.

3) Пусть G — множество всех векторов данной плоскости с обычной операцией (+) сложения векторов и унарной операцией (), ставящей в соответствие каждому вектору противоположный вектор (-). Алгебра G,+,-является группой. Эта группа называется аддитивной группой векторов плоскости.

4) Пусть R+=R, +, — аддитивная группа действительных чисел. Множество Q рациональных чисел есть подмножество множества R, замкнутое относительно главных операций группы R+. Следовательно, алгебра Q = Q, +,, аддитивная группа рациональных чисел, является подгруппой группы R+.

 

 

§ 4 Кольца

Кольцом называется алгебра К=К, +, ,, 1> типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

1) алгебра К,+, есть абелева группа;

2) алгебра К,, 1> есть моноид;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Основное множество К кольца К обозначается также через | К |. Элементы множества К называются элементами кольца К.

Группа <К, +, > называется аддативной группой кольца К. Нуль этой группы, т. е. нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается через 0 или 0К.

Моноид (К, , 1) называется мультипликативным моноидом кольца К. Элемент 1, обозначаемый также через 1К, являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца К.

Кольцо К называется областью целостности, если оно коммутативно, 0К1К и для любых а,bK из аb = 0 следует а = 0 или b = 0.

Пример: Пусть Q—множество всех рациональных чисел и Q[]={a+b|a, bQ}

Алгебра Q[]=<Q[], +,,,1> типа (2, 1, 2, 0), где +, суть обычные операции сложения и умножения действительных чисел и () есть унарная операция перехода от данного числа к противоположному, является коммутативным кольцом.

Теорема 1: Пусть К = К, +, —, , 1 —кольцо. Тогда для любых элементов а, b, с кольца: 1) если а + b = а, то b = 0;

(2) если а + b = 0, то b = а;

(3) (а) = а;

(4) 0а = а0 = 0;

(5) (а)b = а(b) = (ab);

(6)(а)(b) = аb;

(7) (ab)c = ac — bc и c(ab) = ca — cb.

Гомоморфизм h кольца K на кольцо K' называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества К на К'. Кольца K и K' называются изоморфными, если существуют изоморфизм кольца K на K'. Запись K K' означает, что кольца K и K' изоморфны.

Теорема 2: Если отображение h кольца К в кольцо К' переводит единицу кольца К в единицу кольца К' и сохраняет операции сложения и умножения.

h(x+y) = h(x)+h(y); h(xy) = h(x)h(y) для любых х, у из К то h переводит нуль кольца К в нуль кольца К' и является гомоморфизмом.

Теорема 3: Отношение изоморфизма на каком-нибудь множестве колец рефлексивно, транзитивно и симметрично и, значит, является отношением эквивалентности.

Пример: Пусть К — множество всех матриц вида с рациональными а и b и K = К, +,,, 1> — кольцо таких матриц. Отображение h: Q []К, определяемое формулой h(a+b)=, есть инъективное отображение множества Q[] на K. Нетрудно проверить, что отображение h сохраняет главные операции кольца Q[]. Следовательно, h является изоморфизмом кольца Q[] на кольцо K.

Алгебра L = <L, , , , 1L типа (2, 1, 2, 0) называется подкольцом кольца K , если LК и тождественное отображение множества L в К является мономорфизмом алгебры L в K, т. е. выполняются условия:

(1) аb = а+b для любых а, b из L;

(2) а = а для любого а из L;

(3) аb = ab для любых а, b из L;

(4) 1L=1K

Запись L⊰K означает, что алгебра L является подкольцом кольца K.

Теорема 4: Бинарное отношение ⊰(«быть подкольцом») на множестве подколец данного кольца рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, т. е. является отношением нестрогого порядка.

Пример: Матрицы вида называются верхнетреугольными. Пусть L— множество всех верхнетреугольных матриц над данным кольцом K=К,+,,, 1. Множество L замкнуто относительно главных операций кольца K2x2 = <К2x2 ,+,1> 22-матриц над K. Следовательно, алгебра L,+,,,1 является подкольцом кольца K2x2.

 

§ 5 Алгебраические системы.

Алгебраической системой называется упорядоченная тройка А=А,0, где А — непустое множество, — множество операции на Аи 0 — множество отношений на А.

Алгебраическая система А определяется тремя множествами;

(a) непустым множеством А, это множество называется основным множеством системы А, а его элементы — элементами системы А.

(b) множеством операций , определенных на А и называемых главными операциями системы А

(c) множеством отношений 0, заданных на А и называемыми главными отношениями системы А.

Иногда под алгебраической системой понимают пару (А, *), где *=0> Q —множество операций на А, 0 —множество отношений на А. Тогда если 0= 0, то система (А, *) = (А, ) является алгеброй. Таким образом, алгебру можно рассматривать как частный случай алгебраической системы.

Пример: Множество натуральных чисел N с обычными операциями сложения +, умножения и отношением порядка является алгебраической системой N, +, ,типа (2,2; 2).

Изоморфизмом алгебраической системы А на однотипную ей систему B называется инъективное отображение множества |A| на |B|, сохраняющее все главные операции и отношения системы A. Системы A и B называются изоморфными, если существует изоморфизм системы A на B. Запись AB означает, что системы A и B изоморфны.

Мономорфизмом или вложением алгебраической системы A в однотипную ей систему B называется инъективное отображение множества |A| в |B|, сохраняющее все главные операции и отношения системы А.

Система А называется подсистемой системы В, если |A| |B|, и тождественное отображение |A| в |B|, является мономорфизмом системы А в систему В. Запись А⊰В значит, что система А является подсистемой системы В.

 

III Основные числовые системы

 

§ 1 Система натуральных чисел

Системой натуральных чисел называется алгебра (N, +, , 0, 1), состоящая из некоторого множества N, выделенных в N элементов 0 и 1, бинарных операций + и (называемых сложением и умножением соответственно), удовлетворяющих следующим условиям (аксиомам):

I. Для любого  из N +10.

II. Для любых  и из N, если +1=+1» то = .

III. Для любого  из N +0=.

IV. Для любых  и +(+1) = (+)+1.

V. Для любого  из N 0 = 0.

VI. Для любых  и из N (+1) = .

VII. Если А — подмножество множества N такое, что:

а) 0A

b) для любого , если А, то +1А, тогда A=N.

Приведенную систему аксиом называют системой аксиом Пеано, так как она представляет собой несущественное изменение аксиоматики, предложенной итальянским математиком Пеано.

Условие I означает, что элемент 0 нельзя представить в виде суммы какого-нибудь элемента из N и элемента 1.

Условие II означает, что элемент 1 является регулярным слева относительно сложения.

Условие III означает, что 0 есть правый нейтральный элемент относительно сложения.

Условие IV есть слабая форма ассоциативности сложения.

Условие VI есть слабая форма дистрибутивности умножения относительно сложения.

Условие VII называется аксиомой математической индукции. Из этой аксиомы вытекает, что любое подмножество множества N, содержащее 0; 1 и замкнутое относительно сложения, совпадает с множеством N. Таким образом, из аксиомы математической индукции следует, что единственной подалгеброй алгебры N= <N, +, , 0, 1) является сама алгебра N. Элементы множества N называются натуральными числами. Элементы 0 и 1 называются соответственно нулем и единицей системы N.

Для записи чисел 1 + 1, (1 + 1)+1, ((1+1)+1)+1, (((1 + 1) + 1) + 1) + 1, ... используется обычная десятичная символика: 2, 3, 4, 5, ...

Система натуральных чисел, т. е. алгебра типа (2, 2, 0, 0),удовлетворяющая аксиомам I—VII является множество N* в однобуквенном алфавите , были определены операции и над словами алфавита .

Пустое слово 0* и слово 1 играют роль нуля и единицы соответственно в алгебре: N* = <N*, , , 0*, 1>. Эта алгебра удовлетворяет системе аксиом I—VII. В самом деле, для любого из N* слово 1 не является пустым; следовательно, 0*, значит выполнено условие I.

Поскольку для любых ,N* из графического равенства слов 1 и 1 следует графическое равенство слов и , то выполнено и условие II. Композиция любого слова из N* и пустого слова 0* есть слово , 0*=, т. е. выполнено условие III. Из свойства ассоциативности композиции слов следует выполнение условия IV. Выполнение условия V непосредственно следует из определения операции умножения слов () = (), т. е. условие VI также выполняется. Наконец, интуитивно ясно, что в алгебре N* выполняется аксиома индукции: если множество АN* такое, что (а) 0*A и (b) для каждого , если A, то и А, тогда A = N*. В самом деле, обозначим через А () предикат «А»; запишем цепочку верных в силу (b) для любого n импликаций: A(0*)A(1), A(1)A(2), ..., А()А().

Так как A(0*) истинно, то из первой импликации следует истинность А (1); из истинности A(1) и второй импликации следует истинность А(2) и т. д. Через +1 шагов мы получим истинность А() для любого из N*.

Аксиома математической индукции является основой метода доказательства по индукции. Доказательство по индукции применимо, когда хотят доказать, что какой-нибудь одноместный предикат с натуральной свободной переменной (одноместное условие) истинен для всех натуральных чисел.

Теорема 1: Пусть А () — любой одноместный предикат на множестве N натуральных чисел, удовлетворяющий условиям: (а) А(0) истинно (0 удовлетворяет предикату А()); (b) для каждого из N, если А() истинно, то истинно А(). Тогда А() истинно для любого натурального .