Контрольная работа по "Логистике"

Необходимо установить такие хозяйственные связи, которым соответствуют минимальные суммарные затраты на доставку груза.

Исходные данные:

           __                 __                

          |  19  5    6  9   |     

          |  21  17  9  8    |                 А = (250; 120; 230),             

   С = |_18  20  15 11_|                В= (140; 80; 180; 200).      

                  

                                                          

Решение:

 

Поставщики	Потребители				Всего ресурсов
	В1	В2	В3	В4
А1	19	5 80	6 170	9	250	u1=0
А2	21 120	17	9	8	120	u2=12
А3	18 20	2	15 10	11 200	230	u3 =-9
Всего потребность	140	80	180	200	600
	v1=9	v2=5	v3=6	v4=2

 

После того, как  исходные данные занесены в таблицу, следующим шагом будет размещение данных предложения по строкам в  соответствии с данными в столбцах. Сначала распределяем максимальное значение. Распределяем эту величину по ячейкам этой строки. Берем ячейку с максимальным индексом и ставим в нее значение, не превышающее величину спроса В.

В ячейку А₁В₂ ставим значение 80. Теперь остается значение предложения 250-80=170. Следующая ячейка с минимальным индексом 6- А₁В₃. Далее по убывающей распределяем значение А₃ = 230 таким же способом.

После распределения  значений спроса и предложения необходимо оптимизировать стратегию, для этого используется метод потенциалов. Для этого находятся индексы по заполненным клеткам: S_ij = C_ij – (u_i – v_i). S_ij >=0. Первый индекс u₁ = 0. Если оно выполняется, то в незаполненной ячейке ставим знак «+», если не выполняется, то «-».

Задача невырождена, т.к. соблюдается условие: количество заполненных клеток не превышает значение N = m+n-1 = 4+3-1 = 6, где m – строки, n- столбцы.

u₁ = 0; v₂ = 0+5=5; v₃ =0+6=6; u₃ =6-15=-9 и т.д.

Теперь проверяем  незаполненные клетки:

А₁В₁= 0+19 ≥ 9, верно, знак «+»

А₂В₂= 12+17 ≥ 5, верно, знак «+»

 А₃В₂= 0+19 ≥ 9, верно, знак «+» и т.д.

Задача заключается  в том, чтобы потенциалы пустых клеток были положительными. У нас ячейка А₂В₄ с отрицательным потенциалом. Чтобы убрать минус, берется четырехугольник с тремя вершинами цикла с заполненными ячейками с данным минусом четвертая вершина. Затем берется диагональ данного четырехугольника с двумя заполненными ячейками, из них выбирается с минимальным значением поставки и четырехугольник преобразуется следующим образом. Необходимо следить за тем, чтобы значения спроса и предложения в сумме не изменялись. В новой таблице находим заново индексы и проверяем потенциалы пустых клеток.

Поставщики	Потребители				Всего ресурсов
	В1	В2	В3	В4
А1	19	5 80	6 170	9	250	u1=0
А2	21	17	9	8 120	120	u2=-6
А3	18 140	20	15 10	11 80	230	u3 =-9
Всего потребность	140	80	180	200	600
	v1=9	v2=5	v3=6	v4=2

 

Поставщики	Потребители				Всего ресурсов
	В1	В2	В3	В4
А1	19	5 80	6 170	9	250	u1=0
А2	21	17	9 10	8 110	120	u2=-3
А3	18 140	20	15	11 90	230	u3 =-6
Всего потребность	140	80	180	200	600
	v1=12	v2=5	v3=6	v4=5

 

 

Стратегия оптимальна, транспортные издержки составят:

 

F = 140*18+80*5+170*6+10*9+110*8+90*11=5900

 

 

 

 

 

4 Задача «Обоснование стратегии посредника в межфирменной логистической системе (МЛС)»

 

При посредничестве коммерческо-транспортной фирмы m поставщиков осуществляют снабжение конкретным товаром n покупателей. Фирма покупает продукт у поставщиков, проводит его транспортировку и реализацию получателям. Известны данные о величине максимальных продаж каждым из поставщиков и о том, сколько каждый потребитель может максимально купить. Посредник располагает информацией о ценах приобретения единицы товара у каждого поставщика, ценах продажи единицы товара каждому потребителю и удельных  транспортных  издержках  при  доставке  груза  от  i-го поставщика к j-му потребителю. При этом посредник взял на себя обязательства приобрести у i-го поставщика как минимум P_i процентов его продукции максимального (верхней границы) предложения, а также удовлетворить потребности j-го получателя как минимум на Q_j процентов от максимального (верхней границы) спроса. Если посредник купит у поставщика больше продукции, то он получит премию либо убыток (товар будет реализован ему по другой цене). Аналогично, если посредник продаст потребителю товар сверх обязательств, то ему также будет выплачена премия либо нанесен убыток (этот товар будет приобретен по измененной цене). Требуется установить такой план перевозок (связей в МЛС), чтобы прибыль посредника была бы максимальной и были бы выполнены обязательства, взятые им на себя.

Дана система (C1, Т, С2, К1, К2, Р, Q, М).

где  С1 = [c1_i] – вектор цен приобретения товара посредником;

T = [t_ij] – матрица удельных транспортных издержек;

 С2 = [c2_j] – вектор цен реализации товара потребителям (размер матрицы Т m х n; i = 1, …, m; j = 1, …, n);

К1 = [к1_i] – вектор премий (штрафов) за приобретение посредником дополнительного количества товара (i = 1, …, m);

К2 = [к2_j] – вектор премий (штрафов) за продажу покупателю дополнительного количества товара (j = 1, …, n);

Р = [р_i] – вектор обязательств перед поставщиками (i = 1, …, m);

Q = [q_j] – вектор обязательств перед покупателями (j = 1, …, n);

М – система верхних  границ предложения и спроса (а_i, b_j).

Задача состоит в  нахождении значений х_ij ≥ 0, характеризующих объем перевозок от i-го поставщика к j-му потребителю, переменных х_i > 0, означающих количество закупленного товара у i-го поставщика, и переменных х_j > 0, означающих количество проданного товара j-му потребителю. При этом:

 

( i =1,…, m );    (4.1)

( j =1,…, n );    (4.2)

  ( i = 1,…,m );   (4.3)

  ( j = 1,…, n )   (4.4)

 

и функция F должна достигать  максимального значения, где

 

) . (4.5)

 

Рассматриваемая модель может быть преобразована в классическую транспортную задачу при выполнении следующих условий непротиворечивости:

 

     Λ      ,   (4.6)

 

где a_i – верхняя граница предложения i-го поставщика;

- нижняя граница предложения i-го поставщика;

b_j – верхняя граница спроса j-го потребителя;

- нижняя граница спроса j-го  потребителя.

Каким должен быть объем  перевозок х_ij от i-го поставщика j-му потребителю, чтобы прибыль посредника была бы максимальной?

В данной задаче могут возникнуть четыре ситуации соотношения между предложением и спросом:

- верхняя граница предложения  превышает верхнюю границу спроса, а также нижняя граница предложения  выше нижней границы спроса, т.е.

>  Λ  ;   (4.7)

- верхняя граница предложения  выше верхней границы спроса  и нижняя граница предложения не превышает нижней границы спроса, т.е.

 

>  Λ  < ;   (4.8)

- верхняя граница предложения  меньше верхней границы спроса  и нижняя граница предложения  не превышает нижней границы  спроса, т.е.

 

<  Λ  < ;   (4.9)

- верхняя граница предложения не превышает верхней границы спроса и нижняя граница предложения выше нижней границы спроса, т.е.

 

<  Λ  > .   (4.10)

Схемы учета этих ситуаций при преобразовании задачи до классической представлены на рисунке 4.1.

      A: >

Параметры задачи     Переменные для решения

Cij	Cij	M		Yij	Zij	0
Cij+k1i+k2j	0	0		Uij	Qij	Qi

     b_j          b_j -    -

      B: <

Параметры задачи  Переменные для решения

Cij	Cij		Yij	Uij
Cij+k1i+k2j	0		Zij	Qij
M	0		0	Qj

           b_j -

 

Рисунок 4.1 - Схема учета соотношения предложения и спроса при обосновании стратегии посредника

На рисунке 4.1 С_ij обозначает удельную прибыль, получаемую при доставке единицы товара от i-го поставщика j-му потребителю (С_ij = C2_j - t_ij - C1_i), а М можно принять  равным  трем  максимальным значениям удельной прибыли, т.е. М = 3·max (C_ij) и показывает, что данная трасса ведет к большим убыткам.

Исходные данные:

С1 = [17, 17, 20];        С2 = [25, 20, 26];

 

             4  3  6

Т =       5  5  3

             4  1  2

 

К1 = [2, 1, 1] ;                           К2 = [1, 1, 1];

Р = [75, 80, 70] ;                       Q = [90,70,80];

 

a₁ = 100 ;             a₂ = 300;             a₃ = 160;

b₁ = 100 ;             b₂ = 180;             b₃ = 200.

Следует определить максимальную прибыль посредника.

Для решения задачи используем схему, представленную на рисунке 4.1. Матрица С_ij  будет иметь следующий вид:

              4    0     3

С_ij =      3   -2    6

            1   -1     4

Параметры задачи представлены ниже на рисунке 4.2.

 

	П1	П2	П3	ai
О1	4	0	3	100	75
О2	3	-2	6	300	240
О3	1	-1	4	160	112
bi	100	180	200
	90	126	160