Математика и естествознание

    И наконец, сюжет, еще более свежий, чем пульсар PSR 1913+16. Он тесно связан, однако, с идеей, возникшей еще  на заре ОТО. В 1919 году Эддингтон и Лодж независимо друг от друга заметили, что, поскольку звезда отклоняет световые лучи, она может рассматриваться как своеобразная гравитационная линза. Такая линза смещает видимое изображение звезды-источника по отношению к ее истинному положению.

    Первая  наивная оценка может привести к  выводу о полной безнадежности наблюдения эффекта. Из простых соображений  размерности можно было бы заключить, что изображение окажется сдвинутым  на угол порядка rg /d, где rg - гравитационный радиус линзы, а d - характерное расстояние в задаче. Даже если взять в качестве линзы скопление, состоящее из 104 звезд, а для расстояния принять оценку d ? 10 световых лет, то и тогда этот угол составил бы всего 10^-10 радиан. Разрешение подобных углов практически невозможно.

    Однако  такая наивная оценка просто неверна. Это следует, в частности, из исследования простейшего случая соосного расположения источника S, линзы L и наблюдателя O. Задача эта была рассмотрена в 1924 году Хвольсоном (профессор Петербургского университета, автор пятитомного  курса физики, широко известного в  начале века) и спустя 12 лет Эйнштейном. Правильный порядок величины угловых  размеров изображения оказался намного  больше первой, наивной, оценки, и это  радикально меняет ситуацию с возможностью наблюдения эффектов гравитационных линз.

    Изображение источника в виде окружности (ее принято называть кольцом Эйнштейна), создаваемое гравитационной линзой при аксиально-симметричном расположении, реально наблюдалось. Сейчас известно несколько источников в радиодиапазоне, которые выглядят именно так, кольцеобразно. Если, однако, гравитационная линза не лежит на прямой, соединяющей источник с наблюдателем, картина оказывается иной. В случае сферически-симметричной линзы возникают два изображения, одно из которых лежит внутри кольца Эйнштейна, соответствующего осесимметричной картине, а другое - снаружи. Подобные изображения также наблюдались, они выглядят как двойные квазары, как квазары-близнецы.

    2. Главные выводы  специальной теории  относительности:

    2.1 Эйнштейновский принцип относительности

    Специальная теория относительности (СТО) наряду с  предположением о том, что

    a) пространство – трёхмерно, однородно и изотропно, (что означает, что в пространстве нет выделенных мест и направлений)

    б) время – одномерно и однородно, (нет выделенных моментов времени)

    использует  следующие два основополагающие принципа:

    1. Никакими физическими опытами  внутри замкнутой физической  системы нельзя определить, покоится  ли эта система или движется  равномерно и прямолинейно (относительно  системы бесконечно удаленных  тел). Этот принцип называют принципом  относительности Галилея – Эйнштейна, а соответствующие системы отсчёта – инерциальными.

    2. Существует предельная скорость (мировая константа c) распространения физических объектов и воздействий, которая одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Со скоростью c распространяется свет в вакууме.

    Прямая  проверка независимости скорости света  от скорости источника была выполнена  А.М. Бонч-Бруевичем в 1956 г. С использованием света, испускаемого экваториальными краями солнечного диска. Скорости диаметрально противоположных участков диска (за счет вращения Солнца) отличаются на 3,5 · 10³м/с, а скорость испущенного ими света изменялась на 65 ±240м/c. Зависимость скорости света от скорости источника не наблюдалось.

    Таким образом, все физические явления, включая  распространение света (и, следовательно, все законы природы), в различных  инерциальных системах отсчета выглядят совершенно одинаково. Такая особенность  Законов Природы носит название лоренцевой инвариантности (от латинского invariantis – неизменяющийся).

    Согласно  СТО, если скорость частицы меньше скорости света в вакууме c в некоторой инерциальной системе отсчета в данный момент времени, то она не может быть сделана равной или большей c ни кинематически – переходом в другую систему отсчета, ни динамически – изменением скорости частицы, приложенными к ней силами. Поэтому распространение электромагнитных волн в вакууме является самым быстрым способом распространения взаимодействия в физических системах.

    Это положение принято распространять на все типы частиц и взаимодействий, хотя прямая проверка осуществлена только для электромагнитного взаимодействия. Существование предельной скорости распространения взаимодействия приводит к ограничениям на модели в релятивистской физике. Оказывается, например, недопустимой модель абсолютно твердого тела, так  как под воздействием приложенной  к нему силы, все точки тела мгновенно  изменяют свои механические состояния.

    2.2 Синхронизация часов:

    В упомянутой статье Эйнштейн проанализировал  свойства времени и кажущееся "очевидным" понятие одновременности. Он показал, что классическая механика приписывает  времени такие свойства, которые, вообще говоря, не согласуются с  опытом и являются правильными только при малых скоростях движения. Одним из центральных пунктов  эйнштейновского анализа понятия  времени является синхронизация  часов, т.е. установление единого времени  в пределах одной инерциальной системы  отсчета. Если двое часов находятся  в одной точке пространства (т.е. в непосредственной близости), то их синхронизация производится непосредственно - стрелки ставятся в одно и то же положение (полагают, что часы совершенно одинаковы и абсолютно точны).

    Синхронизацию часов, находящихся в двух разных точках пространства, Эйнштейн предложил  проводить с помощью световых сигналов. Испустим из точки A в момент t₁ короткий световой сигнал, который отразится от некоторого зеркала B и вернется в точку A в момент t₂. Времена распространения сигнала туда и обратно конечны (скорость сигнала конечна!) и одинаковы (изотропия пространства!). Поэтому часы в точке B будут согласованы с показаниями часов в точке A в моменты испускания (t₁) и возвращения (t₂) сигнала соотношениями

    t₁ = tB - h/c, t₂ = tB + h/c,

    где h = rAB - расстояние между точками A и B. Отсюда положение, в которое нужно поставить стрелки часов B в момент прихода сигнала: tB = (t₁ + t₂) /2. Таким способом можно синхронизовать показания всех часов, неподвижных друг относительно друга в некоторой инерциальной системе отсчета S.

    Мысленные эксперименты с движущимися часами, аналогичные только что описанному, показывают, что здесь синхронизация  невозможна и единого для всех инерциальных систем времени не существует. Расмотрим пример с "эйнштейновским поездом"

    Пусть наблюдатель A находится посередине длинного поезда, движущегося со скоростью  сравнимой со скоростью света, а  наблюдатель B стоит на земле вблизи железнодорожного полотна. Устройства, находящиеся в хвосте и в голове поезда на одинаковых расстояниях от A, испускают две короткие вспышки  света, которые достигают наблюдателей A и B одновременно - в тот момент, когда они поравняются друг с  другом. Какие выводы сделают из одновременного прихода к ним  световых сигналов наблюдатели в  поезде и на земле?

    Наблюдатель A: Сигналы испущены из точек, удаленных  от меня на равные расстояния, следовательно, они и испущены были одновременно.

    Наблюдатель B: Сигналы пришли ко мне одновременно, но в момент испускания голова поезда была ко мне ближе, поэтому сигнал от хвоста поезда прошел больший путь, следовательно он и был испущен раньше, чем сигнал от головы.

    Этот  пример показывает, что часы в системе "поезд" синхронизованы только с  точки зрения наблюдателя, который  в ней неподвижен. С точки зрения наблюдателя на земле, часы, расположенные  на поезде в разных точках (в голове, в хвосте и в середине поезда) показывают разное время. События, одновременные  в одной системе отсчета (световые вспышки в системе отсчета  поезда), не являются одновременными в  другой системе отсчета земли. Синхронизация  часов находящихся в разных системах отсчета невозможна. Этот вывод не исключает совпадения показаний  часов в отдельный момент времени - например, наблюдатели A и B в момент встречи могут установить одинаковые показания своих часов. Но уже  в любой последующий момент показания  часов разойдутся.

    2.3 Преобразования Лоренца:

    Преобразования  Лоренца, обобщающие формулы Галилея  перехода от одной инерциальной системы  отсчета в другую, можно получить из анализа еще одного мысленного эксперимента. Пусть начала координат  систем отсчета S и S' в начальный  момент t = t' совпадают и оси координат  в них имеют одинаковую ориентацию. В этот момент времени в их общем  начале координат пусть произошла  световая вспышка. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе S, в ней распространяется сферическая  электромагнитная волна, которая за время t пройдет расстояние r = c t от начала координат.

    Но  наблюдатель в движущейся системе S' также регистрирует сферическую  световую волну, распространяющуюся из начала координат этой системы (точки 0') со скоростью света в вакууме  c. По его часам за время t' волна пройдет расстояние r' = c t', где. Это связано с тем, что физические явления в инерциальных системах происходят одинаковым образом. Иначе, регистрируя различия, можно было бы найти "истинно" покоящуюся систему отсчета, что невозможно.

    Преобразования  Лоренца оставляют неизменными  уравнения Максвелла, однако проверка этого утверждения выходит за рамки школьной программы по физике.

    Легко видеть, что уравнения Ньютона  теперь не сохраняют свой вид при  преобразовании. Поэтому второй закон  Ньютона необходимо модифицировать. Новая механика, основанная на принципе относительности Эйнштейна, называется релятивистской (от латинского relativus - относительный).

    2.4 Собственное время, события и  мировые линии частиц:

    В качестве часов наблюдатели в  системах S, S' могут использовать любой  периодический процесс, например, излучение  атомов или молекул на определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое  по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Для измерения  длин можно взять некоторый эталон - линейку. Собственной длиной линейки  называется ее длина l₀ в той системе, в которой она покоится. Величина l₀ равна модулю разности координат концов линейки в один и тот же момент времени.

    Совокупность  декартовых координат и момента  времени в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке пространства, указанной  вектором.

    Множество всех событий образуют "четырехмерный  Мир Минковского".

    Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время  некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого тела (его координаты в разные моменты  времени) изображается мировой линией. Если частицы движутся только вдоль  оси 0x, то наглядно представить "Мир  Минковского" можно с помощью плоскости координат. Время удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная мировая константа.

    Мировыми  линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося  в начале координат, будет совпадать  с временной осью, а тела, покоящегося  в пространственной точке x_a - является прямой AB, параллельной оси времени. Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x', c t' и x, c t, просто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!