Математика и естествознание

    Логическая  стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов  математики создали ей славу образца  научного знания. «Выгоды»   естествознания   от   использования   математики многообразны. Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики.

    2.

    До 20 века пространство считалось плоским, время понималось абсолютным. Название “теория относительности” возникло из наименования основного принципа (постулата), положенного Пуанкаре и  Эйнштейном в основу из всех теоретических  построений новой теории пространства и времени. Содержанием теории относительности  является физическая теория пространства и времени, учитывающая существующую между ними взаимосвязь геометрического  характера. К началу 20 века у физиков, строивших теорию оптических и электромагнитных явлений по аналогии с теорией  упругости, сложилось ложное представление  о необходимости существования абсолютной неподвижной системы отсчета, связанной с электромагнитным эфиром. Зародилось, таким образом, представление об абсолютном движении относительно системы, связанной с эфиром, представление, противоречащее более ранним воззрениям классической механики (принцип относительности Галилея). Опыты Майкельсона и других физиков опровергли эту теорию “неподвижного эфира” и дали основание для формулировки противоположного утверждения, которое и получило название “принципа относительности”. Так это название вводится и обосновывается в первых работах Пуанкаре и Эйнштейна. Общая теория относительности (ОТО) — современная теория тяготения, связывающая его с кривизной четырехмерного пространства-времени. В своем, так сказать, классическом варианте теория тяготения была создана Ньютоном еще в XVII веке и до сих пор верно служит человечеству. Она вполне достаточна для многих, если не для большинства, задач современной астрономии, астрофизики, космонавтики. Между тем ее принципиальный внутренний недостаток был ясен еще самому Ньютону. Это теория с дальнодействием: в ней гравитационное действие одного тела на другое передается мгновенно, без запаздывания. Что же касается ОТО, то все ее основополагающие элементы были созданы Эйнштейном. В последнем этапе создания ОТО принял участие Гильберт. Специальная теория относительности (СТО) - фундаментальная физическая теория пространственно-временных свойств всех физических процессов. Основой СТО явились представления о свойствах пространства, времени и движения, разработанные в классической механике Галилеем и Ньютоном, но углублённые и в ряде положений существенно изменённые и дополненные Эйнштейном в связи с теми экспериментальными фактами, которые были обнаружены в физике к концу XIX столетия при изучении электромагнитных явлений. Специальная теория относительности (СТО) наряду с предположением о том, что a) пространство - трёхмерно, однородно и изотропно, (что означает, что в пространстве нет выделенных мест и направлений) б) время - одномерно и однородно, (нет выделенных моментов времени) использует следующие два основополагающие принципа: 1. Никакими физическими опытами внутри замкнутой физической системы нельзя определить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно (относительно системы бесконечно удаленных тел). Этот принцип называют принципом относительности Галилея - Эйнштейна, а соответствующие системы отсчёта - инерциальными. 2. Существует предельная скорость (мировая константа c) распространения физических объектов и воздействий, которая одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Со скоростью c распространяется свет в вакууме. ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле, что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой теории гравитации не существует. ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени одним человеком. СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания. Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли того времени.

1. Главные выводы  общей теории относительности:

    1.1 Принцип эквивалентности и геометризация  тяготения:

    Факт  этот по существу был установлен еще  Галилеем. Он хорошо известен каждому  успевающему старшекласснику: все  тела движутся в поле тяжести (в отсутствие сопротивления среды) с одним  и тем же ускорением, траектории всех тел с заданной скоростью  искривлены в гравитационном поле одинаково. Благодаря этому, в свободно падающем лифте никакой эксперимент не может обнаружить гравитационное поле. Иными словами, в системе отсчёта, свободно движущейся в гравитационном поле, в малой области пространства-времени  гравитации нет. Последнее утверждение - это одна из формулировок принципа эквивалентности.

    Данное  свойство поля тяготения отнюдь не тривиально. Достаточно вспомнить, что  в случае электромагнитного поля ситуация совершенно иная. Существуют, например, подзаряженные, нейтральные  тела, которые электромагнитного  поля вообще не чувствуют. Так вот, гравитационно-нейтральных  тел нет, не существует ни линеек, ни часов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Эталоны привычного евклидова пространства меняются в поле тяготения.

    Геометрия нашего пространства оказывается неевклидовой.

    1.2 Классические опыты по проверке  ОТО:

    Гравитационное  поле влияет на движение не только массивных  тел, но и света. В частности, фотон, распространяясь в поле Земли  вверх, совершает работу против силы тяжести и поэтому теряет энергию. Как известно, энергия фотона пропорциональна  его частоте, которая, естественно, тоже падает. Этот эффект - красное смещение - был предсказан Эйнштейном еще  в 1907 году. Нетрудно оценить его величину. Работа против силы тяжести, очевидно, пропорциональна gh, где g - ускорение свободного падения, а h - высота подъема. Произведение gh имеет размерность квадрата скорости.

    При g?103 см/с2, h~103 см относительное смещение ничтожно мало ~10-15. Неудивительно, что экспериментально красное смещение удалось наблюдать лишь спустя полвека, с появлением техники, использующей эффект Мёссбауэра. Это сделали Паунд и Ребка.

    Еще один эффект, предсказанный Эйнштейном на заре ОТО, - отклонение луча света в поле Солнца. Для луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, угол отклонения равен 1,75".

    Первая  мировая война воспрепятствовала  проверке. И только во время солнечного затмения 1919 года измерения, проведенные  группой Эддингтона, подтвердили  последнее предсказание. Это был  подлинный триумф молодой общей  теории относительности.

    И наконец, к числу классических тестов ОТО относится также вращение перигелия орбиты Меркурия. Замкнутые эллиптические орбиты - это специфика нерелятивистского движения в притягивающем потенциале 1/r. Неудивительно, что в ОТО орбиты планет незамкнуты. Малый эффект такого рода удобно описывать как вращение перигелия эллиптической орбиты. Задолго до появления ОТО астрономы знали, что перигелий орбиты Меркурия поворачивается за столетие примерно на 6000". Поворот этот в основном объяснялся гравитационными возмущениями движения Меркурия со стороны других планет Солнечной системы. Оставался, однако, неустранимый остаток - около 40" в столетие. В 1915 году Эйнштейн объяснил это расхождение в рамках ОТО. Аккуратный расчет при радиусе орбиты Меркурия R?0.6.108 км дает 43" в столетие, снимая таким образом существовавшее расхождение. Ясно, кстати, чем выделяется в этом отношении Меркурий: это планета, ближайшая к Солнцу, планета с наименьшим радиусом орбиты R. Поэтому вращение перигелия орбиты у нее максимально.

    1.3 Черные дыры:

    Однако  роль ОТО отнюдь не сводится к исследованию малых поправок к обычной ньютоновской гравитации. Существуют объекты, в которых эффекты ОТО играют ключевую роль, важны стопроцентно. Это так называемые черные дыры.

    Еще в XVIII веке Митчел и Лаплас независимо друг от друга заметили, что могут существовать звезды, обладающие совершенно необычным свойством: свет не может покинуть их поверхность. Рассуждение выглядело примерно так. Тело, обладающее радиальной скоростью v, может покинуть поверхность звезды радиусом R и массой M при условии, что кинетическая энергия этого тела mv²/2 превышает энергию притяжения GMm/R, т.е. при v² > 2GM/R. Применение последнего неравенства к свету (как мы теперь понимаем, совершенно не обоснованное) приводит к выводу: если радиус звезды меньше чем 2GM/v² то свет не может покинуть ее поверхность, такая звезда не светит! Последовательное применение ОТО приводит к такому же выводу, причем, поразительно, правильный критерий количественно совпадает с наивным, необоснованным.

    Черная  дыра - вполне естественное название для  такого объекта. Свойства его весьма необычны. Черная дыра возникает, когда  звезда сжимается настолько сильно, что усиливающееся гравитационное поле не выпускает во внешнее пространство ничего, даже свет. Поэтому из черной дыры не выходит никакая информация.

    Занятно выглядит падение пробного тела на черную дыру. По часам бесконечно удаленного наблюдателя это тело достигает  гравитационного радиуса лишь за бесконечное время. С другой стороны, по часам, установленным на самом  пробном теле, время этого путешествия  вполне конечно.

    Многочисленные  результаты астрономических наблюдений дают серьезные основания полагать, что черные дыры - это не просто игра ума физиков-теоретиков, а реальные объекты, существующие по крайней мере в ядрах галактик.

    1.4 Пульсар PSR 1913+16 и гравитационные  волны:

    Нобелевская премия по физике за 1993 год была присуждена Халсу и Тейлору за исследование пульсара PSR 1913+16 (буквы PSR означают пульсар, а цифры относятся к координатам на небесной сфере: прямое восхождение 19h13h, склонение +16⁰). Исследование свойств излучения этого пульсара показало, что он является компонентом двойной звезды. Иными словами, у него есть компаньон, и обе звезды вращаются вокруг общего центра масс. Расстояние между этим пульсаром и его компаньоном составляет всего 1,8 * 10⁶ км. Если бы невидимый компаньон был обычной звездой с характерным радиусом ?10⁶ км, то наблюдались бы, очевидно, затмения пульсара. Однако ничего подобного не происходит. Подробный анализ наблюдений показал, что невидимый компонент - это не что иное, как нейтронная звезда.

    Существование нейтронных звезд было предсказано  теоретически еще в 30 - е годы. Они  образуются в результате бурного  гравитационного сжатия массивных  звезд, сопровождающегося взрывом  сверхновых. После взрыва давление в оставшемся ядре массивной звезды продолжает нарастать, электроны с  протонами сливаются (с испусканием  нейтрино) в нейтроны. Образуется очень  плотная звезда с массой, несколько  большей массы Солнца, но очень  малого размера, порядка 10 - 15 км, не превышающего размер астероида. Несомненно, наблюдение нейтронных звезд уже само по себе является выдающимся открытием.

    Кроме того, тщательное исследование движения этой двойной звезды дало новое подтверждение  предсказания ОТО, касающегося незамкнутости эллиптических орбит. Поскольку гравитационные поля в данной системе очень велики, периастр орбиты вращается несравненно быстрее, чем перигелий орбиты Меркурия, он поворачивается на 4,20 в год. Изучение этого и других эффектов позволило также определить с высокой точностью массы пульсара и нейтронной звезды. Они равны, соответственно, 1,442 и 1,386 массы Солнца. Но и это далеко не все.

    Еще в 1918 году Эйнштейн предсказал на основе ОТО существование гравитационного излучения. Хорошо известно, что электрически заряженные частицы, будучи ускоренными, излучают электромагнитные волны. Аналогично, массивные тела, двигаясь с ускорением, излучают гравитационные волны - рябь геометрии пространства, распространяющуюся тоже со скоростью света.

    Гравитационные  волны, однако, отнюдь не игра ума и  математическая абстракция. Это в  принципе наблюдаемое физическое явление. Так, например, стержень, находящийся  в поле гравитационной волны, испытывает деформации, меняющиеся с ее частотой. Увы, оговорка "в принципе" отнюдь не случайна: масса любого объекта  на Земле настолько мала, а движение его столь медленно, что генерация  гравитационного излучения в  земных условиях совершенно ничтожна, не видно сколько-нибудь реального  способа зарегистрировать такое  излучение. Существует ряд проектов создания детекторов гравитационного  излучения от космических объектов. Однако и здесь реальных результатов  до сих пор нет.

    Следует также сказать, что, хотя плотность  энергии гравитационного поля в  любой точке можно по своему желанию  обратить в ноль выбором подходящей системы координат, полная энергия  этого поля во всем объеме, полный его  импульс имеют совершенно реальный физический смысл (конечно, если поле достаточно быстро убывает на бесконечности). Столь  же наблюдаемой, хорошо определенной величиной  является и потеря энергии системой за счет гравитационного излучения.

    Все это имеет самое прямое отношение  к пульсару PSR 1913+16. Эта система  также должна излучать гравитационные волны. Их энергия в данном случае огромна, она сравнима с полной энергией излучения Солнца. Впрочем, даже этого  недостаточно, чтобы непосредственно  зарегистрировать эти волны на Земле. Однако энергия гравитационных волн может черпаться только из энергии  орбитального движения звезд. Падение  последней приводит к уменьшению расстояния между звездами. Так вот, тщательные измерения импульсов радиоизлучения от пульсара PSR 1913+16 показали, что расстояние между компонентами этой двойной звезды уменьшается на несколько метров в год в полном согласии с предсказанием ОТО. Любопытно, что потеря энергии двойной звездой за счет гравитационного излучения была впервые рассчитана Ландау и Лифшицем, они поместили этот расчет в качестве учебной задачи в первое издание своей замечательной книги - "Теория поля", которая вышла в 1941 году.

    1.5 Гравитационные линзы и коричневые  карлики: