Построение двумерных и трехмерных графиков с помощью компьютерной математической системы Mathcad

 

 

 

 

 

Построение двумерных и трехмерных графиков

с помощью компьютерной математической системы Mathcad

 

 

Выпускная квалификационная работа

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В настоящее время машинная графика уже вполне сформировалась как наука. Существует аппаратное и программное обеспечение для получения разнообразных изображений - от простых чертежей до реалистичных образов естественных объектов. Машинная графика используется почти во всех научных и инженерных дисциплинах для наглядности восприятия и передачи информации. Знание её основ в наше время необходимо любому ученому или инженеру. Машинная графика властно вторгается в бизнес, медицину, рекламу, индустрию развлечений. Применение во время деловых совещаний демонстрационных слайдов, подготовленных методами машинной графики и другими средствам автоматизации конторского труда, считается нормой. В медицине становится обычным получение трехмерных изображений внутренних органов по данным компьютерных томографов. В наши дни телевидение и другие рекламные предприятия часто прибегают к услугам машинной графики и компьютерной мультипликации. Использование машинной графики в индустрии развлечений охватывает такие несхожие области как видеоигры и полнометражные художественные фильмы.

Среди многообразия возможностей, предоставляемых современными вычислительными средствами, те, что основаны на пространственно-образном мышлении человека, занимают особое место. Современные программно-оперативные средства компьютерной графики представляют собой весьма эффективный инструмент поддержки такого мышления при выполнении работ самых разных видов. С другой стороны именно пространственно-образное мышление является неформальной творческой основой для расширения изобразительных возможностей компьютеров. Это важное обстоятельство предполагает взаимно обогащающее сотрудничество всё более совершенной техники и человека со всем богатством знания, накопленного предшествующими поколениями. Глаз и раньше был эффективным средством познания человеком мира и себя. Поэтому столь привлекательной оказывается компьютерная визуализация, особенно визуализация динамическая, которую следует рассматривать как важнейший инструмент для обучения наукам. Примером такой программы может служить программа Mathcad.

Mathcad – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов – MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design – системы автоматического проектирования).

MathCAD является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов. Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Графический процессор - служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом.

MathCAD - система универсальная, т.е. она  может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

Целью данной работы явилась необходимость представления решения математических задач в графическом виде. Очень часто решение задачи в графическом виде сложно представить на обыкновенном листе бумаги, и в тоже время это можно сделать с помощью компьютерных математических систем. В данной работе такая проблема решается с помощью компьютерной системы MathCAD. Выбор данной темы обоснован тем, что в настоящее время большинство пользователей испытывают огромные затруднения при работе с компьютерными математическими программами для решения математических задач.

  Основная задача данного проекта - облегчить работу графических построений в программе MathCAD. Особое внимание мы уделили построению двумерных и трехмерных графиков в MathCAD. В работе подробно рассмотрены множество примеров с иллюстрациями. После каждой темы предложен список тренировочных упражнений.

 

 

Глава 1. Начало работы с графикой

 

§1. Построение двумерного графика одной функции

 

Простые вычисления в Mathcad выполняются почти мгновенно, и это вполне естественно. Столь же просто можно построить графики функций самого различного вида. Нередко к ним сводится нужные результаты вычислений. Начнем с построения графика функции sin(x)^3. Для этого достаточно выполнить следующие простые действия.

Введите функцию, набрав выражение sin(x)^3.

На панели математических знаков щелкните на кнопке с изображением графика – на экране появится палитра графиков.

В палитре графиков щелкните на кнопке с изображением двумерного графика – на экране появится шаблон графика с уже выведенной по оси Y функцией.

Введите в место ввода шаблон по оси X имя независимого аргумента – X.

Щелкните вне пределов графика левой кнопкой мыши – график построен.

 

 

 

Обратите внимание, что в данном случае не требуется даже полного выделения выражения для функции, но курсор ввода должен быть в блоке с этим выражением.

Теперь предположим, мы хотим увеличить график и немного сместить его. Для этого проделайте следующее.

1. Поместите указатель мыши в  область графика и щелкните  левой клавишей мыши – вокруг графика появится рамка из черных линий, обрамляющая блок графика.

2. Подведите указатель мыши к черному квадратику в правом нижнем углу рамки, при этом указатель мыши должен превратиться в двухстороннюю диагональную стрелку.

3. Нажав левую кнопку мыши, растяните  график по диагонали.

4. Завершив расширение графика, отпустите кнопку мыши.

5. Наведите указатель мыши на  любую сторону рамки, при этом  указатель должен превратиться в черную ладошку.

6. Нажав левую кнопку мыши, передвиньте  весь блок графика в желаемое  место экрана.

7. Завершив перемещение, отпустите  кнопку мыши.

 

 

В результате этих действий мы увидим увеличенный и перемещенный в другое место экрана график с обрамляющей его рамкой. Убрать рамку можно, отведя указатель мыши в сторону от графика и щелкнув левой кнопкой мыши.

Обратите внимание: когда график находится в рамке, на нем в черных уголках появляются числа, указывающие масштаб графика по оси Y и по оси X.

По умолчанию график по оси X строится на отрезке изменения аргумента x от -10 до +10. Масштаб по оси Y Mathcad устанавливает автоматически. Изменив эти числа, можно задать свой масштаб графика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Построение графиков ряда функций

 

А теперь рассмотрим, как в полученном графике отобразить еще две функции, например sin(x)2 и cos(x)2 для этого их надо просто перечислить после первой функции у оси Y графика, отделяя выражения функций запятыми. Вот как это делается.

1. Подведите указатель мыши точно в конце выражения sin(x)2.
2. Щелкните левой кнопкой мыши - появится синий уголок в конце выражения.
3. Клавишами перемещения курсора по горизонтали переместите уголок точно в конец выражения и нажатием клавиши пробел добейтесь, чтобы уголок охватил все выражение.
4. Введите знак запятой, при этом вы заметите, что первое выражение ушло вверх, а под ним появилось новое место ввода.
5. Введите выражение sin(x)2.
6. Нажимая клавишу пробел, добейтесь, чтобы это выражение тоже было полностью охвачено синим уголком.
7. Введите знак запятой, и вы заметите, что два первых выражения ушли вверх, а под ним появилось новое место ввода.
8. Введите в него выражение cos(x).
9. Отведите указатель мыши за пределы графика и щелкните левой кнопкой мыши – появится график с тремя кривыми.

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Построение графиков поверхностей

 

Построение графиков поверхности (их называют также трехмерным или 3D- графиками) всегда было ахиллесовой пятой систем класса Mathcad. Связано это с тем, что такие графики даже в простейшем случае требуют создания матрицы точек зависимости z(x,y), то есть функции двух переменных. Создание большой матрицы нетривиальная задача, что приводило не только усложнению построений, но и потере их наглядности.

Однако в новейшей версии Mathcad 2000 эта трудность блестяще преодолена. Теперь трехмерный график построить даже проще, чем двумерный.

Определите функцию z(x,y) двух переменных x и y.

Используя палитру графики, введите шаблон трехмерного графика.

На единственное место ввода под шаблоном введите z.

Щелкните вне пределов графика – будет построен график в виде “проволочного каркаса“.

Растяните (или сожмите) график и поместите его в нужное место экрана.

А теперь рассмотрим новейший трюк с трехмерной графикой, впервые введенный в систему Mathcad 8 и, естественно, сохраненный в Mathcad 2000. Он заключается во вращении в пространстве трехмерной фигуры с помощью мыши.

Вид трехмерных фигур сильно зависит от того, под какими углами относительно осей X,Y и Z фигуру рассматривают. Нередко небольшие пики, впадины или лепестки фигуры просто не видны на фоне высоких пиков или глубоких впадин. Вращение фигуры эквивалентно ее просмотру с разных сторон. Вы можете заглянуть внутрь впадины или посмотреть, что находится за пиком.

Для этого и иных действий надо просто поместить указатель мыши в область графика, нажать левую кнопку мыши и, удерживая ее, начать двигать мышь по столу в том или ином направлении. Вы увидите, что фигура вместе с осями координат и призмой, в которой она находится, начнет вращаться.

Однако поворотом фигуры в пространстве возможности этого метода не исчерпываются. Если оперировать мышью при нажатой клавише Ctrl, можно удалять или приближать объект к наблюдателю. Если проделать те же действия с нажатой клавишей Shift, то после отпускания левой кнопки можно вообще наблюдать анимированную(“живую”) картину вращения в любом заданном предварительно направлении. Для остановки вращения надо щелкнуть левой кнопкой мыши.

Есть еще один приятный сюрприз новых версий Mathcad – возможность построения на одном графике ряда поверхностей. В Mathcad 2000 это делается предельно просто – определите ряд функций двух переменных, описывающих поверхности, и введите через запятую имена этих функций в месте ввода шаблона трехмерного графика. При этом фигуры могут как пересекаться, так и соприкасаться. В случае пересекающихся фигур Mathcad автоматически опредеделяет линии пересечения и обеспечения алгоритм удаления невидимых частей фигур.

 

 

 

 

 

Упражнения.

1. Постройте графики функций exp(x), ln(x) и tan(x) раздельно и совместно.
2. Попытайтесь отформатировать эти графики на свой вкус.
3. Попробуйте перемещать графики по окну и менять их размеры.
4. Попробуйте вращать построенные ранее графики мышью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Начало работы с графикой

 

§1. Знакомство с меню Insert

 

Введение любого объекта в окно редактирования называется вставкой (insert). Mathcad реализует различные механизмы вставки – от просто ввода шаблона объекта до вставки объекта со связыванием его с приложением, создавшим объект, и возможностью редактирования объекта с помощью этого приложения. В последних версиях Mathcad 8.0 и Mathcad 2000 все команды вставки включены в новый пункт строки меню Insert (вставка):

Graph (график) – подменю вставки шаблонов графики;

Matrix (матрица) – вставка шаблонов матриц и векторов;

Function (функция) – вставка шаблонов встроенных функций;

Unit (единицы) – вставка единиц измерения размерных величин;

Picture (рисунок) - вставка шаблона импортируемого рисунка;

Math Region (математическая область) – вставка в текстовую область шаблона математической области;

Text Region (текстовая область) – вставка текстовой области;

Page Break (разрыв страницы) – вставка символа разрыва страницы;

Hyperlink (гиперссылка) – вставка гиперссылки;

Reference (ссылка) – вставка кнопки обращения к заданному файлу путем щелчка на ней;

Component (компонент) – вставка других компонентов системы;

Object (объект) – вставка объекта с установлением динамической связи с порождающим его приложением.

Для создания графика в системе Mathcad имеется программный графический процессор. Основное внимание при его разработке было уделено обеспечению простоты задания графиков и их модификации с помощью соответствующих параметров. Процессор позволяет строить самые разные графики, например, в декартовой и полярной системе координат, графики поверхностей, трехмерная фигура, графики уровней и т.д.

Для построения графиков используются шаблоны. Их перечень представлен в подменю Graph меню Insert. Большинство параметров графического процессора, необходимых для построения графиков, задаются автоматически, Поэтому для начального построения графика того или иного вида достаточно задать тип: